Алгебра 10 класс кузнецов муравьев шнеперман

Учебник Алгебра 10 класс Кузнецова Муравьева

при Ах 0; sjxQ +Ax +/x0 ^Jx^ A^ 1 Ax ^fx^ при Ах -при Ах ^ 0. Таким образом, sfx)’ = 2\fx Ответ: ^/x) = для любого x > 0. Вообще, функция может и не иметь производной в данной точке. Так, в точке x = 0 производная функции f(x) = \[x не существует. Но мы будем рассматривать функции лишь на промежутках, где производная существует. Правообладатель Народная асвета 0 2 x 0 1 Производная и ее применение 29 1. Как читается и что означает запись Ах 0? 2. Что называется производной функции у = f(x) в точке x0? 3. Как обозначается производная функции у = f(x)? 4. Чему равна производная линейной функции f(x) = kx + b? 5. Чему равна производная постоянной? 6. Чему равна производная квадратичной функции f(x) = ax^ + bx + c? 7. Чему равна производная функции: а) f(x) = 1; x б)* f(x) = -jx? Упражнения 1.38°. Вычислите отношение в точке х0, если: Ax 0 1) f(x) = 4x — 6, х0 = 2, Ах = 0,5; 2) f(x) = 12 — 3x, х0 = 4, Ах = 0,1; 3) f(x) = x2 + 1, х0 = 5, Ах = 0,2; 4) f(x) = 6×2, х0 = 1, Ах = 0,4. 1.39°. К какому числу стремится отношение XtL в точке х0 при Ах ^ 0, если: 1) f(x) = 3x — 1, х0 = -2; 2) f(x) = 0,5 — 5x, х0 = 10; 3) f(x) = 2×2 — 1, х0 = 1; 4) f(x) = 1 — 3×2, х0 = -5? Пользуясь определением производной, найдите значение производной функции у = f(x) в точке x0 = а (1.40—1.46). 1.40°. 1) f(x) = 3, а = 10; 3) f(x) = п, а = — 4; 2) f(x) = -6, а = 1; 4) f(x) = \ls, а = -5. 1.41°. 1) f(x) = 4x, а = 1; 2) f(x) = -5x, а = 7; 3) f(x) = -2,5x — 2, а = -2; 4) f(x) = — 4,2x + 3, а = -6; 5) f(x) = 1 — -|, а = 0; 6) f(x) = 2 + 34x, а = 1. Правообладатель Народная асвета 30 Глава 1 1.42°. 1) f(x) = 4×2, а = 0; 2) f(x) = -Ix^, а = 0,5; 2 3) f(x) = X. + 2, а = -2; 2 4) f(x) = 3 — а = 3. 1.43. 1) fix) = x2 + 3x — 1, а = 0,25; 2) f(x) = x2 — x + 2, а = 0; 2 3) f(x) = — 0,2x + 8, а = 3; 4) f(x) = — Ю + 1, а = -1; 5) f(x) = 6) f(x) = 10 6×2 — 3x + 9 3 6 — 6x — 12×2 6 , а = -2; , а = -3. 1.44. 1) f(x) = (3 + x)2, а = -2; 2) f(x) = (4 — x)2, а = -1,5; 3) f(x) = x(x + 2), а = 0,1; 4) f(x) = x(x — 4), а = 1; 5) f(x) = x2 — (x + 2)2, а = — 0,5; 6) f(x) = (x — 1)2 — x2, а = 2,5. 1.45. 1) f(x) = -5, а = 0,1; 2) f(x) = —6, а = — 0,1; x 3) f(x) = -^ + 1, а = -1; 4) f(x) = 3 — а = -0,5; 5) f(x) = — + x2, а = 5; 6) f(x) = x + а = 0,2. xx 1.46*. 1) f(x) = Vx, а = 0,01; 2) f(x) = V4x, а = 0,04; 3) f(x) = -^J0,01x, а = 100; 4) f(x) = л/Qx + 1, а = 1. 1.47. Используя рисунок 31, где изображен график функции у = f(x) (на рисунках 1), 2) — прямые, на рисунках 3)—6) — параболы), изобразите график производной у = f ‘(x). Правообладатель Народная асвета Производная и ее применение 31 3)1 3’^ 1 о 1 X 5) i / / N V \ О 1 X Рис. 31 1.48. Решите уравнение f\x) = 0: 6) i О 1 / X N / л 1) f(x) = -| X2 — 4x; 2) f(x) = -2 X2 + 2x; 3) f(x) = (X — 4)2; 4) f(X) = (2 — x)2 — 4. Решите неравенство f ‘(x) g'(0), если f(x) = x2 + 3x и g(x) = x2^-j5 x + -l j? 1.94. Сравните значения производных функций f и g в точке х = а, если: 1) f(x) = 2×2 — 5x + 7, g(x) = xа = 2; 6- x 9 — „ , . x + 5 ‘ ‘7- • ———-, а = -1; 2) f(x) = 3×2 — 7x + 2, g(x) = 2 3x — x 3) * f(x) = 5×4 + 3×3 — 15x, g(x) = -l^, а = 0; 4) * f(x) = x4 — 3×3 + 2×2, g(x) = -2^, а = 0. 1.95. Решите уравнение f'(x) = 0, если: 1) f(x) = 2×3 — 6x + 14; 2) f(x) = x3 + 3×2 + 3x + 2; Правообладатель Народная асвета 50 Глава 1 3) f(x) = x 5)* f(x) = x2(x — 2)3; x 1.96. Решите уравнение: 1) f ‘(x) — f(x) = 0, если f(x) = х3; 2) g'(x) + g(x) = 0, если g(x) = -x3; 3) f ‘(x) = g'(x), если f(x) = x2 + 4 и g(x) = (x + 1) (4x — 3); 4) f ‘(x) — g'(x) = 0, если f(x) = x2 — 3 и g(x) = (x — 2)(3x + 2). 1.97. Решите неравенство: 1) f ‘(x) g’(x), если g(x) = 4x — 5 и f(x) = ^2(2 — 6x). 1.98. 1) При каких значениях х производная функции 4) f(x) = 6)* f(x) = x2 + 2x, x — 1 ’ (x — 2)3 f(x) = x2 — x + 1 принимает положительные значения? 2) При каких значениях х производная функции f(x) = x2 + x + 1 2 x + x принимает отрицательные значения? 1.99. Угол наклона к оси Ох касательной, проведенной к графику функции у = f(x), равен а. Найдите координаты точек касания, если: 1) f(x) = -1 x3 — 3/3x + Vs, а = 60° 2) f(x) = —^33 x3 + x + 1, а = 30° 4 3 x ‘ V3 1.100*. Точка движется прямолинейно по закону s(t) (s — путь в метрах, t — время в секундах). Докажите, что скорость движения этой точки не превосходит n , если: 1) s(t) = 2t++11, n = 1; 2) s(t) = n = 2. 1.8. Возрастание и убывание функции С помощью производной изучаются различные свойства функций. Покажем, как она используется для нахождения промежутков возрастания и убывания. Сначала сформулируем признаки возрастания и убывания функции. Правообладатель Народная асвета x2 + 4 Производная и ее применение 51 1. Если в каждой точке x некоторого промежутка f ‘(x) > 0, то функция f возрастает на этом промежутке. 2. Если в каждой точке x некоторого промежутка f ‘(x) 0. Через точки A(a; f(a)) и B(b; f(b)) проведем прямую (рис. 38). Ее угловой коэффициент tg а = f(b’)

0(a’). На дуге AB найдется такая точка C(c; f(c)), что касательная к графику функции в этой точке параллельна прямой AB. Угловой коэффициент касательной tg а = f ‘(c) (см. п. 1.6). Следовательно, ffblfl = f .(c). Так как f'(c) > 0 и b — a > 0, то f(b) — f(a) > 0. Таким образом, когда a и b — такие точки из промежутка, что b > a, то f(b) > f(a). А это означает, что функция f возрастает на промежутке. Наглядное геометрическое истолкование признака убывания функции дайте самостоятельно. А Пример 1. Доказать, что функция f(x) = 5×3 — x2 + 6x — 7 возрастающая. Правообладатель Народная асвета 52 Глава 1 Доказательство. Область определения функции f — множество всех действительных чисел, т. е. D(f) = R. Найдем производную функции f: f \x) = (5×3 — x2 + 6x — 7) = 15×2 — 2x + 6. Дискриминант полученного квадратного трехчлена отрицателен, т. е. D = 4 — 4 • 15 • 6 0 (поясните почему). Таким образом, функция f — возрастающая на всей области определения. 0 Пример 2. Доказать, что функция f(x) = — 6x — x3 убывающая на каждом из промежутков (-га; 0) и (0; +га). Доказательство. Заметим, что D(f) = (-^; 0) и (0; +га). Найдем производную функции f: f ‘(x) = _ 6x — x3)’ = — 6 — 3×2 = — 3(x4 +J2x’ + 3). Очевидно, что f ‘(x) 0, то f(-1) 0 на интервалах (-^; -1) и (1; +^), то на каждом из этих интервалов функция f возрастает; поскольку f ‘(x) f( x). При этом говорят, что функция f имеет в точке х0 максимум. Значение функции в точке максимума называется максимумом функции. Функция f (см. рис. 44) имеет еще одну точку максимума — х3. Вообще говоря, функция может иметь несколько точек максимума, а может не иметь ни одной. Например, функция f( х) = х2 не имеет точек максимума. Наряду с точками максимума функции рассматривают точки минимума функции. На рисунке 44 это точки х2 и х4. Определение. Точка х0 называется точкой минимума функции f, если существует такая окрестность точки х0, что для любого x из этой окрестности верно неравенство f( Хо) 0. В каждой точке х из (х^; х2) — ин- Правообладатель Народная асвета Производная и ее применение 59 тервала убывания функции f ее производная принимает отрицательные значения, т. е. f ‘(x) f (-2). 1.125*. Дана функция f(x) = -х* +32х —/б. 1) Укажите точки экстремума функции и ее значения в этих точках. 2) Решите неравенство f(x) S(2). б) Отрезку [2; 6] принадлежит x3 = 4л/2. Сравним S(2), S(W2 j и S(6): ^ S(2) = 8/^; S(W2 ) = ^2 • W^^64 — 32 = ^2yfS2= 2/64 = 16; S(6) = ^2.8/64 — 36 = 8/28 = 8/7 = 2/63. Очевидно, что S(2) 0, т. е. принадлежит интервалу (0; +^). Правообладатель Народная асвета Производная и ее применение 73 Таким образом, нам надо найти значение х, при котором функция Р( х) принимает наименьшее значение на интервале (0; +^). Здесь мы уже не можем использовать действия для отыскания наименьшего значения функции на отрезке. Поступим следующим образом. Найдем производную функции P: P’(x) = (2(х + 3600 = 2((х)’+ (^600)’) = 2(1 — 3600^ = 2 3600 . 2 V х 2(х — 60)(х + 60) Z2 1 хх Производная Р'(х) обращается в нуль в точках х = -60 и х = 60, из них только точка х = 60 принадлежит интервалу (0; +^). Исследуем знаки значений производной на этом интервале. При 0 60 значения производной положительны и функция Р(х) возрастает (рис. 53). ( — г -Ь Р(х): 60 Рис. 53 Следовательно, своего наименьшего значения эта функция достигает в точке х = 60, в которой ее производная обращается в нуль. Итак, Рнаим (х) = Р(60) = 2(60 + -3600)= 240. х е(0; +м) ‘ 60 ‘ Схематическое изображение графика функции у = Р(х), иллюстрирующее решение этой задачи, показано красной линией (рис. 54). Заметим, что точка х = 60 является точкой минимума функции Р(х) (поясните почему). Ответ: 60 х 60 м. При решении текстовых задач на нахождение наименьшего (или наибольшего) значения различных величин поступают следующим образом: 1) вводят переменную; Рис. 54 Правообладатель Народная асвета х 2 х 74 Глава 1 2) выражают через эту переменную и известные данные ту величину, наименьшее (или наибольшее) значение которой надо найти, т. е. вводят соответствующую функцию; 3) определяют наименьшее (или наибольшее) значение введенной функции. 1. Как находят наибольшее (наименьшее) значение функ- ? ции на интервале 2. Как поступают при необходимости найти наибольшее (наименьшее) значение некоторой величины при реше- нии текстовых задач ? Упражнения 1.134. 1) Каковы должны быть стороны прямоугольного участка с периметром 120 м, чтобы площадь этого участка была наибольшей? 2) Прямоугольный участок земли площадью 4 га огораживается забором. Каковы должны быть размеры участка, чтобы длина забора была наименьшей? 1.135. 1) Число 48 представьте в виде суммы двух слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим. 2) Число 16 представьте в виде суммы двух слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей. 1.136. 1) Число 18 представьте в виде суммы двух слагаемых так, чтобы сумма удвоенного одного слагаемого и квадрата другого слагаемого была наименьшей. 2) Число 10 представьте в виде суммы двух слагаемых так, чтобы сумма их кубов была наименьшей. 1.137. 1) Из всех прямоугольников, вписанных в окружность радиусом 1 дм, укажите прямоугольник, который имеет наибольшую площадь. Найдите эту площадь. 2) Требуется сделать коробку в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном наибольшего объема без крышки при заданной площади поверхности 12 дм2. Определите размеры коробки. Правообладатель Народная асвета Производная и ее применение 75 1.138. 