Алгебра 11 класс кузнецова муравьев шнеперман

ГДЗ Алгебра 11 класс Кузнецова, Муравьева, Шнеперман — Учебник

Номера из 1 главы

Номера из 2 главы

Повторение. Номера

Номера из 1 главы: 1

Решение

Как учить алгебру занимательно и результативно

Родителям, безусловно, важно, чтобы успеваемость ребенка в школе находилась на высоком уровне, так как это позволит ему сдать выпускные экзамены на отлично и поступить в престижный университет. Школьник, в свою очередь, отдавая чему-то предпочтение, зачастую руководствуется внутренними порывами. Именно поэтому чрезвычайно важно пробудить в нем интерес к изучаемой дисциплине. Для этого лучше всего интегрировать в процесс обучения «ГДЗ по алгебре 11 класс Кузнецова (Народная асвета)». Оно знакомит учащегося с основной фактурой предмета:

1. Усложненными функциями и графиками.
2. Математическим анализом.
3. Компонентами комбинаторики и элементарной теорией вероятности.

Пусть дети осваивают алгебру на базовом уровне, но по окончанию курса у них формируется более углубленное понимание дисциплины, ее внутренних механизмов жизнедеятельности.

Из чего состоит ГДЗ

При составлении учебно-вспомогательного пособия важно учитывать два фактора: внутреннюю наполненность и внешний каркас оформления массива данных. Авторы «ГДЗ по алгебре 11 класс Кузнецова Е.П., Муравьева Г.Л., Шнеперман Л.Б. (Народная асвета)» учли все нюансы. На сегодняшний день их работа служит примером отличного образца методологической литературы. К составным частям практикума относят:

• верные ответы на номера из 2-х глав;
• прописанную отдельно к каждому упражнению детальную инструкцию;
• онлайн-версию с интуитивно понятным интерфейсом.

Во фразе «повторение – мать учения» кроется больше смысла, чем может показаться на первый взгляд. Вот только механическое списывание готовых домашних заданий не принесет ребенку ощутимой пользы, как если бы он выделил немного времени и самостоятельно попрактиковал навык решения примеров. Для того чтобы пройденный материал не забывался, а напротив – сохранился со школьником как минимум до конца года и сдачи экзаменов, как максимум – на всю жизнь, в практикуме есть отдельный блок задач на повторение.

Что говорят статистические показатели о пользе применения решебника

Результаты школьников, которые пользовались учебником, гораздо лучше, чем у ребят, проигнорировавших советы квалифицированных специалистов. Интересно, что помимо большого разрыва в отметках, кардинально разнится качество ответов. В сборнике детально описывается алгоритм выведения правильного решения задачи. Постоянная практика позволяет запомнить его на уровне подсознания и моментально воспроизводить при необходимости.

Источник

ГДЗ: Алгебра 11 класс Кузнецова, Муравьева, Шнеперман — Учебник

Золотая медаль гарантирована с решебником Кузнецовой

«ГДЗ по алгебре 11 класс учебник Кузнецова (Народная асвета)» выведет вас в отличники за короткий промежуток. До выпуска осталось не так много времени. Пора подумать об отметках и дальнейшем выборе профессии. Готовые ответы пригодятся ребятам, которые: решили идти в ВУЗ и хотят повысить оценки до высокого среднего балла, чтобы конкурировать с другими абитуриентами;

• поступают на инженерные, электромеханические, программные специальности;
• занимаются самостоятельно, без привлечения услуг репетиторов;
• хотят быстро улучшить вычислительные навыки и восполнить пробелы в знаниях;
• будут сдавать математику на ЕГЭ.

Решебник – это палочка-выручалочка, только пользоваться им необходимо правильно.

Пособие Кузнецовой как опора для хороших оценок

Ни в коем случае не списывайте готовые ответы механически. Даже если у вас совсем немного времени, постарайтесь вникнуть в пример, понять логику вычислений. В целом, следует применять единый алгоритм подготовки по учебнику:

1. для начала прочтите параграф, рассмотрите графики, схемы, объяснения к нему;
2. если еще не все понятно, о чем речь, включите урок на Ютюб и просмотрите его, записывая решение вслед за учителем;
3. теперь выполните домашнее задание на черновике;
4. проверьте его по книге с ответами;
5. если в результате у вас ошибка, проследите по решению с первой строки;
6. исправьте только то место, где вы впервые ошиблись и далее действуйте вновь сами.

Если готовиться к урокам таким образом, пятерки вы получите заслуженно, и никакая контрольная не страшна.

В пособии приводится не только результат, а сам процесс вычисления. Удобное размещение позволяет найти нужный пример сразу по номеру.

Навыки, которые прокачивает решебник

Всего за несколько месяцев использования готовых ответов для самопроверки вы сможете:

• решать задачи любыми стандартными приемами, которые проходили в классе;
• после короткого анализа примера мысленно четко определять последовательность действий;
• уловите внутреннюю логику сложных понятий, таких как логарифм и производная;
• творчески подходить к уравнениям и неравенствам;
• увидеть взаимосвязь алгебры с реальной жизнью;
• усилить последовательное мышление не только применительно к математике, но и в бытовых ситуациях.

С «ГДЗ по алгебре 11 класс учебник Е.П. Кузнецова, Г.Л. Муравьева, Л.Б. Шнеперман, Б.Ю. Ящин (Народная асвета)» вы полюбите стройный мир чисел.