1) Среди равнобедренных треугольников с основанием а найдите треугольник наибольшей площади. 2) Длины боковых сторон и меньшего основания равнобедренной трапеции равны по 24 см. Какой должна быть длина большего основания, чтобы площадь трапеции была наибольшей? 1.139. В прямоугольный треугольник вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей, если в треугольнике: 1) гипотенуза равна 16 см, а угол 60°; 2) катет равен 12 см, а противолежащий ему угол 30° ? 1.140. В треугольник со стороной a и высотой h, проведенной к этой стороне, вписан прямоугольник, одна из сторон которого лежит на данной стороне треугольника. Определите наибольшую площадь такого прямоугольника, если: 1) a = 4 см, h = 3 см; 2) a = 6 м, h = 8 м. Правообладатель Народная асвета Глава 2 Тригонометрические выражения о 2.1. Градусная мера углов и дуг. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника Вы знакомы с понятиями острого, прямого, тупого, развернутого углов, центрального угла, дуги окружности, соответствующей этому центральному углу. Вам известно, что величины углов и дуг окружности измеряются в градусах. Напомним, что градусом называется величина центрального угла, которому соответствует часть окружности. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла. Градусная мера всей окружности равна 360°, а полуокружности — 180°. В геометрии были даны определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для острых углов прямоугольного треугольника. Напомним, что в прямоугольном треугольнике ABC (Z C = 90°, ZА = а) (рис. 55): sin а = BC AB ’ cos а = AC AB ’ ‘g а = BC, ctg “=§ ■ Заметим, что ‘g а = c‘g а = sin а cos а ’ cos а sin а * При решении различных примеров часто используют значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 30°, 45°, 60° (см. таблицу). а 30° 45° 60° sin а 1 2 2 V3 2 cos а ^/3 2 2 1 2 tg а ^/3 3 1 ^/3 ctg а V3 1 3 Правообладатель Народная асвета Тригонометрические выражения 77 ш П ример. Доказать для острого угла а тождество: а) sin (90° — а) = cos а; б) cos (90° — а) = sin а; в) tg (90° — а) = ctg а; г) ctg (90° — а) = tg а. Доказательство. а) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором Z C = 90°, ZA = а (см. рис. 55). Соответственно, имеем Z B = 90° — а. Используя определения синуса и косинуса острого угла, получим: sin Z B = sin (90° — а) = = cos Z A = cos а, AB т. е. sin (90° — а) = cos а. 0 Доказательства тождеств б), в), г) аналогичны доказательству тождества а), выполните их самостоятельно. Названия «косинус» и «котангенс» представляют собой сокращение терминов complementi sinus, complementi tangens («синус дополнения», «тангенс дополнения»), выражающих тот факт, что cos а и ctg а равны соответственно синусу и тангенсу угла, дополняющего а до 90°, т. е. cos а = sin (90° — а) и ctg а = tg (90° — а). Слово «тригонометрия» происходит от греческих слов trigonon — треугольник и metron — мера (metreo — измеряю). ш 9 1. Какой угол называется: а) острым; б) тупым; в) прямым; г) развернутым; д) полным; е) центральным? 2. В каких единицах измеряются величины углов? 3. Что называется градусом? 4. Что называется синусом (косинусом) острого угла? 5. Что называется тангенсом (котангенсом) острого угла? Упражнения 2.1°. АВ — сторона правильного п-угольника, вписанного в окружность с центром О. Найдите градусную меру угла АОВ, если: 1) п = 3; 2) п = 5; 3) п = 6; 4) п = 12. 2.2°. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы. Для острых углов этого треугольника укажите: Правообладатель Народная асвета 78 Глава 2 1) их градусную меру; 2) значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. 2.3°. В прямоугольном треугольнике катеты равны. Для острых углов этого треугольника укажите: 1) их градусную меру; 2) значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. 2.4°. Постройте угол а и найдите приближенно его величину (в градусах), зная, что: 1) sinа = 0,8; 4) cos а = -1; 3 2) sin а = 0,6; 5) tgа = -|; 8) ctgа = ^4. 3) cosа = ^4; 6) tgа = 23; 7) ctg а = 3; 2.5°. Сравните острые углы а и в, если: 1) sinа = 2 и sinв = -3; 34 3) tg а = ^4 и tgв = -|; 2) cosа = ^^ и cosв = -^; 4) ctgа = -| и ctgв = -|. 2.6°. Какова величина (в градусах) острого угла а, если: 1) sina = cosа; 2) tga = ctgа? Найдите значение выражения (2.7—2.9). 2.7. 1) 2sin60° +3sin45° +10cos60°-4cos45°-tg60°; 2) 4tg30°-5cos30° + 6sin60°-3tg60° + tg45°; 3) 6ctg60°-2sin60° + 12sin60°cos60°; 4) 2sin30° + 6cos60°-4tg45° + 7tg30°ctg30°. 2.8. 1) cos60°-tg245° + 43tg230° + 4cos230°-sin30°; 2) cos2 30° + 2 sin 30° — ctg2 45° + ctg2 30° + cos 60°; 3) ctg2 45° + cos60° — sin2 60° + -^ctg2 60°; 4) tg230°-tg45°-cos230° + 2sin60°. 2.9. 1) sin2 а + cos2 а при а, равном 30°; 45°; 60°; 2) (tgа + ctgа)2 при а, равном 30°; 45°; 60°; Правообладатель Народная асвета Тригонометрические выражения 79 3) sin22a + cos22a + tg2a при а, равном 15°; 22,5°; 30°; 4) sin2 2а + tg2a ctg2a + cos2 2а при а, равном 15°; 22,5°; 30°. 2.10. Упростите выражение: 1) cos(90°-a)-sinа + 2) sin(90°-a)-cosа + sin(90° — а); cos а ’ cos(90° — а) 3) 4) sin(90° — а) cos(90° — а); ctg(90°-а) ’ cos(90° — а) ctg(90° — а) tg(90°-а) 2.11. Представьте, используя значения только синусов (или только косинусов) острых углов, данное выражение в виде тригонометрического: 1) ^ + — 3 + 3/3. 1) 2 + 4 4 + 8 о\ 3 %/2 3\[з ) 8 —

2 94 :К — 3 + ^ -1; 2) 4 4 + 4 8’ 4) 1 — 3/3 — ^ 4) 8 8 + 4 4 • 2.12. Представьте, используя значения только тангенсов (или только котангенсов) острых углов, данное выражение в виде тригонометрического: 1) 3- »^+1 ^f■’ 3) ^/З -1 + ^’ 2) + 3 — ттг; 4) i9 — 3 W3 1 ^ ■ ^3)3- 2.13*. Найдите значение выражения А, если: 1) А = 1 — sin30° + sin2 30° — sin3 30° + + sin100 30°; 2) А = 1 — tg30° + tg230°- tg330° + + tg200 30°. 2.2. Понятие угла Пусть дана плоскость и на ней луч с началом в точке О, который вращается вокруг этой точки от начального положения — луча ОА — до конечного положения — луча ОВ. Тогда величину поворота, совершенного этим лучом, естественно измерять величиной угла, который образуют лучи ОА и ОВ в конце вращения. Поясним это на нескольких примерах. Правообладатель Народная асвета sin а 80 Глава 2 Рис. 56 На рисунке 56 изображен поворот луча против хода часовой стрелки на угол 27° (начальное положение вращающегося луча на рисунках показано стрелкой синего цвета, а конечное — красного). На рисунке 57 изображен поворот луча против хода часовой стрелки на угол 310°. На рисунке 58 изображен такой поворот луча против хода часовой стрелки, что его конечное положение — луч ОВ — впервые совпадает с начальным положением — лучом ОА. Этот поворот называют полным оборотом (поворотом на угол 360°). На рисунке 59 изображен поворот луча против хода часовой стрелки на угол 1097° = 360° • 3 + 17°. В этом случае луч, вращаясь от начального положения — луча ОА — до конечного положения — луча ОВ, совершает 3 полных оборота и еще поворот на 17°. f Рис. 58 Любой поворот луча состоит из целого числа полных оборотов и поворота, являющегося некоторой частью полного оборота. Таким образом, любой поворот луча задает некоторый угол, соответствующий этому повороту. Правообладатель Народная асвета Тригонометрические выражения 81 Если поворот луча совершен против хода часовой стрелки, то угол поворота принято считать положительным (как во всех предыдущих примерах). Если поворот луча совершен по ходу часовой стрелки, то угол поворота принято считать отрицательным. Например, на рисунке 60 изображен поворот луча на угол -148°, а на рисунке 61 — поворот на угол -748°. -148° Рис.60 При повороте луча вокруг точки О его начальное положение — луч ОА — будем называть началом отсчета, а о луче ОВ будем говорить, что он определяет угол поворота. Любой угол поворота а можно представить в виде а = 360° • n + ф, где n е Z и 0 0; если угол а оканчивается в III или в IV четверти, т. е. п + 2пп 0; если угол а оканчивается во II или в III четверти, т. е. -П + 2пп 0; б) sin а 0; г) cos а 0 при 0 0 при ^ 0, cos а > 0; 2) sin а 0, cos а 0; 7) sin а = I sin а I; 4) sin а 0; 6) sin а cos а 0; 2) sin а 0; 4) cos а 0; 2) sin а 0; 4) cos а 0, значит, |sin а| = sin а, т. е. sin а= 3 Ответ: А = 2yj2 П ример 8. Найти значение выражения: а) arcsin^sin13.nj; б) arcsin (sin 4). Решение. а) arcsin ^sin33.n j = arcsin ^sin(^2n + -П = = arcsin^sin-^j = 6, так как -^ б) arcsin (sin 4) = arcsin (sin (п — 4)) = п — 4, так как п — 4 « 3,14 — 4 = -0,86, т. е. — 0 и cos а 0 и ctg а > 0; если угол а оканчивается во II или в IV четверти, т. е. 2^ + пп 0. Ответ: а) tg (-3986°) 0. Правообладатель Народная асвета 118 Глава 2 Пример 3. Доказать, что значения выражений tg а и ctg а не могут быть одновременно больше единицы. Доказательство. Если tg а > 1, то сtg а = 0; 3) sin a ctg a 0; 5) cos a tg a > 0; 6) sin a tg a 0 на рисунке 96, а; b 0 на рисунке 97, а; b 0, tg а > 0 и ctg а > 0. Итак: а) А = cos а = ^1 — sin2 а = ./l — -9 = • б) А = tg а = 9 3 = 1 • f 2/- ) = 1 ^/2. ^ 3 / -4- 4 ; ) А = ctg а = = ^/—. tg а Ответ: а) А = 2^; б) А = ^4—; в) А = ^/—. П ример 4. Найти значение выражения А, если: а) А = sin (arcctg 7); б) А = cos (arcctg 7); в) А = tg (arcctg 7). Решение. Пусть arcctg 7 = а, тогда ctg а = 7 и 0 0, cos а > 0 и tg а > 0. Таким образом, получим: а) A = sin а = 1 = 1 = = ^, ^1 + ctg2 а 41 + 49 ‘/50 10 ’ 7 /— б) А = cos а = ctg а sin а = в) А = tg а = 1 1 10 ctg а 7 Ответ: а) А = ^Ц; б) А = 710-; в) А = ^1. А 1. Докажите тождество: а) tg а ctg а = 1; в) 1 + ctg2 а = —1—; б) 1 + tg2 а = г) ctg а = -^. tg а 2 ’ cos а 2. Как выразить |sinа| через: а) cos а; б) tg а; в) ctg а? 3. Как выразить |cosа| через: а) sin а; б) tg а; в) ctg а? 4. Что нужно знать, чтобы из основного тригонометрического тождества выразить sin а через cos а? Правообладатель Народная асвета sin а 1 Тригонометрические выражения 129 Упражнения 2.108°. По заданному значению одного из выражений sin в, cos в, tg в, ctg в найдите значения трех остальных, если j. /3^ \ , A =——i^= -ctg а; В = tg ^ + а) = — ctg а. — sin ^ \ 2 ! ° Поскольку А и В тождественно равны одному и тому же выражению, данное в условии равенство является тождеством. 0 Пример 3. Найти значение выражения А, если A = sin (-П + arcctg (- )). Решение. Пусть arcctg (—3-) = а, тогда ctg а = —3 и 2^ 0, sin a > 0 = cos a V1 — cos2 a tg p 11+tg2 e V1+tg2 e =-o,8 ■ + Vo;36 (-^/2) • JI- = 14+^252 = _ 15 (2+^/2). Ответ: а) A = — -2; б) A = -15 (2 + 3\f2). 