Источник

Учебник Алгебра 11 класс Кузнецова Муравьева

. (al)m = alm; (ab)m = ambm; (2) (3) (4) (5) Сформулируем также теорему о возведении в степень обеих частей неравенства. Теорема 2. Пусть а и b натуральное число. Тогда: 1) если a b. Если a = b, то an = bn. Это противоречит условию. Если a > b, то согласно первой части этой теоремы a’n > b»‘. Опять получили противоречие с условием. Значит, a k. Верно ли неравенство m > k2? Решение. Если k > 0, то из верного неравенства т2 > k следует, что верно и неравенство т4 > k2. Если k k, будет верным и неравенство т4 > k2, нельзя. Например, неравенство 22 > -5 верное, а неравенство 24 > (-5)2 неверное. Следствие. Пусть a и b — числа одного знака, n — натуральное число. Тогда, если an = bn, то a = b. Доказательство. Проведем его методом от противного. Допустим, что a Ф b, например a 1? 2. Как определяется степень: а) а-п (а Ф 0, n е N); б) а0 (а Ф 0)? 3. Сформулируйте теорему о свойствах действий над степенями с целыми показателями: а) об умножении степеней с одинаковыми основаниями; б) о делении степеней с одинаковыми основаниями; в) о возведении степени в степень; г) о возведении в степень произведения; д) о возведении в степень частного (дроби). Упражнения Вычислите: 1) 23 + (-3)3 — (-2)2 + (-1)7; 2) (-7)2 — 34 — (-4)3 — (-1)2; 3) 13 • 23 — 9 • 23 + 15 • 23 — (-2)3 — 5(-2)3 + 6(-2)3; 4) 8 • 32 — 7 • 32 — 10 • 32 — (-3)2 + 6(-3)4 + 5(-3)3. Сравните число с нулем: 1) 210; 2) (—1 )0; 3) -(-16)0 4) -100 Правообладатель Народная асвета 5) (-8)0 6) -130 7) (-2)0 8) Представьте в виде степени произведение (1.3—1.4). 1.3° 1.4° 1.5° 1) 6 • 62 • 65; 3) (-5)4(-5)16(-5); 5) 23″ • 26n • 2n • 16; 1) a8a4a; 3) (-m)2(-m)3(-m)4; 5) (4y)8(4y)3(4y)5; 2) 0,43 • 0,45 • 0,4; 4) (-3)8(-3)6(-3)2; 6) 38m . 35m . 81. 2) a4aa5; 4) (-m)9(-m)2(-m)»; 6) (6/)2(6/)3(6/)4(6/)5. Представьте степень в виде произведения двух степеней с одинаковыми основаниями: 3) а5; 7) 133a; 11) (-Р)20; 1) 48; 5) 43 + ^; 9) (7Р)19; 2) 157; 6) 7b + ‘; 10) (3Р)13; 4) b6; 8) 102a; 12)(-^)». 1.6°. Представьте в виде степени частное: 1) 126 : 124; 3) X40 : х2‘; 5) а8 : а; 7) 194m : 193m; 9) (-1,5)4t+2 : (-1,5)2t — ‘; 2) 38 : 35; 4) X10 : X2; 6) а5 : а; 8) 175n — 1 : 173n; 10) (-0,8)3t — 5 : (-0,8)’ \2t + 1 1.7. Представьте степень в виде частного двух степеней с одинаковыми основаниями: \15 1.8° 1) 46; 2) 34; 3) (-,2) 5) at; 6) (-Х)14; Возведите степень в степень: 15 )2; 7) I ^2b ‘ 4) . 8) (-0,1с)9. 1) ((-3)7)4; 3) (51 )2 )-5; 5) ((-8)-6)-7; 7) ((-2)3)b; 2)(52) 23 \-^2 4) ((^Г 6) ((-5)-8)-2; 8) ((-3)4)p. 1.9. Определите, верно ли равенство (ответ обоснуйте): 1) ((-3)4)5 = (-34)5; 2) ((-2)8)11 = (-28)11. Правообладатель Народная асвета 7 1 1 0 2 8 Выполните действия (1.10—1.11). 1) (3x)4; 2) y)5; 3) (-7b)4; 4) (-8a)3; 5) (4x3y4)2; 6) (10x2y5)3 ‘) (ix )*; 2) (-^ )3; 3)( ^ )2; 4) (t3)2; 5)( ay )7 6)i Ув). Замените степень дробью: 1) 10-2; 2) 6-5; 3) (-4)-6; 4) (-8)-13; 5) x-20; 6) y-‘2; 7) (-2x)-9; 8) (-4y)-16; 9) (-5b)-8. Вычислите: 1) 2-3; 2) 12-2; 3) (1 ’ \2) 4) (1) ; 5) (-4)-3; 6) (-5)- 7) -(-15)-1; 8) -(-10)-2; 9) (-6)0 10) -60; 11) ((-14)2)0: 12) ((-: Л\2 1.14°. Замените дробь степенью с отрицательным показателем: 1) 43 . 1 . 2) 21 12 3) -1 5) ^ ’ 13 6) —; ’ 19’ 7) 4) (-а) 27 1000 8) —. ’ 64 Упростите выражение (1.15—1.16). 1.15. 1) (2^3X6у12 : (xy)4) • (-1^x7y10 : x6y8 ^ 2) (3(7(xy)9 : x^y^) • J-2^1 x‘^y^ : x^y^^; 3) (-xy • (oxy^)2): (-^ax^y^ :(xy2)2); 4) (-11 a®c®: (a2bc^ )2 j^-2(abc)2 • a(bc)0 j. 1.16. 1) (-5,1a* — 2b3 — kck): (1,7a2bkc2 — k); 2) (8,4a* — 3b4 — *ck) : (-2,1a3b* — 4c3 — *); 3) 4a-3^kb3 + 2^\-2 (a*» *b^ — * )-2 4) -3 (x’-*yk+’)-4 Правообладатель Народная асвета 1 x 1.17. Упростите выражение: 1 2) .-2 a^2 — 2 2а