9 1. Докажите формулы сложения для синуса (косинуса). 2. Докажите формулы сложения для тангенса. 3. При каких значениях a и в имеют смысл обе части: а) равенства (5); б) равенства (6)? 4*.Выведите формулы сложения для котангенса. Упражнения Преобразуйте выражение с помощью формул сложения (2.131—2.132). 1) sin (60° + a); 2) sin (30° — a) 3) cos(a-45°); 4) cos(60° + a); 5) sin (a- ); 6) cos (a + ); 7) ctg(60°-a); 8) ctg(30° + a); 9) ctg (a + +6); 10) ctg (a- ). Правообладатель Народная асвета 1 1 142 Глава 2 2.132°. 1) оов^-П + а) -cos ^-П-а); 3) sin^ -П — а) + cos ^а + ); 5) tg (^j + a) + tg (;П-а); 7) ctg (^П-а) -ctg (^П + а); 2.133. Найдите значение выражения: 1) sin (а + в); 2) sin (а — в); 3) cos (а — в); 4) cos (а + в), если известно, что: 2) sin (а + ) + sin (а ■ 4) cos (6 — а) — sin (а -6) tg (^П + а)-tg (^^- I); 6 8) ctg (-П-а) + ctg (-П а); + а|. а) sinа = i7-, sinв = -61 и -П 0 — наименьшее положительное число, 3 j x j x + T удовлетворяющее условию t^-= tg—-—, т. е. 33 ‘g ^=tg (f+f )■ Поскольку п — наименьший положительный период функ- T ции тангенс (см. теорему), то — = п, т. е. T = 3п. 3 Остается заметить, что если х e D, т. е. х Ф + 3пk, ’ 2 k e Z, то х + 3п Ф + 3п(k + 1), k e Z, а это означает, что (х + 3п) e D. Аналогично получаем, что если х e D, то и (х — 3п) e D. Ответ: 3п. А 9 1. Поясните, почему формулой у = sin x (у = cos x) на множестве R задается функция. 2. Поясните, почему формулой у = tg x на множестве всех действительных чисел x Ф 2^ + пk, k e Z, задается функция. 3. Поясните, почему формулой у = ctg x на множестве всех действительных чисел x Ф пп, n e Z, задается функция. Правообладатель Народная асвета Тригонометрические функции 171 4. Сформулируйте определение периодической функции с периодом T Ф 0. 5. Докажите, что функция синус (косинус) является периодической с периодом 2п. 6. Докажите, что функция тангенс (котангенс) является периодической с периодом п. 7. Докажите, что наименьшим положительным периодом функции синус (косинус) является 2п. 8. Докажите, что наименьшим положительным периодом функции тангенс (котангенс) является п. Упражнения 3.1°. Какие из чисел 4, 5, 9, 13, , -ЗЕ , п, 2п, 3п, 4п, 5п, 6п, 7п, 10п, 11п, 12п, 16п, 21п являются периодами функции: 1) у = sin x; 3) у = tg x; 2) у = cos x; 4) у = ctg x; 5) у = sin X3; 8) у = tg ^1? 6) у = cos 2x; 7) у = ctg 2x; 3.2. Для каждой из функций 5)—8) упражнения 3.1 назовите наименьший положительный период. 3.3. Докажите, что функция у = f (x) периодическая с периодом Т, если: 1) f (x) = 3 sin x, Т = 2п; 2) f (x) = 6 cos x, Т = 2п; 3) f(x) = -2sin2x, Т = -п; 4) f (x) = 2 cos 4x, Т = — . 3.4. Функция задана формулой у = f (x) на множестве D. Верно ли, что эта функция периодическая, если: 1) f (x) = cos x; 2) f (x) = sin x; 3) f (x) = tg x; 4) f (x) = ctg x, а D — один из промежутков: а) [-2п; п]; б) (-^; 0]; в) [-4п; 20п]; г) [0; +^); д) [-3п; 5п]; е) (-^; 0) и (0; +^); ж) [-п; 2п]? Правообладатель Народная асвета 172 Глава 3 3.5. Для функции f укажите Т — ее наименьший положительный период, если: 1) f (x) = -4 ctg x + 2; 3) f (x) = ^jCosSx — 6; 5) f(x) = -2sin2x; 7) f(x) = ^3cos x2; 9) f(x) = 15 tg ^3; 2) f (x) = 6 tgx — 1; 4) f (x) = -2sin2x + 3; 6) f (x) = 8cos4x; 8) f (x) = -|sin-|; 10) f (x) = 10ctg 3.6. Для каждой функции из упражнения 3.5 докажите, что: а) число -12п является ее периодом; б) число 24п является ее периодом; в) число 7^ не является ее периодом; г) число —— не является ее периодом. 5 Укажите область определения функции f и ее наименьший положительный период (3.7—3.8). 3.7. 1) f(x) =—sin(—x); 3) f(x) = (—1)13tg(—x); 5) f (x) = ctg x sin x + cos x; 7) f(x) = 1 — (sinx + cosx)2 ; ctg x sin x 2) f (x) = -cos(—x); 4) f (x) = (—1)46ctg(—x); 6) f (x) = sin x + tg x cos x; 8) f (x) =-i^; tg x cos x 9) * f (x) = 4cos ^2sin-jcos^4 — |j — sin x — 1; 10) * f (x) = —1 + cos x + 4sin ■|Cos^П cos^^n — .l 3.8. 1) f(x) = sj sin2(—x); 3) f(x) ^ tg2(—x); 5) f (x) = — 1; 2) f (x) = \j cos2(—x); 4) f (x) = sj ctg2(—x); 6) f (x) = — 1; 7) f(x) = 9) f(x) = 1 — cos2x 2 1 — cos2x, 1 + cos2x ’ 8) f (x) = 10) f (x) = 1 + cos2x 2 1 + cos2x 1 — cos2x Правообладатель Народная асвета Тригонометрические функции 173 А 3.2. Периодические функции П ример 1. На рисунке 100 изображена часть графика периодической функции у = /(х) с областью определения D( f) = R и наименьшим положительным периодом T, где 0 0. Упражнения 3.9. Может ли быть периодической функция f, заданная на множестве R, если она: 1) возрастающая на R; 2) убывающая на R? 3.10. На рисунке 105 изображена часть графика периодической функции f, определенной на множестве R, с пе- 1 m 1 2 1 Л У ^fix) -1 f \ V -7 -6 -5 ‘-3 р2 -1 0 1 2 3 б’ 6\ ?’ 1 L J 1 1 i Правообладатель Народная асвета 178 Глава 3 риодом Т, где 0 0. Правообладатель Народная асвета 2 2 Тригонометрические функции 183 Действительно, 0 0. А так как — 0. Итак, sin x2 > sin x, Таким образом, на промежутке — ;-П большему значению аргумента соответствует большее значение функции, а это по определению означает, что функция у = sin x на этом промежутке возрастает. В силу периодичности она возрастает на каждом из промежутков —+ 2кк; + 2nk , k е Z. Аналогично доказывается, что функция у = sin x убывает на промежутке П. 3п .2’ 2 . -1+ 2nk’-32n + 2nk а следовательно, и на каждом из про-k е Z. 0 А межутков Напомним, что по определению на промежутке возрастания (убывания) функции f, если х2 > x,, то /(x2) > f(x,) (f( x2) Xj, а на промежутке убывания функции /, если /(xg) х^. Докажите это утверждение методом от противного. А Изображение графика функции синус можно получить несколько иначе: принимая во внимание не толь- ко периодичность функции, но и ее нечетность. Для этого достаточно сначала получить изображение графика на промежутке [0’ п], а затем использовать симметрию графика нечетной функции относительно начала координат и периодичность функции синус (рис. 110, 111, 112). А Правообладатель Народная асвета 2 2 2 184 Глава 3 Пример 1. Сравнить значения выражений sin 7, sin 1, sin 4. Решение. Имеем sin 7 = sin (7 — 2п) « sin 0,72 0; б) sin (5х + 8) 0 совпадает с промежутками, на которых функция у = sin и принимает положительные значения, т. е. 2nk 0; ж) нули, если: 1) D = [0; 3п] ; 2) D = [-n; 2n]; 3) D=[-; ■!; ; 4) D = [-f; 4]; 5) D = [-3П; — в) D = [ 4;7n ]; 7) D = [-1; 0]; 8) D = [0; 1]. 3.28. Используя изображение синусоиды (см. рис. 109), найдите приближенное значение выражения (с точностью до 0,1): 1) sin 2; 2) sin 1; 3) sin (-4); 4) sin (-2); 5) sin 5,5; 6) sin 3,8. 3.29. Решите уравнение: 1) sin 6x = 0; 3) sin (2x + 3) = 1; 5> sin (it- -j)=-1; 7) =i»2 (i!+in)-1=0; 2) sin = 0; 4) sin (0,1x — 5) = 1; 5x + 7n\ 6 + 121 6) sin (^x+^)=-1; 8) cos (^Л- 4x -1 = 0. Правообладатель Народная асвета 188 Глава 3 3.30. Решите неравенство, используя свойства функции синус: 1) sin-6 0; 3) sin(2x-2) > -1; 4) sin(3x +1) -1. 3.31. Укажите, в каких точках промежутка [-2п; 2п] определена функция у = f(x), и изобразите на нем график функции, если: ^ x . 1) f(x) = 2sini^cos^^; 3) f(x) = tgxcos x; 5) f(x) = Usinx) ; 2) f(x)= 2tg‘l . 4) f(x) = 1 ^^; 6) f(x) = sin x +1) -1. 3.32. При каких значениях m существуют такие значения х, при которых будет верным равенство: 1) 2 sin x = m + 1; 2) 3 sin x = m — 2; 3) sin2 x = m; 4) sin2 x — 1 = m? Решите уравнение г п п] sin x = a при х е 1-2; 21 , если а равно: 1) 2) if; 3) -=^^; 4) — 2^ 5) 0,13; 6) 5; 7) -1; 8) 1; 9) S; 10) -/2. 3.34. При каких значениях х из промежутка D функция у = sin x принимает: а) положительные значения; б) отрицательные значения, если: 1) D = [-2|п; -JO]; 2) D = [sf п; 1°|п|; 3) D = (-0,9п; 4,1п]; 4) D = [-1,3п; 1,6п)? 3.35*. Решите на промежутке [-] неравенство: а) sin x a; в) sin x a, если а равно: 1) 2) :23; 3) ^^f; 4) — ;t; 5) — 6) 1; 7) 7; 8) 0,43; 9) ; 10) Правообладатель Народная асвета Тригонометрические функции 189 3.36*. Найдите на промежутке [-п; п] решения уравнения: 1) sin X = 0,3; 2) sin х = 0,6; 3) sin X = -0,7; 4) sin х = -0,2. 3.37*. Найдите на промежутке [-п; п] решения неравенства: 1) sin X 0,4; 3) sin X -0,3. 3.4. Функция у = cos x Рассмотрим функцию косинус, заданную формулой у = cos X, с областью определения — множеством R. Изобразим график функции у = cos X. Сделаем это сначала на промежутке длиной, равной периоду косинуса. Для этого заполним таблицу значений функции косинус для значений аргумента на промежутке [0; 2п], взятых через п, с точностью до 0,1 (приближенные значения косину-8 са можно найти, используя тригонометрическую окружность (см. рис. 76), калькулятор или таблицы). X 0 я 8 я 4 3п 8 Я 2 5п 8 3п 4 7я 8 п cos X 1 0,9 0,7 0,4 0 -0,4 -0,7 -0,9 -1 X п 9п 8 5п 4 11п 8 3п 2 13п 8 7я 4 15п 8 2п cos X -1 -0,9 -0,7 -0,4 0 0,4 0,7 0,9 1 Отметив эти точки на координатной плоскости OXy (рис. 114) и соединив их плавной линией (рис. 115), получим изображение графика функции у = cos X на промежутке [0; 2п]. Рис. 114 З’- • • • • • • 0 71 С • п; • 571 >.К X •j 8 > • • ^ • • 2 Правообладатель Народная асвета 190 Глава 3 Поскольку, как было показано в п. 3.1, функция косинус периодическая с наименьшим положительным периодом, равным 2п, то ее значения повторяются через 2п. Нами получено изображение графика на отрезке, длина которого равна периоду 2п. Сдвигая эту линию многократно вдоль оси Ох вправо и влево на 2п, получаем изображение графика функции у = cos x (рис. 116). График функции у = cos x называется косинусоидой. Изображение косинусоиды дает наглядное представление обо всех свойствах функции косинус. Теорема (о свойствах функции у = cos x). 1. Область определения функции у = cos x — множество R. 2. Множество значений функции у = cos x — промежуток [-1; 1]. 3. Функция у = cos x периодическая с периодом 2п. 4. Наименьшее значение у = -1 функция у = cos x принимает в точках x = п + 2тш, n е Z. Правообладатель Народная асвета Тригонометрические функции 191 Наибольшее значение у = 1 функция у = cos x принимает в точках x = 2пп, n е Z. 5. График функции пересекает ось Оу в единственной точке (0; 1), а с осью Ох пересекается в точках ^+ пп; 0j, п е Z. 6. Нулями функции у = cos x являются значения аргумента x = т^ + пп, п eZ. 7. Функция у = cos x принимает отрицательные значения на каждом из промежутков + 2пп; Щ- + 2пп^, п е Z, и положительные значения на каждом из промежутков — 7П + 2пп; 7П + 2пп^, п eZ. 8. Функция у = cos x четная. 