2 5 — а^^ -2 -2 -2 а 2 + 2 2a

2 а^2 + 5 и найдите его значение при а = (-0,25)2; и найдите его значение при а = (-0,5)-4. 1.18. Упростите выражение: 1) 2) —-^^ и найдите его значение, если , , Эа^2 — 2b—2 \Ь-^ а^^’ = 15-1; а 2 + ЭЬ 2 2а^2 + ЭЬ и найдите его значение, если —^ = , 2 \ ^. 1 / ,-и-1 2) л/200 и 15; 4) -28 и -У780; 6) W7 и л/97; 8) i^/72 и IV50. 6 5 1.19. Сравните числа: 1) VIQ3 и 10; Э) -17 и -,/290; 5) W3 и л/74; 7) -^VSG и ^44 1.20. Известно, что а3 Ь^2; 4) а-15 > Ь-10; 5) а2 • (а3)2 ^ (Ь4)2 • (Ь3)2 , а 3 • (а 2)2 6) (а5)3 • (а7)2 ^ 6) (а6)2: а4 ^ (Ь2)3 • Ь^2 ’ (Ь3)3 • (Ь2)5 (Ь5)4 • (Ь6 )-2 • Ь-3 1.21. Известно, что а4 > Ь. Верно ли неравенство: 1) (а2)3 • а2 > (Ь3)2 : (Ь2)2; 2) (а2 • а3)2 • (а • а2)2 > (Ь • Ь5)3 : (Ь3 • Ь4)2; 3) 2. Определение. Пусть п > 2 и п е N. Корнем n-й степени из числа a называется такое число t, n-я степень которого равна а. Таким образом, утверждение «t — корень n-й степени из а» означает, что tn = а. Корень 3-й степени называется также кубическим. Например, кубический корень из числа 125 — это число 5, так как 53 = 125. Кубический корень из числа -125 — это число -5, так как (-5)3 = -125. Корень 7-й степени из числа 128 — это число 2, так как 27 = 128. Корень 7-й степени из числа -128 — это число -2, так как (-2)7 = -128. Корень 7-й степени из числа 0 — это 0, так как 07 = 0. ш Во множестве действительных чисел существует единственный корень нечетной степени n из любого числа a. Этот корень обозначается Например, ^125 = 5, 7-128 = -2, -^0 = 0. Правообладатель Народная асвета ш _________________________________________________________11 Утверждение о существовании корня нечетной степени из любого числа мы принимаем без доказательства. Согласно определению, когда n нечетное, то при любом значении а верно равенство -\П a) = a. Например, (^92 )7 = 92, (7l23 )7 = 123, (^ -123 )7 =-123. Заметим, что 0 — это единственное число, n-я степень которого равна 0. Поэтому jr ^ 11 при любом натуральном га > 2 существует единственный I • I корень га-й степени из 0 — это число 0, т. е. VO = 0. Примерами корней четной степени могут служить квадратные корни: -7 и 7 — квадратные корни из 49, а -15 и 15 — из 225. Рассмотрим еще несколько примеров. Корни 4-й степени из числа 81 — это числа 3 и -3, так как 34 = 81 и (-3)4 = 81. Корни 6-й степени из числа 64 — это числа 2 и -2, так как 26 = 64 и (-2)6 = 64. ш Во множестве действительных чисел существует ровно два корня четной степени n из любого положительного числа а, их модули равны, а знаки противоположны. Положительный корень обозначается Например, -VsT = 3, ^64 = 2. m Утверждение о существовании корня четной степени из любого положительного числа мы принимаем без доказательства. Согласно определению, когда п четное, то при любом положительном значении а верно равенство , щ j = a. Например, (^5T)4 = 51, (^87 )4 = 87. Не существует такого числа, 4-я степень которого равна -81. Поэтому корня 4-й степени из числа -81 не существует. И вообще, поскольку не существует такого числа, четная степень которого была бы отрицательной, то Правообладатель Народная асвета 12 mi не существует корня четной степени из отрицательного числа. Определение. Неотрицательный корень n-й степени из числа a называется арифметическим корнем n-й степени из а. ш При четном n символом обозначается только арифметический корень n-й степени из числа а (при чтении записи ^а слово «арифметический» обычно пропускают). Выражение, стоящее под знаком корня, называется подкоренным выражением. Извлечь корень n-й степени из числа а — это значит найти значение выражения ^а. Так как корня четной степени из отрицательного числа не существует, то выражение ^а при четном n и отрицательном а не имеет смысла. Например, не имеют смысла выражения ^-81 и 6-64. ш Как мы установили, при любом значении а, при котором выражение ^а имеет смысл, верно равенство (^а) = а. (1) Поэтому равенство (1) является тождеством. В конце XV в. бакалавр Парижского университета Н. Шюке внес усовершенствования в алгебраическую символику. В частности, знаком корня служил символ Rx (от латинского слова гай1х — корень). Так, выражение ^24 + sI3f в символике Шюке имело вид RX424pRX, 3f. Знак корня \Г в современном виде был предложен в 1525 г. чешским математиком К. Рудольфом. Его учебник алгебры переиздавался до 1615 г., и по нему учился знаменитый математик Л. Эйлер. Знак \Г еще называют радикалом. Правообладатель Народная асвета 13 Пр имер 1. Верно ли, что: а) ^(-2)^ = -2; б) = -2? Решение. а) По определению арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a (n — четное число) является неотрицательным числом, n-я степень которого равна подкоренному выражению а. Поскольку -2 0, поэтому каждое неотрицательное значение X является решением (корнем) уравнения (^х f = x. б) Число 13 — нечетное, значит, данное равенство является тождеством при любом значении х, поэтому решением уравнения <13Х )13 ’ = х является любое действительное число, а R — множество всех его корней. Ответ: а) [0; +^); б) R. Пример 4. Решить уравнение Ц2 - 63х6 - 64 = 0. Решение. Обозначим х6 = t, тогда получим уравнение t2 - 63t - 64 = 0. Корни этого уравнения t1 = 64, t2 = -1. Таким образом, имеем X6 = 64 или X6 = -1, откуда X = ±2 (поясните, почему уравнение х6 = -1 не имеет корней). Ответ: ±2. 1. Какое число называется корнем n-й степени из числа а? 2. Сколько существует корней четной степени n из положительного числа а? 3. Корень какой степени существует из любого числа а? 4. Какой корень n-й степени из числа а называется арифметическим? 5. При каких значениях а верно равенство () = а, если: а) n — нечетное число; б) n — четное число? Упражнения ’. Используя определение арифметического корня n-й степени, докажите, что: 1) ^256 = 4; 2) ^01024 = 2; 3) ^729 = 3; 4) ^6561 = 3; 5) ^24096 = 2; 6) ^14 641 = 11. 1.24 Правообладатель Народная асвета 15 1.25°. Верно ли, что: 1) число -4 является корнем четвертой степени из числа 256; 2) число -0,3 является корнем четвертой степени из числа -0,0081? 1.26°. Верно ли, что: 1) 3-1728 = -12; 3) 5-16 807 = 7; 2) 3-3375 = 15; 4) 3-7776 = -6? 1.27°. Найдите арифметический квадратный корень из числа: 1) 16; 5) 0,81; 9) -36' ) 169 ; 2) 49; 6) 0,25; 10) ^; ’ 289’ 3) 0; 7) 2,25; 11) ^; ’ 100’ 4) 1; 8) 1,21; 12) ’ 256 1.28°. Найдите кубический корень из числа: 1) 1; 2) 0; 3) 343; 5) 27 ’ 6) 0,027; 7) 0,001; 4) 8; 8) 64 125 . 1.29°. Найдите арифметический корень четвертой степени из числа: 1) 0; 2) 1; 3) 16; 4) 0,0016; 5)16; 6) ^56; 7) 0,0001; 8) 0,1296. Вычислите (1.30—1.42). 1.30°. 1) 39, 316^/23^/49^У81, 3100; 2) 79,16^/0,09^/0^^/0^^0,0025^0,0001; 3) 327, ЗВ4 , 3-125 , 30,008 , 30,000216, 7-1000000; 4) 416, 7625, 710 000, 40,0081, 40,00000016, 42401; 5 ) 732, 51024, 7243, 30,03125, 3Jl00o00, 30,00001; 6 ) 764 , 3729 , 715 625, 64096, 30,046656, 71000000. 1.31°. 1) 3-1000; 2) ^^-1; 3)7-64; 4) Т-1024; 5) ; 6) 7-343; 7) ^^; 8) 7-3123; 9) 3-0,00032. Правообладатель Народная асвета 16 1.32. 1) (^-3)3; 4) (^У-ГБ j11: 1.33. 1) (3/-2гГ 2) (^-Г4)Б; 3) (V-30)7; 5) (-^6)9; 6) )15. 2) (9 -3 1.34. 1) (35)6; 2) (36,1 )12; 3) ( 9ГГ)'" 4) 5)( )2'; 6) 1.35. 1) (^/3 )10; 2) (476)“; 3) (1^77 у20; 4) (376)'2; 5) (^Яб Г; 6) (4712 У36. 1.36°. 1) ^/Г0 )2; 2) (36)3; 3) (-ЗГ2 )4; 4) -3Г23; 5) (-38)5; 6) (332 )3; 7) (-434)4; 8) (-ЗГ5)7; 9) -БЗБ^; 10) (-33 )6; 11) (-232 )9; 12) -348. 1.37°. 1) 5^2 + ^-8; 3) 12 - 6^0,125; 5) 34Гб - 43^7; 7) ^8 -^64; 1.38°. 1) л/9 W4; 3) 7о,8Г + 30,001; 5) 5 -3256; 7) 3-32 + ЗГ6; 1.39°. 1) (1 W2)(1 W2); 3) (^/3 + 4)(^/3 - 4); 5) ^/Ш W6)U6 WrC); 2) 3625 - 3-125; 4) 1 +1030,0081; 6) ^-^ W2^; 8) ЗГ6 - 364. 2 ) 336 -416; 4) 30,027 ^/0,04; 6) 7 + 38; 8) 3-27 + 38Г. 2) U/3 -2)^/3 + 2); 4) (^/5 - 2)(3УБ + 2); 6) U7 W8)^/3 ^/7). Правообладатель Народная асвета 17 1.40. 1) зД2 /244 •15 -1 2^ 382 - 232 ’ 2) J58 + 442 - 262 35 3) ; 4)^i/Z|3pf 1.41. 1) 2) 3) 4) 1.42. 1) (74a^ )7 2) iMa[ )3 1.9^:9 ()5’ 3) (2^ ()3 • (7ib7 )7 )2 • (-1^ (^la5 )5 • )"); 4) 3^7(54а^)5. (91^)9. (-2^(4а7)7 • )13 )2. Найдите естественную область определения выражения (1.43—1.44). 1.43. 1) л/х + 4; 3) 1°5х^ - 6х; 5) ^х + 3; 7) 7х^ - 4; 1.44. 1) 121 3) 8 5) 4 х - 1 2--Л . 9 - 5 х ’ 2 + х 2) 4-9 + 2х; 4) 1^8х - 4 х^ ; 6) 4х - 7; 8) 42х^ - 32. 2) 14 -4 34 - 2(8 - 6х) ’ 4) 6, 6) 8 х - 3 ’ 3 WTq , 16 - 7 х ’ 12-6х 7) 4 2(х - 2) - 5(1 - 3х) - 2 8) 28 52 - 7х + (3х - 1) • 2 ’ 3(х + 4) - 6(2 - х) + 9 Правообладатель Народная асвета 2 -х 4 х 18 1.45. Найдите длину ребра куба, если его объем равен: 1) 27 см3; 2) 64 мм3; 3) 0,125 дм3; 4) 0,216 м3. Решите уравнение (1.46 i—1.54). 1.46°. 1) X2 = 0,49; 2) X2 = 121; 3) X3 = 0,008; 4) X3 = 1000; 5) X3 = -64 000; 6) X3 = 216; 7) X4 = 0,0625; 8) X4 = -16. 1.47. 1) X3 = -27; 2) x5 = - з2; 3) X7 = -1 4) X9 = -512; 5) X3 = -0,027; 6) X11 = 0 1.48°. 1) X2 = 11; 2) X4 = 19; 3) X8 = 27; 4) X3 = 25; 5) X7 = 38; 6) X9 = -2; 7) X15 = -6; 8) X17 = 4; 9) x13 = -13. 1.49. 1) X2 = 25 600; 3) X2 + 1 = 1,0016; 5) X2 + 25 = 0; 7) X2 • 4 = 0; 9) 11 X2 - 12 = 0; ’ 3 ’ 1.50. 1) 4x3 + ^ = 0; ’ 125 ’ 3) -0,1x4 = -0,00001; 5) 1X5 + 16 = 0; 1.51. 1) X4 + V2 = 7; 3) X6 -47 = 19; 1.52. 1) (X + 1)4 = 16; 3) (2x + 1)3 = 27; 1.53. 1) X10 - 31x5 - 32 = 0; 3) X4 - 12x2 + 27 = 0; 5) X8 - 82x4 + 81 = 0; 2) X2 = 0,0196; 4) 5X2 - 20 = 0; 6) X2 + 17 = 0; 8) -6X2 = 0; 10) 1X2 - 1 = 0. 2) 8X3 + 27 = 0; 4) 16x4 - 81 = 0; 6) ^X6 - 2 = 0. 2) X5 - Va = 30; 4) X3 + л/5 = 5. 2) (x - 2)6 = 64; 4) (3x - 1)5 = 32. 2) X8 - 15x4 - 16 = 0; 4) X6 - 7X3 - 8 = 0; 6) X4 + 2X2 - 15 = 0. Правообладатель Народная асвета 19 1.54. 1)° ()6 = х; 2)° )10 = = X; 3)° (3XX )3 = х; 4)° ()5 = х; 5) (4X -1 = X -1; 6) )12 = 7) (У= 8) X - 2 Г= X - 2 1.3. Тождества с корнями, содержащие одну переменную Корни n-й степени определяются только для натурального числа n >2. Поэтому в формулировках теорем о свойствах корня n-й степени это условие обычно опускается. Теорема 1. Пусть n — нечетное число. Тогда при любом значении а верны равенства: nan = a, I-a = a. (1) (2) Доказательство. Равенства (1) и (2), как и другие равенства в теоремах этого пункта, очевидно, верны при а = 0. Поэтому доказательства проводятся для а Ф 0. Рассмотрим равенство (1). Возведя его левую и правую части в n- ю степень, получим n Согласно тождеству (1) из п. 1.2 это верное числовое равенство при любом значении а Ф 0. По следствию из п. 1.1 верно и равенство Равенство (2) доказывается аналогично: устанавливается, что n-е степени его левой и правой частей равны, и на основании следствия из п. 1.1 делается вывод об истинности равенства (2) при любом значении а. Аналогичными рассуждениями можно обосновать и остальные равенства в теоремах этого пункта. Заметим, что каждое из этих равенств является тождеством, поскольку оно обращается в верное числовое равенство при любом значении переменной, при котором входящие в это равенство выражения имеют смысл. Правообладатель Народная асвета 1 20 Теорема 2. Пусть n — четное число. Тогда при любом значении а верно равенство (3) Теорема 3. Пусть n и k — натуральные числа. Тогда при любом неотрицательном значении а верны равенства: a = nkak = nnka. (4) (5) Заметим, что, когда оба числа n и k нечетные, равенства (4) и (5) верны для любых значений а, а не только для неотрицательных. [г щ I Равенство (5) означает, что при извлечении корня из I Ф I корня подкоренное выражение остается прежним, а показатели корней перемножаются. Теорема 4. Пусть k — целое число. Тогда при любом положительном значении а верно равенство fa )k= (6) Пример 