9. Функция у = cos x убывает на каждом из промежутков [2пп; п + 2пп], п е Z, и возрастает на каждом из промежутков [п + 2пп; 2п + 2пп], п eZ. Доказательство. Свойства 1 и 3 были установлены в п. 3.1. Свойства 2, 4—8 легко прочитать на изображении графика функции у = cos x. Заметим, что они фактически были обоснованы в п. 2.4 и 2.5. Свойство 9 тоже можно прочитать по графику. Промежутки возрастания и убывания можно также указать, используя единичную окружность. Докажите свойство 9 самостоятельно (см. п. 3.3). При изображении графика у = cos x можно использовать не только свойство периодичности, но и свойство четности косинуса (поясните как). Пример 1. Функция задана формулой /(x) = cos x на множестве D. Является ли эта функция четной, если: а) D = (-2п; 2п]; б) D = Z? Решение. а) Функция не является четной, так как промежуток D — ее область определения — не симметричен относительно начала координат: 2п eD, -2п gD. б) Функция четная, так как ее область определения D = Z — множество, симметричное относительно нуля, и для любого x е Z имеем /(-x) = cos (-x) = cos x = f(x). Ответ: а) нет; б) является. Правообладатель Народная асвета 192 Глава 3 Пример 2. Изобразить график функции f, заданной формулой у = cos x на множестве D = (0; п) U (п; 2п), и назвать по графику свойства этой функции. Решение. График данной функции изображен на рисунке 117 (поясните, как он получен). Свойства этой функции следующие: 1. D( f) = (0; п) и (п; 2п). 2. E(f) = (-1; 1) (поясните почему). 3. Функция f непериодическая (поясните почему). 4. Функция f не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений (поясните почему). 5. График функции точек пересечения с осью Оу не имеет, а с осью Ох пересекается в двух точках: ; 0j и ^32^; 0 6. Нулями функции f являются х1 = и х2 = -3^. 7. Функция f принимает отрицательные значения на промежутках ^22; nj и -3^). Функция f принимает положитель- ные значения на промежутках ^0; и ^32^; 2п 8. Функция f не является четной (поясните почему). 9. Функция f убывает на промежутке (0; п) и возрастает на промежутке (п; 2п). Пример 3. Решить уравнение cos— 1j = —1. Решение. Функция у = cos и принимает наименьшее значение у = -1 в точках и = п + 2пп, n е Z; при и = х — 1 имеем: 3 х — 1 = п + 2пп, п е Z, откуда х = 3 + 3п + 6пп, п е Z. 3 Ответ: 3(1 + п + 2пп), п eZ. Правообладатель Народная асвета Тригонометрические функции 193 П ример 4*. Решить неравенство: а) cos^- — 3) cos—. Значит, 0 0; ж) нули, если: 1) D = [-2п; п]; 2) D = [0; 3п]; 3) D = [- ; 1! ]; 4) D=[-f ;f ]; 5) D=[-тг; — П ]; 6) D=[I ;тг ]; 7) D = [0; 1]; 8) D = [-1; 0]. 3.45. Используя изображение графика функции у = cos х (см. рис. 116), найдите приближенное значение выражения (с точностью до 0,1): 1) cos 2; 2) cos (-1); 3) cos 1; 4) cos 4; 5) cos (-3,5); 6) cos 5,5. 3.46. Решите уравнение: 1) cos 4х = 0; 2) cos х = 0; 5 3) cos (3х — 1) = 1; 4) cos( -х + з) = 1; 5) cos (+10) = -1, 6) /4х cos(IT — 4) = — 7) cos2 (^ — II) -1 = 0; 8) sin(-5;|- 6х) — -1 = 0. 3.47. Решите неравенство, используя свойства функции косинус: 1) cos-5^^ > 0; 2) cos-jl > 0; Правообладатель Народная асвета 1 196 Глава 3 3) cos(3x +1) > -1; 5) cos(2n-2x) 1. 3.48. Укажите, в каких точках промежутка [-2п; 2п] определена функция у = f(x), и изобразите на нем график функции, если: 1) f(x) = cos2 — sin2^x; 3) f(x) = ctg xsinx; 2) f(x) = 1 — tg2 «1. 4) f(x) = 1 5) f(x) = [у]cos x 6) f(x) = Ucos x -1) + 1 3.49. При каких значениях n существуют такие значения х, при которых будет верным равенство: 1) 5 cos x = n + 1; 3) cos2 x = n; 2) 4 cos x = 2 — n; 4) 1 — cos2 x = n? 3.50. Решите уравнение cos x = a при х e ^—П; j, если а равно: 1) ^; 6) — 9; 2) il; 3) 4) Т) -1; 8) 1; 9) 4) -1; 5) -0,23; 10) ^2. 3.51. При каких значениях х из промежутка D функция у = cos x принимает: а) положительные значения; б) отрицательные значения, если: 1) D = [-4^2п; — 1i8nj; 2) D = [5-3п; ТЦnj; 3) D = (-1,2п; 2,9п]; 4) D = [-2,3п; 1,4п)? 3.52*. Решите на промежутке [0; п] неравенство: а) cos x a; г) cos x > a, если а равно: 2) ^; 3) — 2; 4) 2 ; 5) — -3; Т) 1; 8) -1; 9) ^3; 10) Тп. Правообладатель Народная асвета cos x Тригонометрические функции 197 3.53*. Найдите на промежутке [0; 2п] решения уравнения: 1) cos x = 0,4; 2) cos x = 0,2; 3) cos x = -0,1; 4) cos x = -0,9. 3.54*. Найдите на промежутке [0; 2п] решения неравенства: 1) cos x > 0,2; 2) cos x -0,8. 3.5. Функция y = tg x Рассмотрим функцию тангенс, заданную формулой у = tg x, с областью определения — множеством действительных чисел x Ф -П + пп, n е Z. Изобразим сначала график функции у = tg x на промежутке длиной, равной периоду тангенса. Для этого заполним таблицу значений функции тангенс для значений аргумента на ^ ____________п промежутке ^—^j, взятых через ^ с точностью до 0,1 (приближенные значения тангенса можно найти, используя тригонометрическую окружность и линию тангенсов (рис. 119), калькулятор или таблицы). x п 2 3п 8 П 4 П 8 0 П 8 П 4 Зп 8 П 2 tg x — -2,4 -1 -0,4 0 0,4 1 2,4 — Отметив эти точки на координатной плоскости Oxy (рис. 120) и соединив их плавной линией (рис. 121), получим изображение графика функции у = tg x на промежутке ^— -П; j. Через П П П П точки —— и — проведем вертикальные прямые x = —— и x = — 2 2 2 2 Правообладатель Народная асвета 198 Глава 3 У’ 1 3 о • «1 1 1 1 • 71 1 1 7Г о • ‘ 1 1 ти 1 ТС X 2 4 4 2 -1 • -2 Рис. 120 Рис. 121 (они не имеют общих точек с графиком функции тангенс, так как эта функция в точках —п и П не определена) (см. 2 2 рис. 121). Нами получено изображение графика на промежут-^ п] ке (— 2′; длина которого равна п — периоду тангенса. Сдви- гая эту линию многократно вдоль оси Ох вправо и влево на п, получаем изображение графика функции у = tg x (рис. 122). График функции у = tg x называется тангенсоидой. Часть тангенсоиды на каждом из промежутков вида ^— 7^ + пп; 7^ + nnj, n е Z, называют ветвью тангенсоиды. Тангенсоида состоит из бесконечного множества одинаковых ветвей. Изображение графика функции тангенс (см. рис. 122) подсказывает свойства этой функции. Теорема (о свойствах функции у = tg x). 1. Область определения функции у = tg x — множество действительных чисел x Ф ^ + пп, п е Z. 2. Множество значений функции у = tg x ствительные числа, т. е. множество R. все дей- Правообладатель Народная асвета Тригонометрические функции 199 3. Функция у = tg x периодическая с периодом п. 4. Наибольшего и наименьшего значений функция у = tg x не имеет. 5. График функции проходит через точку (0; 0) — начало координат; с осью Оу он пересекается только в точке (0; 0), а с осью Ох — в точках (пп; 0) n е Z. 6. Нулями функции у = tg x являются значения аргумента x = пп, п е Z. 7. Функция у = tg x принимает отрицательные значения на каждом из промежутков ^—T^ + nn; wnj, п е Z, и положительные значения на каждом из промежутков пп; 2 + nnj, п е Z. 8. Функция у = tg x нечетная. 9. Функция у = tg x возрастает на каждом из промежутков ^—-П- + пп; -П- + nnj, п е Z. Доказательство. Свойства 1 и 3 были установлены в п. 3.1. Свойства 2, 4—8 можно прочитать на изображении графика функции у = tg x (см. рис. 122). Они фактически были обо- Правообладатель Народная асвета 200 Глава 3 снованы в п. 2.7. Свойство 9 тоже можно увидеть на изображении графика. А Приведем доказательство свойства 9. Рассмотрим функцию у = tg x на промежутке ^— ; -П-j. Пусть Xi, X2 е (—П-; -П-j и х^ tg X^, т. е. функция у = tg X возрастает на промежутке 2^ 2/’ а ее возрастание на каждом из проме- жутков (— 7П + пп; 7П + пп), n е Z, следует из периодичности. 0 А f Замечание. Функция /(x) = tg X имеет только промежутки возрастания, но она не является возрастающей на всей области определения D(f) (поясните почему). Изображение графика функции у = tg X можно получить несколько иначе, чем было показано, учитывая нечетность функции тангенс (поясните как). Пример 1. Решить неравенство: а) tg (5X — 2) —п. Таким 4 2 образом, —^ 0; ж) нули, если: Правообладатель Народная асвета Тригонометрические функции 203 1) D = (i2l; 2п|; 2) D = [-п; — -П); 3) D = [-тг;- -I ]; 4) D=[тг;т| |; 5) D = [0;1]; 6) D = [-1; 0]. 3.62°. Используя изображение графика функции у = tg x (см. рис. 122), найдите приближенное значение выражения (с точностью до 0,1): 1)tg 1; 2)tg 4; 3) tg (-2); 4) tg (-4); 5) tg 5,2; 6) tg (-4,3). 3.63°. Функция f задана формулой у = tg x на множестве D. Имеет ли функция f наибольшее значение, если: 1) D = (-;^П|; 3) D = [бп; т|П); 5) D = (14; 15); 2) D=(- 2; 4); 4) D = [-4п; -TfП]; 6) D = [5; 7]? 3.64°. Функция f задана формулой у = tg x на множестве D. Укажите промежутки, на которых функция f принимает: а) положительные значения; б) отрицательные значения, если: 1) D=(- 1г; 74П ]; 3) D = [4п; 9L); 5) D = (5; 7); 3.65. Решите уравнение: 1) tg(2x + 3) = 0; 3) tg (^x — ) = °; 2) D = (-3L; TTП); 4) D = [-; — 2п|; 6)* D = [14; 17]. 2) tg(4x — 5) = 0; 4) ‘g (i, + И)=0. 3.66. Решите на промежутке (—П; -П.) уравнение tg x = a, если а равно: 1) 1; 2) V3; 3) ^3; 5) -7; 6) -5; 7) 15; 4) 4) 3 ; 8) 21. Правообладатель Народная асвета 204 Глава 3 3.67. Решите неравенство: 1) tg 0; 4) tg(3x +1) a; г) tg x > a, если а равно: 1) Jr; 2) ■^; 3) 3 4) -1; 5) 6; 6) n; 7) — -Г; Является ли функция периодической? Если является, то ука- 8) — ^9. жите ее наименьший положительный период (3.69- 3.69. 1) у = tg:|; 2) у = tg3x; 3) у = tg4x-2; 4) у = tg Xl + 3; 5) у = tg(x +1); 6) у = tg(x-2); 7) у = 2tg (^ -1); 8) у = 3tg(2x + 4); 9) у = 2(tg^2 -1) + 3; 10) у = 3tg(2x + 4)- 3.70*. 1) у = tg|x|; 2) у = -tg x . 3.71*. 1) у = tgx; 2) у = ctg(-П + x); 3) у = Цtgx’)); 4) у = ^ltg2x; 5) у = tg (-2x) ctg 2x; 6) у = tg x ctg x. 3.6. Функция у = ctg x Рассмотрим функцию котангенс, заданную формулой у = ctg x, с областью определения — множеством действительных чисел x ^ nk, k е Z. Изобразим график функции у = ctg x. Сделаем это сначала на промежутке длиной, равной периоду котангенса. Для этого заполним таблицу значений функции котангенс для значе- Правообладатель Народная асвета Тригонометрические функции 205 ний аргумента на промежутке (0; п), взятых через ^ с точно- 8 стью до 0,1. Приближенные значения котангенса можно найти, используя тригонометрическую окружность и линию котангенсов (рис. 124). x 0 п 8 п 4 3п 8 п 2 5п 8 3п 4 7п 8 п ctg x — 2,4 1 0,4 0 -0,4 -1 -2,4 — Отметив эти точки на координатной плоскости Oxy (рис. 125) и соединив их плавной линией (рис. 126), получим изображе- 2 • 1 1 1 L 1 1 1 О 1 1 п 1 7 Г \ : 1 Зл 1 Я X 4 г 4 2 • Рис. 125 Рис. 126 Правообладатель Народная асвета 206 Глава 3 ние графика функции у = ctg x на промежутке (0; п). Через точки 0 и п проведем вертикальные прямые х = 0 и х = п (они не имеют общих точек с графиком функции котангенс, так как эта функция не определена в точках 0 и п) (см. рис. 126). Нами получено изображение графика на промежутке (0; п), длина которого равна п — периоду котангенса. Сдвигая эту линию многократно вдоль оси Ох вправо и влево на п, получаем изображение графика функции у = ctg x (рис. 127). График функции у = ctg x называют котангенсоидой. Часть котангенсоиды на каждом из промежутков (пк; п + пк), к е Z, называют ветвью котангенсоиды — таких ветвей бесконечно много. Котангенсоида состоит из бесконечного множества одинаковых ветвей. Изображение графика функции котангенс подсказывает все свойства этой функции (см. рис. 127). Теорема (о свойствах функции у = ctg x). 