1. Найти значение при: а) b = -1; б) b = 2. Решение. а) = |b^ = |(-1)^ = | -1 = 1. б) ^tf2 = \b^ = |2^ = 8. Ответ: а) 1; б) 8. Пример 2. Сравнить числа и -^2. Решение. = °2^; ^2 = 4 = ^^В. Поскольку верно неравенство 12 > 8, то будет верным и неравенство > °^8. Следовательно, ^2/3 > -^2. Ответ: ^2/3 > ^2. Пример 3. Решить уравнение: а) = -2; б) 5x + 7 = 3. Правообладатель Народная асвета 21 Решение. а) По определению корня n-й степени имеем, что данное уравнение равносильно уравнению х = (-2)3, т. е. х = -8. б) х + 7 = 35, откуда х = 243 — 7, т. е. х = 236. Ответ: а) -8; б) 236. Пример 4. Решить уравнение ^х — 9^х + 14 = 0. Решение. Обозначим ^х = t, тогда ^х = ^х^ = (^х f = , и получим уравнение t2 — 9t + 14 = 0. Корни этого уравнения t1 = 2, t2 = 7. Таким образом, имеем: ^х = 2 или ^х = 7. Решив эти уравнения, найдем: х = 26 или х = 76, т. е. х = 64 или х = 117 649. Ответ: 64; 117 649. 1. Сформулируйте теорему о тождествах с корнями нечетной степени. 2. Сформулируйте теорему о тождествах с корнями четной степени. 3. Сформулируйте теорему: а) об умножении показателя корня на натуральное число k > 1; б) об извлечении корня из корня; в) о возведении корня в степень k. 4*. Докажите каждое из тождеств (1)—(6). Упражн ения Извлеките корень (1.55- -1.58). 1.55°. 1) Vm^, m > 0; 2) y/y^, y 0; 5) 0,Wt^, t > 0; 6) -^y/h3, h > 0; 7) t 0; 3) b > 0; 4) ^^b*^, b -1; 2) 4(x — 2)8 , если: а) x > 2; б) x i? 1.65. Решите уравнение: 1) 4x^ = 5; 2) 4×4 = 1,5; Правообладатель Народная асвета 23 3) vx^ = -3; 5) 5(x — 4)5 =-1; 7) + 6 = 0; 1.66°. Вычислите: 1) ^36^; 4) 822 54 ; 7) i(W; 4) yjx^ = -7; 6) ^(2 + x)3 = 6; 8) ^x6 + 1 = 0. 2) 1^642; 5) 1^2^; 8) ^a1^. 3) ^(i)2; 6) 4(-3)12; Упростите выражение (1.67—1.68). 1.67°. 1) 4x^ ; 2) a® ; 3) 8a^ ; 4) ^n3; 5) 64m^; 6) ^27x^y’2 7) 4625m®; 8) J243a15b1° . 8)5 ^2m5 ; 9) J64a3b’2 ) 3 125 c21 . 1.68. 1)6 6У7 — 2)3; 2) 6(1 ^/2)2 ? 3) 6^/3 -У5)3; 4) Us — 4)2 5 5) 6Us — 2)4; 6) 6(1 ^/2 )2 1.69°. Вычислите: 1) ^Ig^; 2) ^a12; 3) 6(-4)24; 4) 6(-2,5)12; 5) 4(-0,5)12; 6) 4(-0,8)16 ; 7) ; 8)4 (-iI )»; 9)!4(-i^. 1.70. Упростите выражение: 1) V^B; 4) 6^^; 2) V^S; 5) ^75; 3) 4ViO; 6) 66-243 ; 7) Ui^; 10) б^Ж; 8) ^/49; 11) \/Ж2; 9) ^/63; 12) 666613. 1.71. Вычислите: 1) V^64; 2) ^УТ29; 3) VV256; 4) ^1024 Правообладатель Народная асвета 24 1.72. Сравните числа: 1) ^5 и ^24; 2) 6^ и 3) 44 и б8; 4) 64 и 98; 5) 19б и ^292; 6) 3I2J7 и 98. 1.73. Как надо изменить длину ребра куба объемом 3 м3, чтобы получился куб объемом, равным: 1) 6 м3; 2) 9 м3; 3)15 м3; 4) 27 м3? Решите уравнение (1.74—1.75). 1.74°. 1) 94 = -2; 2) 94 = 2; 4) + 4 = 0; 5) 9у — 1 = -2; 3) 4х = 3; 6)99 + 3 = 4. 1.75. 1) 94 — 594 = 0; 3) 94 — 594 + 6 = 0; 5) 94 — 3194 + 2 = 0; 2) 94 + 494 = 0; 4) 94 + 394 — 4 = 0; 6) 94 + 3194 — 10 = 0. 1.4. Действия с корнями нечетной степени Теорема. Пусть п > 1 — нечетное число. Тогда: 1) при любых значениях а и b верно равенство 9а9ь = 9аЬ; 2) при любых значениях а и b Ф 0 верно равенство Пъ \ b 3) при любых значениях а и b верно равенство 9anb = a9b. (1) (2) (3) А Доказательство. Легко убедиться, что выражения, входящие в равенства (1)—(3), имеют смысл. Эти равенства, очевидно, верны при а = 0, а равенства (1) и (3) — и при b = 0. Поэтому доказательства проводятся при а Ф 0 и b Ф 0. Докажем утверждение 1). Возведем левую и правую части равенства (1) в п-ю степень: Правообладатель Народная асвета 25 (nanb )n = (na)» (nb )»= аь; (^а^) = аЬ (поясните каждое равенство). Тогда (ПаПЬ У = (^аЬ) и согласно следствию из п. 1.1 имеем = ^аЬ. S Тождества (2) и (3) из утверждений 2), 3) теоремы доказываются аналогично (докажите их самостоятельно). А Утверждение 1) теоремы можно сформулировать и так: т I Пусть п> \ — нечетное число. Корень п-й степени из \ ф I произведения двух чисел равен произведению корней п-й степени из этих чисел. Такая же теорема верна при любом числе перемножаемых корней (доказывается она совершенно аналогично). Пусть п > 1 — нечетное число. Корень п-й степени из произведения нескольких чисел равен произведению корней п-й степени из этих чисел. Таким образом, при любых значениях aj, а2, . ak верно равенство ^«102 . а^ = ^а!^02 . ^02. (4) В частности, полагая в этом равенстве 01 = 02 = . = а^ = а, получим =(=па )* (5) Утверждение 2) теоремы можно сформулировать так: ш Пусть п > 1 — нечетное число. Корень п-й степени из дроби равен частному от деления корня п-й степени из числителя на корень п-й степени из знаменателя. Преобразование выражения ^«»Ь к виду а^Ь (в утверждении 3) теоремы) называется вынесением множителя из-под знака корня нечетной степени. Преобразование выражения «»Ь к виду «а»Ь называется внесением множителя под знак корня нечетной степени. Правообладатель Народная асвета 26 Заметим, что каждое из равенств (1)—(5) является тождеством. Пример 1. Найти значение выражения ljl3 W4l • ljl3 W4l. Решение. ^13 Wil • ljl3 ^41 = ^(l3 W4l)(l3 ^41) = = ^132 — ^/4l)2 = ^169 — 4l = ^l28 = = 2. Пр имер 2. Вынести множитель из-под знака корня: а) ; б) ^ b______^ у8 у14 Решение. а) = у2 ^уг. Гб ^ ^ JЬу^ — a 7Ьу^- а б) /Нг = \ГТ-Г = 7——2— \у у цу у у \ у у Пример 3. Внести множитель под знак корня: а) 5уТ1Ш- Решение. б) -iX9. 2 ^ 7 у а) 5у112аау = у542ау = ^53 • 2ау8 = /l25 • 2ау8 = /250ау8 22 • 7 б) — 2^ = Jf_ 2^\8 /_ 7^\ = Л -25х5(-7)у3 = 5____________ б) у «Уз х9 5 (у ) i 8 х9 ) 5 у523 х9 5 X4 у2 = 5 28 4 2 X у Пример 4. Освободиться от иррациональности в знаменателе: а) ^; б) iHr; в)* — Решение. 1 = 1 • = 322 = 34 Зб + 34 ■ а) ‘ • 2 б) -T3L = JiL = 13 • 33 = 1333 ) 381 ^3^ • 33 3 . А в) ^ Зб + 34 Правообладатель Народная асвета 27 используем формулу а3 + 63 = (а + Ь)(а^ — аЬ + b2); домножим чис- литель и знаменатель на неполный квадрат разности выражении 3^ , ^^ Q Г

Г / Q Г»Г\2 и ■ ^6 и ^4, т. е. на выражение (^6) — -^В • -^4 + (з[А) : 51^36 — 324 + ^Гб ) (36 + ^4)(- ^б^4 + 342 5^4 (^9 — ^б + (^9 — ^^б + 10 2 1. Сформулируйте теорему о корне нечетной степени из произведения двух чисел. 2. Сформулируйте теорему о корне нечетной степени п из произведения апЬ. 3. Сформулируйте теорему о корне нечетной степени из дроби. 4. Какое преобразование называется: а) вынесением множителя из-под знака корня нечетной степени; б) внесением множителя под знак корня нечетной степени? 5*. Докажите каждое из тождеств (1)—(5). Упражнения 1.76. Вычислите: 1) ^2^500; 3) ^3^9; 5) 3^Э6^-6; 7) 3Г08^50^40; 9) 5^7^36^256. Упростите выражение (1.77—1.78). 1.77. 1) ^10 + ^/Г7 ^10 — ^/Г7; 2) ^12 + W5 ^12 — W5 ; 3) ^7 W22 ^7 W22 ; 4) ^17 ^/46 ^17 W46. 2) ^45^; 4) ^-84^565-126; 6) J-IJI- ) 3 9 V3; 8) ^343^98516; Правообладатель Народная асвета 28 1.78. 1) 1 (23Г35 — 535 -10^40)325; 2) 4(39 — 73т2 + 631125)3^1; 3) ^4 <6зЦ -5318+9з1И) 4) 1 (б34 - 3332 + 1,8^ /500 \3f 27 Найдите значение выражения (1.79—1.80). 1.79. 1) 31б : 32; 3) i(8T. 3) 3з . 5) 2з/1 : iaf3^; ’ V 5 и 625 1.80. 1) (З1 - 316) : 32; 2) ^-0,1 • ^0,08; 4) 5-128, 4) 3=4 ; 6) 3 3384 : 3af^. 2 V16 2) (3729 + ) :ЗЭ; 3) (334 + 63-32 -153-108 4) (33^ - 73-18 + 4а|^ -^) :23/2. Упростите выражение (1.81 —1.83). 1.81. 1) ^ .3/331 a ' Л .. Л \ 4 8а . 2) 53/^а334а5 255X2 ’ ''9 ■0333331.0155 *3 а 63 8 ^а3 3) — J-30._1_3 3- ) а23 X2 а2 X3V а4 4) 33Jb34 аа 5) 6) ^(2633 ("Si)-'372 n® 7) аЗО^Ь3ab^30^30b4a з!3- 8) Ьз/—а^ЗО^ЬЗаЬЗО^Ь7ЗО^Ь7 V Ь Правообладатель Народная асвета 29 1.82. ; 2) ^io2 : ^20^; 3) ^Bio2 : ^-2a; 4) 5-27a^ : ^-ja3; 5)^^ :f8 8 81a3 6)^- 25 : J8a o2 : ■ 1.83. 1) (^2ab3-m^ - m^—b j : 3-bm; 2) (^n^m+ m) : ; 3) (3a2 - 3b2)(3a + 3b"); 4) (^a^b - 232ab2 + b^4)(- 32b). 1.84. Выполните действия: 1)(332 )2; 2)( 3a2 )3; 3)(-23—2)5; 4) (-23-2)4; 5) (ЗЛх2)2; 6) (-a)4; 7) (ax^323^2^; 8) ) . 1.85. В прямоугольном треугольнике ABC (Z C = 90°) найдите длину высоты CD, если: 1) AD = 34, BD = 316; 2) AD = 38, BD = 716. Вынесите множитель из-под знака корня (1.86—1.87). 1) З375; 2 ) 324; 3) 3 - -54; 4) 3-686; 5) 3-96; 6) 5300 000; 7) 5-972; 8) 7-384. 1) Зх^Ь; 2) ^16x23 ’a® ; 3) 3:12^ 4) |354х^; 5) 38L^6^^; 6) a 5I 243x1037 6) х 5 1024a15 7)3 m^3 -1; 8) b . x10 ; 9) ^3^- i^. Правообладатель Народная асвета 30 1.88. Внесите множитель под знак корня: 1) 2X\j3oX ’ 2) 4Xy’ 3) ^ 4)2ш“ n^ 2Шn’ 5) -^32W’ 6) -^ 7) 3а3 - а4 ’ 7) а ’ 8) 3ш5+1 Освободитесь от иррациональности в знаменателе (1.89—1.91). 1.89. 1)з1г; 5) 1.9°. 1) Ifb ^ 2) 6) I8' 3) 3-3 ’ 4) ^=2’ 4) t4 -1 3з6’ 2) 5) 3 2 ^ш2 2 - X 1.91*. 1) k 3 k2 + Щк + Г 3(2 - X) 2) 7\ 1^ Я\ 24 7) ^Тб’ 8) ^зГ. 3) 6) 4+X . 5(4 + X)4 ' - 2^к + 4 ’ 3) -т^—; 3ш2 - 3 5) 7) 4) ш ; ) 3Ш + 5’ 15 ^4 + + ^9 ^ 1 6) 8) 18 - 320 + ^le ’ 1 4^4 - 832 + 1^ 939 + 33 • 33 + 81 Решите уравнение (1.92—1.93). 1.92°. 1) 34X + 1 = -4’ 3) 53 - 3X = 1’ 5) 66 + X = -2’ 7) 3x" + 14X -16 = -4’ 2) 32X + 3 = -3’ 4) 32X + 13 = 2’ 6) 83X - 2 = -1’ 8) З4X - 50 + X^ = 3. 1.93. 1) 35X + 1 = З2 X +10’ 3) 33X + 2 = 32X - 5 ’ 5) 33X + 8 = 3X^ - 2 ’ 2) 34 + X = 32X + 12 ’ 4) 37X + 1 = 23X + 4 ’ 6) 3X + 2 • 34X - 5 = 3-3. Правообладатель Народная асвета ш k 31 1.5. Действия с корнями четной степени Теорема. Пусть п — четное число. Тогда: 1) при любых неотрицательных значениях а и b верно равенство = ^аЬ; (1) 2) при любых неотрицательных значениях а и положительных значениях b верно равенство ^ ■ 0 и b >0. Докажем утверждение 3). При любых значениях а и значениях b > 0 числа na»b и |а|^Ъ неотрицательные (объясните почему). Возведя левую и правую части равенства (3) в п-ю степень, получим anb = I а n b. Это верное числовое равенство, поскольку п — четное число, и поэтому an = |а|”. Согласно следствию из п. 1.1 верно и равенство = |а|пЪ. S Утверждения 1), 2) доказываются аналогично. Докажите равенства (1) и (2) самостоятельно. А Утверждение 1) теоремы можно сформулировать и так: Пусть п — четное число. Корень п-й степени из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней п-й степени из этих чисел. Такая же теорема верна при любом числе перемножаемых корней. Правообладатель Народная асвета 32 Пусть п — четное число. Корень п-й степени из произведения нескольких неотрицательных чисел равен произведению корней п-й степени из этих чисел. Таким образом, для любых неотрицательных чисел а^, а2, . ak верно равенство nai02 . ak = . ^a^. (4) В частности, полагая в этом тождестве ai = а2 = . = ak = а, получим 40^ = (5) Утверждение 2) теоремы можно сформулировать и так: ш Пусть п — четное число. Корень п-й степени из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления корня п-й степени из числителя на корень п-й степени из знаменателя. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству равенства (3). Преобразование выражения na1b к виду |a \4ь ( в утверждении 3) теоремы) называется вынесением множителя из-под знака корня четной степени. Преобразование выражения |a|Vb к виду называется внесением множителя под знак корня четной степени. Заметим, что каждое из равенств (1)—(5), рассматриваемых в этом пункте, является тождеством. Пример 1. Вынести множитель из-под знака корня: а) б) el256] в) 4 8 64 n’ „12 Решение. а) sjmx14 = I б) 6^ = .6 ^12 У 61^ = У У2 У Правообладатель Народная асвета У 33 в) 4 = ^2®«8 „12 „12 2n2 42^ = Пр имер 2. Преобразовать в произведение корней выражение \fab при а 0. Решение. а) Так как р 0, то p®7 > 0, значит, p ti = 6iTp6. Пр имер 4. Упростить выражение: а) ^7 -4333 • ^7 W33 ; б)* ^17 -1^/2, Решение. а) ^7^/з3 • ^7 WS3 = ^(7 ^У33)(7 WS3) = 472 — ^/33 )2 = 449 — 33 = = 2, б) 417 -1^/2 = = 4((l W2 )2)2 = |l W2 I W2 -1, Пр имер 5. Упростить выражение ‘i[Г2 — 3)= • Ь/2 — 3)’, Решение, 10Ь/2 — 3)2 • 10^2 — 3)’ = 10^2 — 3)10 Н ^ — 3 = 3 Правообладатель Народная асвета X X 34 А Пример 6. Освободиться от иррациональности в знаменателе: ^ . ..