1. Область определения функции у = ctg x — множество действительных чисел x ^ пк, к е Z. 2. Множество значений функции у = ctg x — все действительные числа, т. е. множество R. Правообладатель Народная асвета Тригонометрические функции 207 3. Функция у = ctg x периодическая с периодом п. 4. Наибольшего и наименьшего значений функция у = ctg x не имеет. 5. График функции не имеет общих точек с осью Оу, а с осью Ох пересекается в точках + nk; 0j, k е Z. 6. Нулями функции у = ctg x являются значения аргумента x = -П + nk, k е Z. 7. Функция у = ctg x принимает отрицательные значения на каждом из промежутков + nk; П + nkj, k е Z, и положительные значения на каждом из промежутков nk; 2 + nkj, k е Z. 8. Функция у = ctg x нечетная. 9. Функция у = ctg x убывает на каждом из промежутков (nk; п + nk), k е Z. Доказательство аналогично доказательству теоремы о свойствах функции у = tg x. Замечание. Функцию котангенс нельзя назвать убывающей на всей области определения, хотя у этой функции есть только промежутки убывания (поясните почему). ! Пример 1. Решить неравенство ctg(5 + 0. Решение. Неположительные значения функция у = ctg и принимает при ^П + nk , но x 0; ж) нули, если: 1) D = (-; -п); 3) D = [- 5) D = [1; 2]; _ 7п ; 9 ; 2) D = [3П; 2п); 4) D=[10; I ]; 6) D = [4; 6]. Правообладатель Народная асвета 210 Глава 3 3.79. Используя изображение графика функции у = ctg x (см. рис. 127), найдите приближенное значение выражения (с точностью до 0,1): 1) сtg 4; 2)сtg 5; 3) сtg (-1); 4) сtg (-0,5). 3.80°. Функция f задана формулой у = ctg x на множестве D. Имеет ли функция f наибольшее значение, если: 1) D = (0;^Л|; 2) D = (0; ); 17п 3) D = [^f ;46П); 4) D = [-4,5п; 4 ^ 5) D = (7; 8); 6) D = [20; 22]? 3.81°. Функция f задана формулой у = ctg x на множестве D. Укажите промежутки, на которых функция f принимает: а) положительные значения; 6) отрицательные значения, если: 1) D = (-2п; 54п]; 3) D =[5П ;9п); 5) D = (1; 5); 3.82. Решите уравнение: 1) ctg(3x — 2) = 0; 3) ctg(5x + 56L) = 0; 2) D = (-2п; ^]; 4) D=[- IT; — ]; 6) D = [4; 12]. 2) ctg(0,5x + 3) = 0; 4) ctg(TT -Ij)=«. 3.83. Решите уравнение ctg x = a на промежутке (0; п), если а равно: 1) 1; 2) -1; 3) -yfS; 5) -9; 6) -8; 7) 37; 3.84. Решите неравенство: x ^ 2) ctg3x 0; 3) ctgi^ > 0; 5) ctg(2x — 2) > 0; 6) ctg(3x +1) a; в) ctg x a, если а равно: Правообладатель Народная асвета Тригонометрические функции 211 1) ^3; 5) -ЯТ; 2) ^31; 6) -п; 3) ^3i; 7) 9; 4) 1; 8) 3. Является ли функция периодической? Если является, то укажите ее наименьший положительный период (3.86—3.88): 3.86*. 1) у = ctg :|; 3) у = ctglx -1; 5) у = ctg(x +1)-2; 7) у = 2ctg(xX-1) + 4; 3.87*. 1) у = — ctg x I; 3.88*. 1) у =^ctg с) 3) у = tg 2x ctg 2x; 2) у = ctg3x; 4) у = ctg^X + 2; 6) у = ctg(x — 2) + 3; 8) у = 3otg(^ + 3) — 2. 2) у = ctg|x|. 2) у = ^jctg2x; 4) у = tg (-0,5x) ctg 0,5x. 3.7. Решение уравнений вида sin x = a, cos x = a При решении простейших тригонометрических уравнений sin x = a и cos x = a рассматривают три случая. Случай 1. |a| > 1, т. е. a 1. При таких значениях a уравнения sin x = a и cos x = a не имеют решений (поясните почему). Случай 2. a = 0; |a| = 1. При таких значениях a получим уравнения, решения которых легко находить, зная свойства синуса и косинуса, — они указаны в таблице. ^^^^^Значение а a = 0 a = -1 a = 1 Уравнение^^^^ sin x = a x = nn, n e Z x = + 2nn, n eZ 2 x = — + 2nn, n e Z 2 cos x = a x = — + nn, n eZ x = п + 2nn, n e Z x = 2nn, n eZ Случай 3. 0 1 0 “1 , \\ V ° \^СХ2 о 1 X «2 или x = а1 + 2nk, k g Z, x = a2 + 2nm, m g Z. Рис. 131 Пусть а1 g [0; п], a2 g [-n; 0]. Поскольку a1 g [0; n] и cos a1 = a, то (по определению арккосинуса) а1 = arccos a. Поскольку точка Aa2 симметрична точке Aa1 относительно оси Ox, то а2 = -а1 = -arccos a. Таким образом, решениями уравнения cos x = a являются две группы чисел: x = arccos a + 2nk, k g Z, (4) или x = -arccos a + 2nm, m gZ. (5) Эти две группы решений обычно записывают одной формулой: x = ±arccos a + 2nn, n g Z. (6) Способ 2 (с использованием графиков функций). В одной системе координат изобразим графики функций у = cos x и у = a (рис. 132). Решениями уравнения Правообладатель Народная асвета Тригонометрические функции 215 cos x = a (0 0. Изобразив в одной системе координат тангенсоиду у = tg x и прямую у = а, отметим на оси Ox решения уравнения tg x = а, они являются абсциссами точек пересечения тангенсоиды и прямой у = а (рис. 133). На рисунке отмечены некоторые из них — x1, x2, x3, x4. Расстояния между соседними точками, абсциссы которых являются решениями уравнения tg x = а, одинаковы и равны п — наименьшему положительному периоду функции тангенс. Абсцисса точки M — число х2 — равна arctg а (объясните почему, используя рисунок 133). С учетом периодичности функции тангенс запишем все решения рассматриваемого уравнения в виде x = arctg а + пп, n е Z. (1) Решение уравнения tg x = а при а 0; б) a 0 cos x + 1 = 0 и cos x > 0. (1) (2) (3) В случаях (2) и (3) решений нет (поясните почему), а из уравнения (1) получим: cos x = 0, откуда находим x = -П + nk, k eZ. „ . п (1 + 2k) , „ Ответ: а) —k eZ; ± п (1 + 3n) , n eZ; б) /Л + nk, k e Z. 10 15 Пример 2. Решить уравнение tg x + tg 2x = tg 3x Правообладатель Народная асвета Тригонометрические функции 233 Решение. Из формулы tg(a + P) = ^ tg а + tg в „ следует, что tg а tg в ’ tg а + tg в = tg (а + в) (1 — tg а tg в). Используя это следствие для данного уравнения, получаем равносильное ему: tg (x + 2x) (1 — tg x tg 2x) = tg 3x; tg 3x tg x tg 2x = 0. Функция f(x) = tg x tg 2x tg 3x периодическая с периодом п (убедитесь в этом). Ее нули на промежутке [0; п] — это те значения х, при которых один из множителей равен нулю, а остальные имеют смысл. Значения х, при которых один из множителей равен нулю, это: 0, , -2^ (поясните почему). При всех этих значениях x, кроме , все множители имеют смысл (поясните почему). Следовательно, 0, П, — нули функции f на промежутке [0; п]. Учитывая периодичность, получаем x = -П • п, nе Z. , п е Z. Ответ: 2. Использование формул двойного и половинного аргумента П ример 3. Решить уравнение 2 sin x — 3 cos x = 3. Решение. Используя формулы двойного аргумента и основное тригонометрическое тождество, получаем: 2 • 2sinx cosx — 3(cos2 x — sin2 x) = 3sin2 x + 3cos2 x; о о \ о о / о п ‘ 2 x ,2 x „2 x . или Откуда имеем 3cos2 — — 2sin x cos x = 0; 2 2 2 ’ cos—(3cosx — 2sin—) = 0. cos x = 0 2 3cosx — 2sinx = 0. (4) (5) 2 2 Решениями уравнения (4) являются числа x = п + 2пп, n e Z. Решениями уравнения (5) — однородного уравнения первой степени относительно sin x и cos x, которое равносильно Правообладатель Народная асвета 234 Глава 3 уравнению 3 — 2tg-^ = 0, — являются числа x = 2arctg-3 + 2кк, k е Z (убедитесь в этом). 3 Ответ: п + 2тт, n е Z; 2arctg^ + 2nk, k е Z. Пример 4. Решить уравнение cos2x + 3cos2X2 = i^.. Решение. Используем формулу половинного аргумента (еще говорят «формулу понижения степени»): cos2 x + 31 + 2°sx = -|-, т. е. 2 cos2 x + 3 cos x — 2 = 0, откуда cos x = -2 или cosx = -2. Первое уравнение не имеет решений, а решениями второго являются значения x = ±п + 2пп, n е Z. 3 Ответ: ±п + 2пп, п е Z. 3 Пример 5. Решить уравнение sin2 x — cos 2x = 1,5 — sin 2x. Решение. Используя формулы двойного аргумента и основное тригонометрическое тождество, получаем уравнение, равносильное данному: sin2 x — (cos2 x — sin2 x) = 1,5 (sin2 x + cos2 x) — 2 sin x cos x. Это однородное уравнение второй степени относительно sin x и cos x. Решив его, получим: x = -arctg 5 + nk, k е Z, или x = ^Л + пп, n е Z. Ответ: -arctg 5 + nk, k е Z; ^^ + nn, n е Z. 3. Использование универсальной подстановки Пример 6. Решить уравнение cos 4x + tg 2x = 1. (6) Решение. По условию x Ф + П-, n еZ (область определе- 1—tg212 ния функции у = tg 2x). Использовав формулу cos а = 1 + tg212 получим уравнение, равносильное уравнению (6) (поясните почему): 1 — tg2 2x 1 + tg2 2x + tg2x = 1. Пусть tg 2x = u, тогда имеем: Правообладатель Народная асвета Тригонометрические функции 235 ^+ и -1 = 0, т. е. (1 — и)= 0, откуда и, = 1, и2 = 0. 1 + и2 1 + и2 Учитывая обозначение, получаем: tg 2x = 1 или tg 2x = 0, П nk ^ ^ ПШ rw откуда находим: x = —^—, k ^Z, или x = ^^, ш g Z. 8 2 2 ОП . nk J rw П^Ш rw твет:

^ + ^, k g Z; -—, ш gZ. 8 2 2 4. Введение вспомогательного аргумента П ример 7. Решить уравнение: а) sinx-\fScosx = 2; б) 2 sin x — 3 cos x = 3. Решение. а) Преобразуем левую часть уравнения, используя введение вспомогательного аргумента (см. п. 2.15): :^73cosx = 2(-1 sinx —^^cosx ) = sin x — = 2fcos 13sinx — sini3cosxj = 2sin |x-^3). Исходное уравнение равносильно уравнению 2sin(x -— j = 2. 5^ »» Решив его, получим x = — + 2пk, k g Z. б) Способ 1. Преобразуем левую часть данного уравнения, используя введение вспомогательного аргумента. Получим: 2 sin x — 3 cos x = V22 + 32 ^^sin x ^^cos xj = ^713 (cos9 sin x — sin cp cos x) = л/13 sin (x — ф), где ф = arcsi^j=. Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению V13 sin (x — ф) = 3, где ф = arcsi^-^. v13 Решая его, получаем уравнение, равносильное данному: sin (x — ф) = Решив его, находим •Лё’ x = (1 + (-1)k )arcsi^^ + пk, k G Z. Ответ: а) -56^ + 2пk, k g Z; б) (1 + (-1)k)arcsi^-^ + пk, kg Z. Правообладатель Народная асвета 3 236 Глава 3 Способ 2. Если решать уравнение б) с использованием универсальных подстановок, то заменив в данном уравнении выражения sinx и cosx универсальными подстановками при x Ф п + 2nk, k е Z, получим уравнение 2tg — 3 1 — tg2 ^1 2 = 3. 1+tg2 x2 Решая его, получаем уравнение, равносильное данному: X 3 3 tg— = 2, откуда X = 2arctg2 + 2пп, n е Z. Подставим в исходное уравнение исключенные при использовании универсальных подстановок значения x = п + 2nk, k е Z: 2 sin (п + 2nk) — 3 cos (п + 2nk) = 3. Получаем 2 • 0 — 3 (-1) = 3, т. е. 3 = 3 — верное числовое равенство. Итак, значения x = п + 2пk, k е Z, также являются решениями уравнения б). 3 Ответ: 2arctg^ + 2пп, п е Z; п + 2пk, k eZ. 5. Использование свойств функций Пример 8. Решить уравнение 1 + 2 ctg2 X = cos 8x. (7) Решение. Поскольку при любых значениях х из области определения уравнения (7) верны неравенства 1 + 2 ctg2 x > 1 и cos 8x (п j + sin8 (? j -16 = 1 + (4 j8 -17 = ^ i = 0, 16 16 и других нулей на промежутке 0; 7^] функция f не имеет. А поскольку f — четная функция, то f(—= f (.jj = 0. ОП П твет: —-; —. 4 4 П ример 11. Решить уравнение 7 ctg47 x — 3 = 4 tg13 x на промежутке (0; т^]. Правообладатель Народная асвета 238 Глава 3 Решение. Легко убедиться, что x = является решением данного уравнения на промежутке (^0; T^j. На этом промежутке функция /(х) = 7 ctg47 x — 3 убывающая (это следует из убы- вания на промежутке (0; ^j функций у = ctg х и у = ctg 7 х), а функция g(x) = 4 tg13 х — возрастающая (это следует из возрастания на промежутке (0; ^^j функций у = tg х и у = tg13 х). Таким образом, на промежутке (0; j х = — единствен- ное решение. Ответ: П. 4 Упражнения Решите уравнение (3.138—3.151). 3.138. 1) 81п18х-2 81п6х = 0; 3) 2сс8 3х + сс89х = 0; 2) 81п21х + 2 81п7х = 0; 4) 2со84х-со812х = 0. 3.139. 1) 81п-3х + 2со8х = 2; 2) со89х + 2со83х = -2; 3) 0,5 (81п 3х — 81п х) = 81п 2х co8 х — 4 81п3 х; 4) 0,5 (co8 3х — co8 х) = 2 81п2 х co8 х + 4со83 х; 5) C083 х С083х + 81п3 х 81п3х ^^42; 3 3 3 6) 81п хсо83х + co8 х 81п3х = —; 8 7) * 81п3 х81п 3х + co83 х co83х = co83 4х; 8) * 481п3 х С08 3х + 4со83 х 81п 3х = 3 81п 2х. 3.140. 1) 581пх- 12со8х = 13; 3) \/3 81п2х — 2со82х = 1; 5) л/3 81п^2 — co8^| = ’12; 7) 281п х ^/2со8 х ^Уб; ‘4 4 3.141. 1) со82х^У2(со8х-81пх); 1 Wa , 2) 8 81пх- 15со8х = 17; 4) \/3 81п2х — со82х = -1; 6) \/3 81п-2 + со8^2 ^У2; 8) 81п х ^Уэсо8х = ^/э. 2) со82х = — -(co8 х + 81п х); 3) 81п2х = C084 — 81п4 ^|; Правообладатель Народная асвета Тригонометрические функции 239 4) 5) 6) 7) 8) 3.142. 1) 3) 5) 6) 7) 8) 3.143. 1) 3.144. 1) 2) 3) 4) 4 sin 5x cos 5x(cos4 x — sin4 x) = sin 4x; sin10x + cos10x = \[2 cos 15x; sin18x — sin 12x + cos 12x = 0; 2 sin4 2x — 3 + 3 sin 4x = 2 cos4 2x; 2cos4 x ^УТб — 4sinx = 2sin4 x. 2 2 tg3x — tg5x = 0; ctg 3x — ctg x = 0; tg x + tg2x — 2tg3x = 0; tg5x — tg3x — 2tg2x = 0; tg1 — tg x — tg(1 — x) = 0; tg (-3- — xj + tg ^-3 — x) — 2sin2x = 0. 2) tg2x + tg5x = 0; 4) ctg7x + ctgx = 0; 1 + cos x 1 — sin x = 3. 2) 1 — cosx = 1 ; ) 1 + sin x 3 . cos2x ctg 3x — sin 2x -^f— cos 5x = 0; cos3x tg2x + sin 3x ^72 sin 5x = 0; cos2x tg6x — sin 2x — 2 sin4x = 0; cos 3x ctg 6x — sin 3x + 2cos9x = 0. 3.145. 1) sin x sin3x = -1; 3) cos2x cos6x = -■2; 4sin2 x + sin2 2x = 3; 2) 4sin4x sin12x = -4-; 4) cos3x cos9x = ^v;r. 16 cos2 3x + cos2 4x + cos2 5x = 1,5; 3.146. 1) 3) 4) cos2 x + cos22x + cos23x + cos24x = 2; 5) sin2 3x + sin2 4x — sin2 5x — sin2 6x = 0; 6) 2) 6sin2 x + 2sin22x = 5; sin2 2x + sin2 3x + sin2 4x + sin2 5x = 2. 2sin2 + cos2x = 0; 3.147. 1) 2) 3cos2 x — 3sin2 x + cos2x = 0; 3) sin4 x + sin4 (x + j = 0,25; Правообладатель Народная асвета 240 Глава 3 4) sin4 + cos4 6) sin4 x + cos4 x = sin2x; 7) * cos6 x — sin6 x = 183cos22x; 8) * cos6 (-П — x) — sin6 (x — ^) = ^2. 3.148. 1) 3cos4x — 2 sin2 2x — sin 4x = 0; 2) 5sin22x + 0,5sin4x — cos4x = 0; 3) sin4x + 3cos4x = 2sin22x; 4) 4sin22x + sin4x = 3; 5) 5sin22x + 3cos4x = 2,5sin4x; 6) 4cos4x + 0,5sin4x = sin22x; 7) 2cos6x + 3sin23x = 1,5sin6x; 8) 5sin2x + 2cos-2x- 3,5sin-2x = 0. 3 3 3 5) sin4 x + cos4 x = cos4x; 3.149. 1) sinx + tg-| = 0; 3) 2sin2 x + tg2x = 2; 5) 2 sin x — 2 sin2 x — 4cos2— 2 = tg2 x; 2 x ® 2 3.150*. 1) sin5x + cos4x = 2; 3) 5sin3x + 3cos4x = 8; 5) tgx + ctgx = 2sin(7x + ^Л); 2) 1 + cos x = ctg-^; 4) 3ctg2x + 2 cos2x = 6; 6) sin4x + 3sin2x = tgx. 2) cos4x — sin5x = 2; 4) 3cos4x-5sin3x = 8; 6) tgx + ctgx = 2cos(x -4); 7) 8) sin ( x + arctg 4 13 cos (x + -3^ + arctg 2,4 = 3sinx + 4cosx; = 5sinx + 12cosx. 3.151*. 1) 5sin2 x + 8cosx +1 = |cosx| + cos2x; 2) 3cos2x + 2sin2x + 4sin|x| = 0; 3) 2cosx-3sinx-|sinx| = 0; 4) 2cosx-3sinx-|cosx| = 0; 5) 3cos|x| + 4sinx-sin|x| = 0; 6) 4cos|x|-3sinx-sinlx| = 0; Правообладатель Народная асвета Тригонометрические функции 241 7) 3sin22x-2-0,5sin4x| = 0; 8) 5cos22x-2,5|sin4x|-3 = 0; 9) cos2x + cos6x = |cos4x|; 10) |^/3cos8X = sin12x — sin4x. 3.152*. При каких значениях а имеет решение уравнение: 1) 5sin2x-6cos2x = a; 3) 5cos(x2-+ asin(34n-= 6; 4) 3sin(^2x + -П-) — acos^-6- + 2x) = 4? 2) 7cos4x- 3sin4x = a; 3.153*. Решите относительно х уравнение: -.4 -44^, 4 4x 1) si^ — + co^ — = a; 5 5 2) sin4 x + cos4 x — a sin(4x + n) = 0; 3) a — cos(n- x) + sin n + x = 0; 4) sin42x + cos42x + sin4x = a. A 3.11. Системы тригонометрических уравнений Рассмотрим несколько систем, содержащих тригонометрические уравнения. ■V + II —, _ П ример 1. Решить систему уравнений x + У = т ’ tg x tg У = -130. Решение. Способ 1. Выразим у через х из первого уравнения данной системы и подставим во второе уравнение. Получим: У = 4 — x. tg x tg (П-x) = -130. (1) (2) Преобразуем уравнение (2), используя формулу тангенса разности, и решим равносильное ему уравнение относительно tg x: tgx — tg2 x 10 0,9 1 + tgx =—^, откуда 3 tg x — 13 tg x — 10 = 0, значит, tgx = —2 или tg x = 5. 3 Правообладатель Народная асвета 242 Глава 3 Учитывая уравнение (1), получаем равносильную исходной системе совокупность: У = 4 — или tg X = -з |У = 4 -[tg X = 5. Решив каждую из этих систем, находим решения исходной системы уравнений. Ответ: x = -arctg-| + nn, у = -n + arctg-| -nn, n e Z; X = arctg 5 + nk, у = — arctg5 — nk, k e Z. Замечание. Ответ к системе уравнений может быть записан и в виде множества пар: -arctg-| + nn; -П + arctg-| — nn), n e Z; arctg5 + nk, -П — arctg5 — nkj, k e Z. Способ 2. Напомним формулу tg(a + P) = itg tgattgP. С ее помощью, учитывая условие, получим еще одно соот- tg X + tg у ношение между переменными х и у (поясните как): 1 = — 13 13 откуда имеем tg x + tg у = —, т. е. tg у = — — tg x. 3 3 1+1? Поскольку по условию tg X tg у = —Ц», то tg X ^13 — tg xj = —13-. Откуда получаем уравнение 3 tg1 X — 13 tg x — 10 = 0. Дальнейшее решение совпадает с решением способом 1. Пример 2. Решить систему уравнений 1 cos X cos у = 4, 3 sin X sin у = 4. Решение. Складывая и вычитая почленно уравнения этой системы, приходим к равносильной ей системе уравнений fcos(x — у) = 1, |cos(x + у) = — ^2. Правообладатель Народная асвета Тригонометрические функции 243 Отсюда получим Гх — у = 2пп, n G Z, \^x + у = ±^3^ + 2кк, kG Z. Эта система равносильна совокупности двух систем: Гх — у = 2пп, п G Z, Г х — у = 2пп, п G Z, I х + у = —^ + 2nk, k G Z, lx + у = 4^ + 2nk, k G Z. Решив их, получим: x = —| + n(k + п), п G Z, k G Z, у = —| + n(k-п), п G Z, k G Z, или x = -П + n(k + п), п G Z, k G Z, у = -П + n(k — п), п G Z, k G Z. Ответ: (-П + п(k + п); -П + п(k-п)); \ 3 3 / + n(k + п); -^ + n(k — п)), k G Z, п G Z. 1. Что называется решением системы уравнений с двумя переменными (неизвестными)? 2. Приведите примеры систем тригонометрических уравнений. Упражнения Решите систему уравнений (3.154—3.164). 3.154. 1) 3) |^у + sin x = 5, [4у + 2sin x = 19; [ч/2у ^yi2ctg x = 2, [^/2у W27 ctg x = 1; 2) 4) 3у + 2tg x = 4, 2у + 3tg x = 1; 4у + 43 cos x = -0,5, 28у + Wb cos x = 1. I x + у = ^, 3.155. 1) ^ 3 3) [sin x + sin у = 1; Г , 2п lx+у = ^^, [tg x + tg у = ^/3; 2) Jx — у = 3, Lcos x — cos у = -0,5; П x — у = ^, 4) Lctg x — ctg у = -43. Правообладатель Народная асвета 244 Глава 3 3.156. 1) 3) 3.157. 1) 3) 3.158. 1) 3) 3.159. 1) 3) 3.160. 1) 3) 4) 3.161. 1) [sin(x + y) = 0, [sin(x — y) = 0; |sin(x + y) = ^2, [tg(x — y) = 1; 7n x + y = -^, sin2 x + sin2 y = 1,5; , 9n x + y = -^, sin2 x — cos2 y = 1; x + y = 0,75 П, V2 sinx siny ^^; x + y = in, tgx tgy = ^6; x — y = 195°, sin x _ -^6. sin y 3 ’ x — y = -30°, cos x = :K. cosy 3 ’ sin x — cos y = 1, sin x + cos y = 0; 2) 4) 2) 4) 2) 4) 2) 4) 2) [sin(x + y) = 0,5, cos(x — y) ^2[; cos(x — y) = 1, cos(x + y) = 0,5. 5n x — y = , cos2 x + sin2 y = 1; 13n x — y = -IT, 3cos2 x — 12cos y = 15. Ix — y = 3, [cosx cosy = 0,5; x — y = 3 ctg x ctg y = -■3. x — y = 15°, sin x = /_3 ; cosy V 2 ; x — y = 30°, tg x tg y = 3. cos x + sin y = 2, cos x — sin y = -2; |6cos x + 8 cos y = W2 — 4, 10 cos x — 14cos y = W2 + 7; |4sinx + 10 cos2y = 5/3 — 2, [6sinx + 4cos2y = 2/3 — 3. sinx siny = 0,25, cosx cosy = 0,75; 2) . . ^/з sinx siny ^^, s cosx cosy = ^^’; Правообладатель Народная асвета Тригонометрические функции 245 3) 3.162. 1) 2) 3) 4) 3.163*. 1) 3) 3.164*. 1) 2) sin x cos y =1 4)J — 4’ l3tgx = tgy. sinx siny = 4, tg x tg y = 3; cos2x = 0, 4siny — 6/2cosx = 5 + 4cos2 y; 1 + 2cos2x = 0, \[б cos y — 4 sin x = 2^(1 + sin2 y); W3cos x + 2sin y = 7, ^/Scos x + 6sin y = 3 + 12sin2 x; 2(5 + ^/6) sin x + 2cos y = 2\f2 cos2x — 4J2 — 5/3, 2(3 W6) sin x — 2cos y + W2 + ^/3 = 0. sin2 x + ctg y — 1 cosln — x = 0, cos2 x + 0,2 5tg y -1 = 0; 3cos2x — ctgy + 2,25 0 si^ ^ — x 2) 4) sin2 x + ctg y + 0,25 cosln — x 6 = 0, 4cos2 x = 1-tgy; 11 2 4— cos x + ctg y sinln — x = 0, 18sin x-2ctgy-12 = 0; sin2(-2x) — (3) tg5y = ^»^2 -1, tg2 5y + (3 -\[2) sin (-2x) = 1; 4sin2 x = 2tgy + 9. cos2(-4x) + •J26 — 2 tg(-2y)= 2 n/26 -1 3) 4) j. ^ ^ о \ V26 — 2 . n/26 -1 tg (-2y)—-2—cos(-4x) = —4—; sin23x + (4 -43) ctg(-7y) = ^/3 — 0,75, ctg2 (-7y) + (4 -43) sin3x = 243 — 0,75; cos2 (-6x) + (43 -1) ctg (-9y) = 4^4^, ctg2 (-9y) + (45 — 1) cos (-6x) = 2^5:—1. Правообладатель Народная асвета ОТВЕТЫ Глава 1. Производная и ее применение 1.1. б), в), д). 1.2. Рис. 10. а) D(f) = [-4; 3]; б) E(f) = [-4; 4]; в) -2; г) (0; -3); рис. 12. а) D(f) = [-3; 3]; б) E(f) = [0; 3]; в) 0; г) (0; 0). 1.3. Рис. 13. а) [-2; 0]; б) [0; 2]; в) « 1,5; г) 0; д) -2; 2; е) (-2; 2); ж) (0; «1,5); з) (-2; 0), (2; 0); рис. 15. а) [0; 2]; б) [-2; 0]; в) 4; г) -2; д) -1; 1; е) [-2; -1), (-1; 1), (1; 2]; ж) (0; -2); з) (-1; 0), (1; 0). 1.4. 2) (-^; 0,25]; 4) (-8; 5); 6) [-7; -2) U (-2; 0) U [7; 13) U (13; +^). 1.5. 1) 4; 6; 3) -4; 1; 5) 1; 3; 6. 1.6. 2) Убывает на всей числовой прямой; 4) возрастает на промежутках (-То; 0) и (0; +^); 6) возрастает на всей числовой прямой. 1.7. 1) (-^; 0), |0;|-1, |7; +^|; 3) (-^; -3), (-3; -2), (-2; +^); 5) (-^; 1,64), 1.8. 