Ч 8 а) ■ , , f/Г^з Решение. а) б) ^500 -^ 1 ^/7 W3 _ _ = р7 W3 = ЖЖЖЖ • ^77w3 ^4 = ^l7 W3 = V2 • $l7 W3 = ^4^/7 W3) V2 чЯ72 2 8 8 8 б) 65oo — 32 ^5^T00 — 32 ^5. ^lO2-32 32(35 • ^5^-1) 8^/5 + T) = 2^/5 + T) = 2^У5 + T). 322 = ^ + T4 ^ 32^/5 — l)^5 + l) 32 32 • 322 Пример 7. Решить уравнение: а) ^2X — 7 = -1; б) 44x + 19 = 2. Решение. а) Уравнение 42x — 7 =-1 не имеет решений, так как арифметический корень четной степени не может быть отрицательным числом. б) По определению арифметического корня четвертой степени получим, что уравнение 44x +19 = 2 равносильно уравнению 4х + 19 = 24, откуда х = -0,75. Ответ: а) решений нет; б) -0,75. 1. Сформулируйте теорему о корне четной степени из произведения двух неотрицательных чисел (нескольких неотрицательных чисел). 2. Сформулируйте теорему о корне четной степени п из произведения апЬ. 3. Сформулируйте теорему о корне четной степени из дроби с не- отрицательным числителем и положительным знаменателем. 4. Какое преобразование называется: а) вынесением множителя из-под знака корня четной степени; б) внесением множителя под знак корня четной степени? 5*. Докажите каждое из тождеств (1)—(5). Правообладатель Народная асвета 35 Упражнения Найдите значение выражения (1.94—1.95). 1.94°. 1) ,J4 • 81; 2) ^36 • 625; 4) ,yi8 • 32; 5) 4J16 • 625; 7) ^48^27; 8) ^3^3 • Ь2. 1.95°. 1) ,^25 • 16 • 100; 2) ^64 • 81 • 225; 3) ^256 • 0,0016 • 625; 4) ^И4 • 38; 5) ,^1,54 • 48 • 0,014; 1.96°. Упростите выражение: 1) Va^; 2) V7^; 4) ^6^; 5) х/25а^ 7) 412966^; 8) 664с’2 10) 4а’®; 3) V75^27; 6) ^16 • 0,0001; 6) \0 (4) 3) 6) V49 X : Т2″ 11) 481x®у’2 ; 1.97. Упростите выражение (т е Z): 1) ^6-L а’ с*m ; 2) ^1ii а *- 3)4lFm‘ 9) 12) ^729X®y’2 . /16 8 —^ 16 . ‘ — а b ; 81 ’ Вынесите множитель из-под знака корня (1.98—1.99). 4) 44/Ц1 а’2b®- 1.98°. 1) VS; 4) л/^; 7) 61458; 2) б48; 5) 6243; 8) 6320; 3) 6175; 6) 41250; 9) ,P°; ‘ V49 10) -/Тй,; 11) ‘ » 120 12) 4l1§. 1) 4X3; 2) бах® ; 4) ^^l6; 5) 16^iг. 7) 3 4 32а5Ь6 . ^ 4а 4243 X4у7’ 8) 68^ 3) ,4 ^; 81 6) ^432X5у8; Правообладатель Народная асвета 36 1.100°. Внесите множитель под знак корня: 1) ^/5; 2) ^/6; 3) 2^^; 5) 2a 0; 6) 2 xy у2 7) 8) ab 4) ;3^6; где у > 0; n10 1.101. Вынесите множитель из-под знака корня: I) 4-i^; 2) 3) 4Ш^П^; 4) 5) \/l6m2n, где т 0; 7) Vm^n*^, где n > 0; 8) ^Slm®n^ , где n 0, n 0; 7) (m + 4)44/—i—; 8) (m — 4X/-^2-• 1.103°. Вычислите: 1) 494; 2) 1^27^; 3) 416^; 4) 41,694; 5) 1^12964; 6) ; 7)1^(^;7)^; 8)^(^8-f; 9)84( 10000 \2 256 / 1.104. Выполните действия: 1) <\2 -T 2) (4 3) i\6l 4)( i 11 2 4 X у 16 a2b3 1.105*. Найдите значение выражения: 1) 49 ^/65 • 49 W65; 2) x/a^/s ^3 WS ; Правообладатель Народная асвета 37 3) Vl0 - 2421; 4) 46—йъ ; 5) 417 + 1^/2 ; 6) ^28 -1^/3. Освободитесь от иррациональности в знаменателе (1.106—1.109). 1.106. 1) 2 ; V6 4) 7) 1.107. 1) 4) 5 6125’ 6 . 5432 ; - b ’ 2 ц2 а - b 6(а + b)5 9 2) ir; 5) ^Г2; 8) 2) 5)* 4бб4 ’ а + b 4(а + b)3 . а2 + b2 1 3) 48; 6) - 9) 3 243 ’ 3 7бзТ' 3) 2 ц2 а - b 4 а - b 6)* 4 ц4 а - b 8(а2 - 2оЬ + b2)3 1.108. 1) 1 , 1W5; 2) 3) 43 , 4) 43 - 5; 5) Ы5 , 6) 45 —Тэ; 7) 243 , 8) (46 W7 )4 1 9) 26 , 10) 2 - 43; 1.109*. 1) 33 , 2) 43 W3 + 2 ; 3) 42 , 4) 43 W3 W3’ 5) 4 , 6) 2 ^f2 ^J6 W3; 7) 1 , 8) 2 W3 + 4^; 1 We ’ 7 , б7 - 7; W2 , ч/7 Wa; 16 , ^7 W6 )4; 9 43 —72. 36 , 42-43 + 2; 47 W6 , 47 W3; 10 41о W15 W21 ’ ______1_________ 2 + 42 + 42 + 43. 1.110*. При каких значениях t верно равенство: 1) = -1; 2) ^t4 = t; 3) = |t|; 4) t^5 = ^5t^; 5) t^16 • 0,0001 = -0,2Vt4; 6) t^4 = -^it4? Правообладатель Народная асвета 1 38 1.111*. При каких значениях k верно равенство: 1) 10(k - 4)2 = 5k - 4; 2) ^(2 - 3k)4 W2 - 3k; 3) Vk - 2 ^k + 1 ^(k - 2)(k + 1); 4) Jk + 4 = 4-k - 4 ? k - 2 42 - k Решите уравнение (1.112—1.115). 1.112°. 1) V4x + 1 = 0; 2) 42x + 3 = 0; 3) ^4x + 1 = -4; 4) 42x + 3 = -3; 5) V4x + 1 = 4; 6) 42x + 3 = 3; 7) V4x^ + 5x - 2 = 2; 8) 43x - 5x^ + 23 = 3. 1.113. 1) ^x^ - 36 = 42x -1; 2) 88-5x = 8x" -16; 3) 44x + 1 ='-! x^ + 3x -1; 4) 42x + 3 = \lx^ + x - 5) V1 + '-1 x + 38 = 3; 6) ^J7 -^x + 1 = 2. 1.114. 1) 4x - 34x = 10; 2) -Jx - 4-4x = 5; 3) 42 x - 3 + 6 = 542x - 3; 4) 43x + 4 - 83x + 4 - 2 = 0. 1.115. 1) Vx + 2 W3 = 43; 2) ^|^f5 -2x = 45; 3) ^2x -1 + б46 = ^^/6; 4) \l x - 1 - 2/3 ^ л/3 - 5) Vx - 5 - 2sfT0 =s[5 ^Я; 6) - 3x =sl7 W2. 1.6. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия Определение. Геометрическая прогрессия со знаменателем q, удовлетворяющим условию |q| 6. _2_ 2 13. ш Ш1 Такую же картину, как и в этих двух примерах, мы наблюдаем в любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии (b„): чем больше номер п члена прогрессии (b"), тем меньше |b„ |, и с увеличением п этот модуль становится меньше любого заданного положительного числа. Это утверждение формулируется ещ^е и так: стремится к нулю при п, стремящемся к бесконеч- f II '' ности. Заметим, что если |^| 0 полагаем 0n = 0. Приведем несколько примеров преобразования степеней с рациональными показателями: а) 2435 = ^2433 = ^(35)3 = ^З15 = 33 = 27; б) 2437 = ^2433 = -^31^ = ^(32)7 • 3 = 9^3; в) 243- 4 = ^243-3 = V3-15 = = 4I М э'5 V э'6 у (34)4 43 = 43 81 i 32 Выражения (-2)3, (-243)5, (-16)3 не имеют смысла, так как по определению основание степени с рациональным показателем может быть только неотрицательным. Поскольку рациональное число представимо в виде дроби неоднозначно, то возникает вопрос: не зависит ли определение степени с рациональным показателем от вида этой дроби? Например, верно ли равенство 2 -14 5 3 = 5 21? На этот вопрос отвечает следующая теорема. Правообладатель Народная асвета 3 49 Теорема 1. Для любого положительного значения a при любом натуральном l верно равенство Доказательство. Преобразуем правую часть этого равенства, используя определение степени с рациональным показателем, а также свойства степеней и корней: ^l = nak = a