1.13. 1.14. 1.15. 1.17. 1.18. 1.20. 1.21. 1.23. 1.24. 1.25. 1.26. 1.29. 1.30. 1.31. 1.32. 1.33. 1.34. 1.35. 1.36. 1.39. 1.42. 1.44. 1.46. (1,64;2]. 2) б), е). 1.10. 2) f(5) = -2, f(-16) = -1, f(1) = -2,5, f(3) = 4. 1) f(5) > f(-2); f (> f (-4j; 5) f (^2) f (17). \21/ 2) f(-100) > f(200); 4) f (7 1 1) 3; 3) -1,5; 5) 6 1.16. 2) -1; 4) 2; 6) -0,5. 1) y = 4x — 2; 3) y = -1 x + 20. 3 3 2) y = 2x — 17; 4) y = -10x — 39. 33 1.19. 1) y = -x — 1; 3) y = x — 1. y = 4x — 9 и y = 3 + 4x; y = 5x — 1 и y = \f25x + 1; y = 4 — x и y = (-1)15x + 3. 1) y = -x — 1; 3) y = -x + 3. 1.22. 2) y = -x + T■; 4) y = 0,1x + 2,5. 1) y = 1 x + 55; 3) y = 1 x + 13-. ^8 ^^ 8 8 2) y = \[3x + 1 — 3\f3; 4) y = ^^/3x + 1 + 3^J3. 1) y = ^x + 1 — 4/3; 33 3) y = ^f3x + 1 — 2/3. 33 2) -7. 1.27. 1) 45°. 1.28. 2) (0; 1); 4) (-10; +^). Например: 1) (-1; 3), (0; 4), (1; 5); 3) (-15; 0), (-14; 0), (-13; 0). Например: 2) -12,1; -12,2; -12,3; 4) 40; 50; 60. 1) Ax = 8; Af = -2. 2) -3Ax; 4) -2x0Ax — (Ax)2; 6) 3Ax x0 (x0 + Ax) 1) -1,2; 3) 0,48; 5) 2,25. 2) Ax = 3,6; Ay = -1,8; 4) Ax = 2,2; Ay = -2 1) yjx0 + Ax-,Jx0; 3) ■sj4x0 + 4 — Ax — 1 107 150 V4x0 — 1. 2) Af > Ag. 1.37. 1) y = -3x + 1. 1.38. 2) -3; 4) 14,4. 1) 3; 3) 4. 1.40. 2) 0; 4) 0. 1.41. 1) 4; 3) -2,5; 5) -0,5. 2) -7; 4) -1. 1.43. 1) 3,5; 3) 0,8; 5) -9. 2) -11; 4) -2; 6) -2. 1.45. 1) -500; 3) 1; 5) 9,88. 2) 5; 4) 1,5. 1.47. 1) y = 1; 3) y = 2x; 5) y = -2x. Правообладатель Народная асвета Ответы 247 1.48. 1.50. 1.51. 1.52. 1.54. 2) -4) 2. 3 2) 6; 4) -1. 1.49. 1) x 0, k(x3) = 0; 4) k(x1) 1. 1.98. 2) x > -0,5; x ^ 0. 1.101 1.102 1.99. 1) ( -2; 1W3 2; — л/з 1.103. 1.104. 1.105. 1.107. 1.108. 33 1) а) [x^; b]; б) [a; x^]; в) (x^; b]; г) [a; xj); 3) a) [x^; x2]; б) [a; x^], [x2; b]; в) (x1; x2); г) [a; x1), (x2; b]. 2) Возрастает на промежутках (-^; 1], [2; +^), убывает на промежутке [1; 2]; 4) возрастает на промежутках (-^; -6], [-2; 2], убывает на промежутках [-6; -2], [2; +^). 1) Положительны на промежутке (a; b), отрицательны на промежутках [m; a), (b; n]; 3) положительны на промежутках (b; c), (e; h], отрицательны на промежутках [a; b), (с; e). 2) Промежуток убывания [-4; 3], промежутки возрастания (-^; -4], [3; +^); 4) промежутки убывания (-^; -41], [-6; 7], промежутки возрастания [-41; -6], [7; +^); 6) промежутки убывания [-6; -5], [-2; 2], [5; 6], промежутки возрастания (-^; -6], [-5; -2], [2; 5], [6; +^). 1) Промежутков убывания нет, возрастает на R; 3) R — промежуток убывания, промежутков возрастания нет; 5) промежутки убывания [-7; 0], [5; +^), промежутки возрастания (-^; -7], [0; 5]. 1) Промежуток возрастания [0,25; +^), промежуток убывания (-^; 0,25]. 2) Промежуток возрастания [-1; 1], промежутки убывания (-^; -1], [1; +^); 4) промежутки возрастания I -^; 13 • • 6) промежуток возрастания [-2; +^), промежу- убывания —; 1 3 1 [1; +^), промежуток ток убывания (-^; -2]; 8) промежутки возрастания (-^; -1], [0; 1], [2; +^), промежутки убывания [-1; 0], [1; 2]. 1.109. 1) Промежутки возрастания (-^; -0,25), (-0,25; +^), промежутков убывания нет; 3) промежуток возрастания (-^; 3), промежуток убывания (3; +^). / ^ / 1 \ 1.110. 2) Промежутки возрастания I-^; -1, I—1; +^1, промежутков убывания нет; 4) промежутки возрастания (-^; 0), (0; +^), промежутков убывания нет; 6) промежуток возрастания (-1,5; 9,5], промежутки убывания (-^; -1,5), [9,5; +^). 1.111. 1) a > 0; 3) 0 0; хзп > Узп > 0; 4) х_ iin Уп • 44 33 66 88 2.38. 2) х3 0; 3 + 2пп, n е Z; 4) х_5 > 0, y_5 > 0; _5 + 2пп, n е Z; 6) х11 > 0, у11 0, у_7 0; sin (-250°) > 0; sin 333° 0; cos 49° > 0; cos (-250°) 0; cos (-1324°) 0; sin279^ 0; cos 279n > 0; 5) sin 3,5 0; sin 5,5 0; cos (-8) 0, cos 2078° > 0, cos (-3065°) 0, cos —— 16 13 \ f\ 133n ^ r\ > 0, cos —::— 0, sin (-25) > 0, cos (-6,1) > 0, cos 99 > 0. 2) «Минус»; 4) «минус»; 6) «плюс»; 8) «минус». 1) «Плюс»; 3) «минус»; 5) «плюс». 2) sin —, cos , cos п; 4) sin 33п, sin 101п, cos 223п. 2 2 2 2) 7 и -7; 4) 4 и 2; 6) 0 и -1; 8) 1 и 0; 10) 1 и -|. ^ ^ ^ 4 ^2 2 2) -2п arccos 1; 3) arccos 0 = arcsin 1; 5) ( Л ъ ■ ( 5) arccos — > arcsin —-— . \ V \ 2 J r>\ 23^ 19^ ЛЧ 5^ Q\ 7п 2) —; 4)

; 6) T; 8) -^. 1) Ji/3; 3) :^/3; 5) j:/2. 222 2.80. 2) п; 4) —^; 6) п; 8) ^. 4 ^ ^ 9 Правообладатель Народная асвета Ответы 253 2.81. 1) 7п. 12’ 3) -п ’ 5) . 4 3 2.82. 2) п — 2’ 4) 11 — 4п’ 6) 7,6 — 2п. 2.85. 1) tg 230° « 1,2’ tg (-220°) « -0,8’ tg (-1040°) ctg (-220°) « -1,2’ ctg (-1040°) « 1,2’ 3) tg — 0,8’ ctg 230° ^ 0,4’ tg 5n tg I- 11n 8 -2,4’ tg I- 74n 3 1,7’ ctg 2,4’ ctg 5n « 0,8’ ^ -1,7’ -0,6’ ctg (-^) — -0,4’ ctg |- 0,6. 2.86. 2) I или IV’ 4) I или II’ 6) II или III 2.87. 1) «Минус»’ 3) «минус»’ 5) «плюс». 2.89. 1) «Минус»’ 3) «плюс»’ 5) «плюс». 2.90. 2) «Плюс»’ 4) «плюс»’ 6) «минус». m -1 2.88. 2) Да’ 4) нет. 2.91. 1) -3’ 3) ^. 3 2.92. 2) m + 1’ 4) 2.93. 1) 0’ 3) -2ctg а’ 5) -2. 2.94. 2) п + птг, n е Z’ 4) -4 + ^^, n е Z’ 6) 5 + — + 3 3 2.95. 1) ^+пп, n е Z’ 3) пп, n е Z’ 5) -4 + 12 2 10 2 4 2nn 3 ’ 2 n е Z. n е Z. 2.96. 2) 2sin а’ 4) • 2 sin а ’ 6) tg2 а. 2.100. 2) arcctg —^ = — ’ 4) arctg (-1) = -п’ 6) arcctg (—^’ V3 3 4 V 3 8) arctg (^Z3 ) = -^ ’ V ^ 6 2.101. 1) ctg 2^ = ^l^’ 3) ctg ^ = yf3’ 5) tg (—1)= -1. 2.102. 2) Да’ 4) нет. 2.103. 1) ’ 3) ’ 5) Vs. 1^ 6 2.104. 2) arcctg —^ = arctg V3’ 4) arctg 0 arctg V V3/ 2.105. 1) 3,7’ 3) -1,4’ 5) -0,25. 2.107. 1) — ’ 3) n ’ 5) . ^ ^ 8 2.106. 2) 0,05. 2sj2 2.108. 2) cos p = — ^i!2, tg p = ^!^, ctg p = -W2’ 4) sin p = -^, tg p = —^, 3 4 41 40 9_ 10 W5 ctg P = -40’ 6) sin P = ■255, cos p = ^^Z5, ctg p =—|’ 8) sin p = 5 , cos p = ^^, tg P = -2. 2.109. 1) cos а = —^, tg а = — i5, ctg а = —^’ 3) sin а = ^^, tg а = , ^ • W29 ctg а = —-—’ 5) sin а =—, ^ 29 W29 5 cos а = ——, tg а =-. 29 2 Правообладатель Народная асвета 2.83. 1) Нет’ 3) нет. 2.84. 2) Да’ 4) нет. 8 1 254 Ответы 2.110. 2.111. 2.112. 2.114. 2.117. 2) -cos2 а; 4) 2sin а; 6) 2sin а; 8) cos2 а. 1 2 1) 1 — sin а; 3) sin а + cos а; 5) ————; 7) —-—. sin а + cos а cos2 а 2) 2 WS; 4) 0; 6) V2. 2.113. 1) sin2 а; 3) sin2 а; 5) 0. 1 2) cos а; 4) —7- 2.116. 2) Нет; 4) 0 и -2; 6) нет. sin а ч \ п , ^ /у П /у о \ п ^ /у ПП /у 1) — + —, k G Z; — + —, n G Z; 3) — + —, k g Z; —, n g Z; 6^ 4^ 12^ 3 5) пk, k G Z; — + 2ПП, n g Z; 7) , k g Z; -^ + -ПП, n g Z. 2 3 42 2.118. 2) п(2п + 1), n G Z; 4) , n Ф 3k — 2, k g Z. 4 3 3 4 2.119. 2.121. 2.122. 2.123. 2.124. 2.125. 2.127. 2.131. 1) Не является; 3) является. 2.120. 2) Не является; 4) является. 1) Является; 3) не является. 2) ctg а; 4) -cos а; 6) sin а; 8) -ctg а; 10) -tg а. 1) — ^; 3) -1; 5) — ^; 7) 73; 9) ^!^; 11) ^^. 2 2 2 3 2) ^!^; 4) ^/3; 6) ^^; 8) 1; 10) ^; 12) 2 2 2 3 1) 4; 3) -2 + ^^; 5) ^. 2.126. 2) ^2 — 1; 4) 1,75. 1) tg2 а; 3) 2 sin а cos а; 5) 2. 2.130. 2) ^>^; 4) 3; 6) 6. 5 7 1) ^^^cos а + -^sin а; 3) (sin а + cos а); 5) (sin а — cos а); 2 2 2 2 7) 1 W3 tg а; 9) n/з — tg а ’У3 — tg а 1 ^\/3 tg а 2.132. 2) •У2 sin а; 4) 1 ^/3 2 sin а 1 Va +1 2 cos а; 6) 2.133. 1) a) 156 ; б) — 468. 3) a) 1363; б) — 475 1525 493; 1525; 493 2.134. 2) a) 1; б) 5,5; 4) a) —; б) 23 38 41. 2.135. 2.136. 2) -У3 ctg а; 4) tg а; 6) 1,5 . 2. 137. 1) — 2.138. 2) sin 75° = W2 4 , cos 75° ’16 ^У2 4 ’ 8tg а 2 + 2tg2 а ; 8) 1 — 3tg2 а 1 — tg2 а о Го А\ ■ П V6 2 П V6 ^ П п Го = 2 3; 4) sin — = ———-—, cos — = ———-—, tg — = 2 — 3, 12 12 ctg П = 2 W3; 6) sin (-^) = ^/6^/2 , cos (- 12 12 4 tg (-■^) = 2 ^^, ctg (—^) = 2 4 12 ) = 1^ 4 2.139 2.141 1) 0,5; 3) ^ ^; 5) ^/3; 7) 1. 2.140. 2) -cos 2а. 1) 1; 3) ^/2. 2.143. 1) -‘^ + 6’^; 3) — 5^^26; 5) — -33. 12 338 65 Правообладатель Народная асвета a a Ответы 255 2.144. 2.146. 2) -n + nn, n e Z. 10 5 2) sin a = 2sin — cos —, cos 5a = cos2 — sin2 , 2 2 2 2 2tg3— ^ 2 . 1 — tg2 3— ^ 2 1 — tg2 3a. 2tg 3a ’ 2tg ^T tg a = ——^. 2 1 — tg2 — ^ 4 tg 3a = ctg 6a = 4) sin 4a = 2 sin 2a cos 2a, cos 8a = cos2 4a — sin2 4a, a\ ■ 3^ о • 3a 3a a 2 a -2 a 6) sin-= 2 sin-cos-, cos — = co^-sin —, 4 8^5 10 10 2.147. 1) 2sin ^a + n j cos I a +-^ j; 3) cos2 (2a-^ j — sin2 (2a—^ 5) 2tg I— + -5-^У6 14 1 — tg21 a+ ^ ^ V6 14 „ „ 1 + cos 12a ,, 1 + cos 16a 2.148. 2) ——2——; 4) 1——^; 6) 2 1 — cos 16a 1 + cos I + 14a 1 + cos I + 10a 2.149. 2.151. 2.152. 2.154. 2.155. 2.156. 8) —— 1 — cos + 10a 1) ^; 3) i; 5) 3; 7) ^. 2.150. 2) cos 20°; 4) -sin 10°; 6) -5tg 50° 1) cos2 2a; 3) tg2 a; 5) sin 8a; 7) cos 2a — -^sin 4a; 9) 0,75. 4 2) V3; 4) 6 ^/2; 6) 7^12 ) 2 ; ) 8 ; ) 16 . 2.153. 1) a sin — 4 ; 3) Ictg aI. 2) a) ^^; б) — ^; в) г) ^; 4) a) ^^; б) — ^; в) ^; г) — -119 25 169 25 169 24 120 24 120 1) a) -i20; б) -^i; 3) a) i20; б) ^i. 169 25 119 7 2) a) ^^; б) -i^; 4) a) —; б) i^. 25 169 24 120 2.157. 1) 3. 2.158 2.159 2.161 2.163. 1) 2) a)^|= б) 4) a)1; б) . 1) a) -96; б) -96; 3) a) -96; б) -96. 625 625 529 529 1) 2 и -2; 3) 1 и -1; 5) 1 и -1. 7 — W5 16 . 2.162. 2) -7; 4) ^; 6) ^^. 9 20 41 Правообладатель Народная асвета 2 256 Ответы 2.164. 2.165. 2.166. 2.168. 2.169. 2.170. 2.171. 2.173. 2.174. 2) 1 + 1sin70°; 4) — 1cos80°; 6) ^ + cos1°. 4 2 4 2 2 1) 1sin4a + 1sin2R; 3) 1cos2a + 1cos4R. 2 2 2 2 2) + 1cos2a; 4) 1 + 1sin2a; 6) cos 2a — cosn. 4 2 4 ^ 2 2) V3cos21°; 4) ^3cos5°; 6) 2sin30° sin42°; 8) V3sin65°. 1) V^sin-5^; 3) V^cos-5^; 5) 2sin5a cos3a; 7) 2sin2a sin3a. 3^ 36 2) —,/2sin(3a- j; 4) V3sina; 6) -2sin-7n cos^2a + -n). 1) sin16a . 3) 2 cos7a cos9a ctg2a 2.172. 2) 1; 4) ^^; 6) Vs. 3 1) 4 cosa cos a cos5^; 3) 4 sin 13a cos 3a cos 6a. 2 2 2) 2sin^2a + n j cos(2a—n j; 4) 2sin( ^ — a j cos(n + aj; 6) 2cos( — ^j cos( + ^j; 8) V2 sin( n — 5 cos5 a 2.175. 1) 4sin( a + ^ j cos( a-^ j; 3) W2sin( П-» j sin( п + a j; \2 1^ V2 1^^ V8 ^ V8 2/ ^/3 sin(a — 30°) 5) 2.176. 2) sin(a-nj sin(a + nj; 4) cos(a + nj cos(a-n j; 6) 3sin(a + 30°)sin(a — 30°) 2.177. 1) 2sin23° cos23°; 3) 2sin27° cos27°; 5) — 2.178. 4sin18° sin42° cos212° 2) ^/2cos—cos 2 (a+ П j; 4) W2sin a sin( a-П j; \2 2 \2 4/ 6) ^/2 cos2 — sin(n — a 2 U 2.179. 1) ^/iga sin( — + п 2.181. 1) n + nn, n e Z; 3) -^ + ^^, n e Z; 5) nn, n e Z. 4 ^ 20 10 2.182. 2) sin a = -4, cos a = —3, cig a = 3; 4) sin a = ——; cos a = ^^, ^ ^ 1^ 13 12 cig a =—-. ^ 5 Правообладатель Народная асвета cos2 a Ответы 257 2.183. 1) 19. 2.184. 2) 33 49. 2tg2 а + 2tgа- 2 12 + 10tgа- 12tg2 а 2.185. 1) —-12—-. 3) ——g2—— 1 + *g2 ll 1 + ‘g21! 6tg2 a- 1 3 — 10tg2 a + 3tg4 a 2.186. 2) —-2——; 4) ——2——- 2tg2 a- 7tga + 2 14tg2 a- 1-tg4 a ^2^2 ^2 ^2 2.187. 1) 2tg2a ; 3) 2tg2a 1 + tg22a 1 — tg2 2a 2.189. 1) -1 или 2. 3 2.190. 2) 1; 4) 3m2n — n3 2 + 2tg 2 a tg2 a -1 2.191. 1) 2 ; 3) 1 — ‘i2 tg 4) V6cos|4 a + arct^^ j; 6) 5 • / a sin I V3 3 V 6 2.193. 1) 2; -2; 3) 2; -2; 5) 6; -6. 2.194. 2) -—; 4) !; 6) sin40°; 8) —sin272°. 1^ 2 2sin5^ 16 2.196. 2) ^sin2a; 4) -cos 4a. 2.197. 1) 5 и 4; 3) 4 и 0,8. 2 198 2) sin36°, 4) sin15° cos18° 2 sin 6° sin3° 2.199. 1) 4sin2ncos^cos^; 3) 4cosi^cos25^cos-37^; 17 51 5^ 31 186 186 tr, . 3n 5n 17П 5) 4cos-cos—cos—-. 11 66 66 Глава 3. Тригонометрические функции 3.1. 1) 2п, 4п, 6п, 10п, 12п, 16п; 3) п, 2п, 3п, 4п, 5п, 6п, 7п, 10п, 11п, 12п, 16п, 21п; 5) 6п, 12п; 7) —, , п, 2п, 3п, 4п, 5п, 6п, 7п, 10п, 11п, 22 12п, 16п, 21п. 2 2 3.2. 6) п; 8) 2п. 2п. 3.4. 2) а) — ж) Нет; 4) а) — ж) нет. 3.5. 1) п; 3) —; 5) п; 7) 4п; 9) 3п. 3 3.7. 1) R, 2п; 3) x ^ «^ + пп, n е Z, п; 5) x ф пп, n е Z, 2п; 7) x ф , n е Z, 2п; 9) R, 2п. 3.8. 2) R, п; 4) x ф пп, n е Z, п; 6) x ф пп, n е Z, п; 8) R, п; 10) x ф пп, n е Z, п. 3.9. 1) Нет. 3.10. 2) 4; а) 0; б) 0; в) 0; г) 0; д) 0; е) 0. 3.11. 1) 7. Правообладатель Народная асвета 258 Ответы 3.12. 3.15. 3.17. 3.19. 3.21. 3.22. 3.23. 3.24. 3.25. 3.26. 3.27. 2) 0; 4) 240. 3.14. 2) Нет; 4) нет; 6) нет; 8) нет. 1) Нет; 3) нет; 5) да; 7) да. 3.16. 2) ; 4) ; 6) п; 8) . 5 3 7 3.18. 2) Например, у = 10. 1) 2; 3) 1; 5) п; 7) . Например: 1) у = sin пх; 3) у = cos 4пх. 1) D(f) = R, E(f) = [0; 2]; 3) D(f) = R, E(f) = [-0,5; -0,25]; 5) D(f) = R, E(f) = [0; 1]. 2) (0; 1,5); 4) <-П + 2nn; 0^, n e Z, (0; 1). 1) sin-7^, sin12п, sin9^, sin'6^; 3) sin(-4,5), sin(-0,3), sin(-2), 15 15 10 5 ) к ; к ; к ; sin(-1,5). 2) sin-^ >sin-7^; 4) sin^-j sin(-5). 1) Четная; 3) нечетная; 5) четная; 7) нечетная. 2) sin 1^п 0. 1, а) -l; 6, l; [O; -|]. [ii; ]; r, [; Sf ], 3п]. ,п; 2п,; е) (0; п), (2п; 3п); ж) 0; п; 2п; 3п; 3) а) ^^; 6) -^^; в) [-—; — ]; г) нет; 2 2 L 3 3 J “> [—I;0); е> (0; -| ]; ж> 0; 5> а> -1; 6> 1; в> [-^ ]^ г> [-if; — ]‘ д) (-п; — f ]; е) [-3^; — п); ж) -п; 7) а) sin (-1)

-0,8; 6) 0; в) [-1; 0]; г) нет; д) [-1; 0); е) нет; ж) 0. 2) 0,8; 4) -0,9; 6) -0,6. 3.28. 3.29. n e Z. 3.30. 2) (■2пп, — + 2пп) 3.31 1) , n e Z; 3) ^ — 3 + пп, n e Z; 5) -п + 4пп, n e Z; 7) п + 3пп, ^ 4 ^ 6 3 2) ( ^ I, n e Z; 4) -1 — п + 2пп, n e Z; 6) x ^ — + пп, n e Z. V3 3 -^36 ^ 4 3.32. 3.33. 3.34. 3.35. 1) [-2п; 2п]; 3) [-2п; -1,5п) U (-1,5п; -0,5п) U (-0,5п; 0,5п) U (0,5п; 1,5п) U и (1,5п; 2п]; 5) [-2п; -п] U [0; п]. 2) -1 [ 4 ;■| ]; 3> а>[—п;- 3); ; 5) а) нет решений; 6) (-п; п]; ■i|; ■|]; 7) а) [-■|; arcsinf); 6) (arcsinf; ■|]; в) ^; — — п ; в) п. п 2_ _ 2; 4 п ; г) п, п 3 _ 3; 2_ Правообладатель Народная асвета Ответы 259 з) ^—|; arcsin5j; г) ^arcsin5; -|j; 9) а) ^—|; -|j; б) ■> [-^ -I ]; г) нет решении; нет решении. 3.36. 3.37. 3.38. 3.39. 3.40. 3.41. 3.42. 3.43. 3.44. 2) arcsin 0,6; п — arcsin 0,6; 4) -arcsin 0,2; -п + arcsin 0,2. 1) [-п; arcsin 0,7) U (п — arcsin 0,7; п]; 3) [-п + arcsin 0,4; -arcsin 0,4]. 2) E(f) = [-2; 0]; 4) E(f) = [-6,5; -2,5]; 6) E(f) = [0; 1]. ; 4) cos(-1,7), cos 1,4, 1) ^ + пп; 0j, n e Z, (0; 1); 3) (0; -3,7). 04 I 5^ / 5^ / 4^ / 12п\ 2) cos(—^j, cos(—^j, cos(-j, cos(—^j; cos 0,6, cos 0,2. 1) cos-^ > cos-Ti; 3) cos^-^j cos(-3,14); 7) sin^-T^j а>(-п; 2j » п; 22п); б) (-1,2п; — 0,5п) и (0,5п; 1,5п) U (2,5п; 2,9п]. 1>[- Правообладатель Народная асвета 260 Ответы 3.52. 3.53. 3.54. 3.55. 3.56. 3.57. 3.58. 3.59. 3.60. 3.61. 2) .)(П; .]; б)[0;П); .) [,|; г) [о; ^]; 4) .) (; .]; «, [о; ); в) [; п]; г) [о; ]; 6) а) (п — arccos 0,58; п]; б) [0; п — arccos 0,58); в) [п — arccos 0,58; п]; г) [0; п — arccos 0,58]; 8) а) нет решений; б) х Ф п; в) х = п; г) [0; п]; 10) a) [0; п]; б) нет решений; в) [0; п]; г) нет реше- ний. 1) arccos 0,4; 2п — arccos 0,4; 3) п — arccos 0,1; п + arccos 0,1. 2) (arccos 0,3; 2п — arccos 0,3); 4) [0; п — arccos 0,8] U [п + arcos 0,8; 2п]. 1) x Ф п + пп, n е Z; R; 3) x ф «^ + пп, n е Z, [0; + ^); 5) x ф «^ + пп, n е Z, [0; + ^); 7) x ф пп, п е Z, (0; + ^). 2) (пп; 0), п е Z; 4) (пп; 0), п е Z. 1) tg1;76I, , tg18.; 3) tg (-5), tg(-3), tg 3, tg (-1). 2) tg (-4,75п) tg 6; 6) tg (-4,78) > tg (-7). 1) Нечетная; 3) нечетная; 5) нечетная; 7) четная. 2) tg^l^ а> (-п; f); б> |); в> (-!;!> г> [ f;!); 4> а> (-1;- f )= Правообладатель Народная асвета Ответы 261 б) (-; «I); в) (-«I; -^4 г) [-^4; «I); 6) а) (-«I; П); б) п; в) (-^; arctgnj; г) ^arctgп; 1); 8) а) ^ 1 —‘■» 2 в) (—|; — arctg-|j; г) [-arctg-|;-|). 2 в) (-2; arctgnj; г) [arctgп; 2); 8) а) (-2; — arctg-9); б) (-arctg-|; -I); 2I 3.69. 3.70. 3.72. 3.73. 3.74. 3.75. 3.76. 1) Является, 2я; 3) является, —; 5) является, я; 7) является, 2я; 9) является, 2л. 3.71. 1) Нет; 3) является, к; 5) является, —. 2) Является, и. 2) D(f) = x Ф пn, n е Z, E(f) = R; 4) D(f) = x Ф пn, n e Z, E(f) = [0; +^); 6) D(f) = x Ф In, n e Z, E(f) = (-^; 5]; 8) D(f) = x Ф In , n e Z, E(f) = (-4; +^). 2 1) (2 + пn; 0), n e Z; 3) (^+кn-; 0), n e Z. ’ \2 ^ r ’ V30 15 / i\ _i_/-37tc) tg(-.8i^ _i_/ 7п 2) ctg(-71. ctg 14 /, ctg(-Ц), ctg(^^); 4) ctg 3,1, ctg 5,9, ctg 8,1, ctg 4. 1) ctg(-1,5п) ctg 3; 5) ctg(-5,1) > ctg(-4,2). 2) Нечетная; 4) нечетная; 6) нечетная; 8) четная. 1) ctg|^ ^ 0; 3) ctg(-9j)> 0; 5) ctg 5,1 0. 3.77. 3.78. 2) а) Нет; б) 0; в) нет; г) [1,5п; 2п); д) (1,5п; 2п); е) нет; ж) 1,5п; 4) а) 0; б) ctg10; в) нет; г) [10; «Ij; д) нет; е) [10; ^I); ж) «I; 6) а) ctg 6; б) ctg 4; в) нет; г) [4; 6]; д) (1,5п; 6]; е) [4; 1,5п); ж) 1,5п. 3.79. 1) 0,9; 3) -0,6. 3.80. 2) Нет; 4) да; 6) да. 3.81. а) (-2л; -1,5п), (-i; — -I), (°; -I), (л; -54Ij; б) (-1,5л; -п), (—I; 0), (-I; л); 3) а) (3i; 3,5i), (4i; 4,5i); б) (2,5!; 3i), (3,5i; 4i); 5) а) (1; 2), (i; 1,5i); б) (-I; л), (1,5п; 5). 1) ^+ «in, n e Z. 9 3 3.82. 2) I — 6 + 2in, , n e 3.83. 1) I . 4; 5I 3) T; 5) I 3.84. 2) (^ + in. I + in \6 + 3 . 3 + 3 6) Г2 1 + in . I [ 6 3 + 3 . 3 ), n e Z. 3.85. 1) а) (5I; i); б) (0; ); в) [; i); г) (0; j; 3) а) (^; i); б) (0; ^); ) [^; i); г) (0; ^j; 5) а) (i — arcctg 17; i); б) (0; i — arcctg 17); Правообладатель Народная асвета 262 Ответы в) [п — arcctg 17; п); г) (0; п — arcctg 17]; 7) а) ^arcct^^; п); б) ^0; arcctg-2); в) ^arcctg-2; п); г) ^0; arcctg-2j. 3.86. 2) Является, п; 4) является, 2п; 6) является, п; 8) является, 3п. 3.87. 1) Является, п. 3.88. 2) Является, п; 4) является, 2п. 3.90. 2) + пп, п е Z; 4) пп, п е Z. п 3.91. 1) (-1)^6 + пп, n е Z; 3) (-1)n п , пп „ 18 + “^, п е Z; 5) (-1)п + ^3 + + пп, п е Z. 3.92. 2) (-1)п 5arcsin— + 5пп, п е Z; 4) нет корней. 8 3.93. 1) а) —iarcsin1 — , -iarcsin1 -п, -iarcsin1, 5 7^5 7^5 7 1 .1 , п —arcsin—I—, 5 7 5 1 .13 —arcsin—п, 5 7 5 1 .1,2^,-, 1 .1 1 .14 5 7^-^5 7 5 75 1 .12 1 .11 1 .1о-. —arcsin—п, —arcsin—п, arcsin—; 3) а) нет корней; б) нет 5 7^5 7^5 7 ’ ’ ^ > корней. 3.94. 2) ±п + 2пп, п е Z; 4) ±+ 6пп, п е Z; 6) —^ ± п + 2пп, п е Z. 4 4 6 6 3.95. 1) а) -21 п, -1-2п, —1 п, -1 п; б) -1-2п, -1 п, 1 п, 1-2п, 2-1 п; 3) а) -11 п, 11 п; б) -11 п, 11 п, 22п; 5) а) -2-1 п, -п, -1 п, 11 п, 3 3 3 3 3 2 6 2 6 1 п -5 п -1 п 1 п 1 п ^ п; б) п, п, п, п. 2 6 2 6 2 71 3.96. 2) arcco^— + 7пп, п е Z; 4) нет корней. 28 397 1)2 7п 2 + п ^3)2 7 п 2 п ; 5) 1 п 1 + 5п; . . )

Ь — 30, 5 + 3^; ) 3 — ТЗ’ 3 — 12; ) — 4 — 16, — 4 + 16; 7) 1 _ 3п 1 + ) 2 8 » 2 + 8 . 3.98. 2) -2-3, -^^, -13, -^^, -3, —^, 1, —; 4)

^, —^, -1^, 4 1^ 3 1^ 4 1^ 3 1^ 23 23 24 23 1Т^ 123 24″ 124, 124. 3^^ .|\ о1 о1 i1 i1 п п п \ п п 7 п ^ \ п .99. 1) -^п, -^п, -^п, -^п, —, —; 3) —, —, —; 5)———, ^ ^ ^ ^ 3 3 3 3 ^ 12 5п 7п 1 1 —, , 1—п, п. 12 12 12 4 3.100. Например: 2) [0; 2п]; (4п; 6п); 4) (-2п; 2п); [0; 4п]. Правообладатель Народная асвета Ответы 263 3.101. 3.102. 1) а) 1; б) 1; в) 4; г) 4; д) 1; е) 1. 2) ±(п — arccos—’] + 2пп, n е Z; 4) -— + 2nk, k е Z; — + (-1)n + 1 — + nn, I 3^ Q ^ ^ 6 n е Z; 6) (-1)n 2 + 2nn, n е Z. 1) 0; 3) —; 0; -; -2; 2; 5) ; -1; 6. 2) + 2nk, k е Z; — + nn, n е Z; 4) -— + 2nk, k е Z; nn, n е Z. 6 2 6 3.103 3.104 3.105. 1) -1 1, то х = ±arccos^—a + 2nn, n е Z; если а -2. 3.119. 1) arctg((1 ±y/2)a’j + nn, п e Z, а ^ 0; 3) если а = 3, то x = arctg 3 + nk, k e Z; если 3 8, то a ±Ja2 — 4 6 — a ±Ja2 — 12a + 32 x = arctg————+ nl, l e Z, x = arctg————-+ nn, 2 a a2 — 4 п e Z; если 4 1, ’ 2 то x = — + nk, k е Z, x = — arccos1^ + 2nn, n е Z; 4) если а = 0, ^ ^ ’ I a ’’ ’ ’ то х = nk, k е Z; если а Ф 0, то x = (-1)n arcsin ^J^O2 +1 2a + nn, n е Z. 1) .n + nk, k е Z; (-1)n ■n + nn, n е Z; 3) , n е Z. 10 5 12 2 5 2) J^ + lK, k е Z, k Ф 0; , I е Z, I Ф 15; , n е Z, n Ф 9. 12 ^ ^ 3 1) —, k е Z; — + —, n е Z; 3) —, k е Z; ±— + nn, n е Z. 2) —-+ —, k е Z; — + nn, n е Z; 4) — + ————-, k е Z; (-1)n 36 + 8 2 2 6 3 , nn Г7 ct\ 2%^ . Г7 j_1 ( 3\ , 2nn /7 3.137. 1) %k, k е Z; 3-% + 2%n, n е Z; 3) %k, k е Z; П±П + 2%n, n е Z; 5) %k, k е Z; 3-% + %n, n е Z; + %l, I е Z. 16 16 3.133. 3.134. 3.135. 3.136. 3.138. 3.139. 2) %n, n е Z; 4) — + %n, k е Z. ’7 ’8 4 n % 1) 2%k, k е Z; (-1)n 3 + 2%n, n е Z; 3) %k, k е Z; +— + %n, n е Z; 5) ± % + %n, n е Z; 7) nn, k е Z. 8 3 3.140. 2) arctg15 + — + 2%n, n е Z; 4) — + (-1)n + 42 + , n е Z; 8 2 12 2 % % 4% 4% 6) -% + (-1)k 2 + 2%n, n е Z; 8) -+ (-1)n+ + 4%n, n е Z. 33 % 3.141. 1) n + %n, n е Z; 3) % + %k, k е Z; (-1)n 6 + %n, n е Z; 5) -^ + 4 2%k 2^ 5 ‘ 1,^7% I 2%^ Г7, rr\ 1 2 ( 1) • 3^13 %n rj k е Z; — +—, n е Z; 7) —arctg—\-arcsin— -\-, n е Z. 100 25 4 3 4 13 4 3.142. 2) , n е Z; 4) , n е Z, n Ф 8m, m е Z; 6) %k, k е Z; — + , ’7 ’ ’ 8^ ^ ’ >16 8 n е Z; 8) , k е Z; ± — + %n, n е Z. 26 1) -arcctg 3 + (-1)narcsin + %n, n е Z. 3.143. 3.144. 3.145. 3.146. Q\ TQft 2) ^, k е Z n е Z. 1) n + %k 4 2 ‘ n е Z. 2) n + %n 4 2 ‘ . 3% 8 5 % — + %n, 1 6 % + жК 10 5 ‘ 18 %k 9 , k е Z; (-1)n + % 1 36 + %n 6 % + nk, k е Z ; + n + %n 8 4 6 2 n + %n 4 2 ‘ Правообладатель Народная асвета ж + 266 Ответы £i\ п nk ^ /у П ПП /у 6) — + —, k G Z; — + —, n G Z. 4 2 14 4 3.147. 1) — + nk, k G Z; ± — + 2nn, n g Z; 3) — + (-1)n+1 n + ^n-, n g Z; i;\ nn ^ , rr\ П nk ^ , _i_ П I FT 5) —, n G Z; 7) — + , k G Z; i— + nn, n G Z. 2 4 2 6 3.148. 2) 1 arctg 7 + (-1)n + 1— + , n g Z; 4) 1 arctg 2 + ( 1) arcsi^^ + ^nn, n g Z; ^ ^ 4 5 4 1 , (-1)n • V82 , nn „ 6) -arctg 9 + —— arcsin ——— + —-, n g Z; 4 4 82 4 3 3.149. 3.150, 3nn + 3nn 8) -3 arcctg 7 + (-1)n 8 + 2 , n g Z. 1) 2nn, n G Z; 3) — + -^, n G Z; 5) — + nn, n g Z. ’ ’ 4 ^ 2 2) 3-— + 2nn, n G Z; 4) — + 2nn, n g Z; 6) — + 2nn, n g Z; 2 2 4 8) -arctg12 i — + 2nn, n g Z. ’ ^52 3.151. 1) ± + 2nn, n G Z; 3) 5-n + 2nk, k g Z; arcctg 2 + 2nn, n g Z; 5) -arctg 0,6 — nk, k G <0>U N; -— + nn, n g N; 4 7) i1 arctg 2 + , n G Z; 9) — + , k g Z, ± n + nn, n g Z. 2 2 8 ^ 3 3.152. 2) — sF7 3.153. 1) Если 1 1, то корней нет; 3) если -2

Источник