n ani =^^ = nlj 1 и целом k верно равенство kp aP = ak. Доказательство. Преобразуем левую часть этого равенства, пользуясь определением степени с рациональным показателем, а также свойствами степеней и корней: kp a Р = 40^Р = P(ak)p = ak. S 1. Сформулируйте определение степени с рациональным показателем. 2*. Почему нельзя определить степень с рациональным показателем для отрицательного основания? Упражнения 1.134°. Запишите корни в виде степени с рациональным показателем: 1) 2) ^ ; 3) ^Ib2; 4) Правообладатель Народная асвета 50 5) 3a ^ ; 8) 5a—3b ; 11) \la^ + ; 6) 4xy^ ; 7) 4a'»b ^ ; 9) ^J(a+

b)^^; 10) ^(m — n) 12) 7a^ — b^ . 1.135°. Замените степень с рациональным показателем корнем: 1) x6, у7, (3a)3, (2b)4, 5t 2, 8d 9; 2) 2a^°’^, 4a^’®, a^°’3, a^3’6, (9 a) ^^3’3, (5 a)-1,5; 1 3 — 5 — 2 3) (m + n)5, (m^ + n^)4, (m3 + n3)4, (m + 2n) 3, -1 -i -(m + n) 2, 6(m + n) 5; 4) (c^ — d^)4,7, (c^ + d2)5,4, (c — d)-0,7, (c3 — d3)-0,9, -(c + 3d)-6-2, -(c — 2d)-7,3. 1.136°. Вычислите: 13 3 5 1 4 1) 42, 642, 814, 164, -273, -1253; 2) (2#- -(3;!-(2|7 I-3. (64)-2. (7f2 _ 1 _ 1 _1 _1 2 3) 1,44 2, 0,81 2, 0,00001 5, 0,0016 4, -0,0273, _ 1 -0,0625 4; 4) 16-0,25, 10 000-0,75, 169 1.137°. Имеет ли смысл выражение: ,-0,5 n-1,5 9- 1024′ 0,6 625′ 0,75 1) 74; 3 4) 04; 7) (-64) 3; Вычислите (1.138—1.141). 2) (-27)3; _ 4 5) 0 5; — 3 8) (-81) 4; 1.138°. 1) ( 25 1 2 + ( 36 2Л — 3 8 3) 21 2; -1 6) (-16) 4; 3 9) -6254 ? 2) 13(8- (if I-2; 3) 0,640,5 • 0,0273; 4) 81-0,75 : 1024 -0,6 . Правообладатель Народная асвета 12 2 5 1 2 2 3 4 2 51 1 5) 83 :2_1; 2 6) 4-1 • 83; 1 7) (-3)_2 • 814; 8) 64 3 •(i) . ’ Vg/ 1.139°. 1) ^4-(^г)-1; 2 2) 273 + 9-1; 3) 4) (2f)-2 •( 16)■ 5) (125-1 • ^Г^)-3; 6) 0,01-1 : 100-2. -0,5 2 11 1.140°. 1) 83 — 2568 + 273; 113 2) 252 — 273 + 814; 3) 16°-5 + (т1б )-0-75 — (-.1 )-6; -11 _ 3 4) 9-0’5 — 8 3 + 0,25 2; 2 11 5) °,°625-0,75 — (1 ®1)3 + 0,027 3; 6) 160-5 -(тк)-0-75Г(-,1 )-4, 1 1 1.141°. 1) 2т + 3т2n2 при m = 49, n = 16; 2) [т‘ — З5Г2 -0,^ .,0,4 4 при т = -—; 3) t^»‘5 + р»‘» при p = 32, t = 49; 2 4) 2(t^ — р^1)3 при р = !, t = 4. 1.142°. Верно ли, что: 1) 3,8717 = 3,8785; 3) 9,56-1,45 = 9,56-13,05; 1353 5) 7,32 11 = 7,32123; _ 396 7) 4,16 33 = 4,16-12; -_29 -174 2) 19,24 36 = 19,24 216; 4) 20,087,8 = 20,0885,8; 360 6) 5,01 5 = 5,0172; 406 8) 11,4^ 29 = U,44-14? Правообладатель Народная асвета 13 65 52 Найдите естественную область определения выражения (1.1431.147). 1.143°. 1) a2; 5) ; 9) a3; 1 1.144°. 1) (a + 1)4; _ з_ 4) (3a) 4; _ 2 7) (1 — 3a) 3 1 10) (a + 2)5; 3) a 2; — 5 7) a 2; 4 2) \fa — 2 6) a 5; 10) a-3; 11) a7 1 2) (a + 3)3; 5) (a -10)0; 3 ; 8) (2a + 6)5; 11) (a — 3)8; 4) a3; 8) a2 ; 3) (6a)5; — 3 6) (2a + 1) 2; — 2 9) (4 — 8a) 7; 12) (3a -15) 7. 15 1.145. 1) (a^ — 4) 16 21 1.146*. 1) 2) 3) (a^ — 5a)24 5) (a^ — 6a + 8) 4°; — _5_ 7) (3a^ + 4a — 4) 15 — 30 9) (6 — a — 7a^) 10 6 — 7 a + a2 15 2) (9 — a^)20; _ _6_ 4) (a^ + 2a^48; — _4_ 6) (a^ — 3a — 10) 24; -16 8) (3a^ — 8a — 3) 8 ; — .21 10) (3 -2a — 5a^) 6 . a — 1 3 — 2a — a2 a + 3 20 04 I a2 — 7a — 8 (a — 8) 122 . ) ‘ ° ^ ’ (a + 2)2I ’ 1 2 4) 5 — a 2 2 a2 + a — 3 a — 1 2 a + 3 + 1) 4. 1.147*. 1) (sinX — 1)4; 1 3) (1 — tgX)5; 1 5) (-2 — cosx)8; 2) (ctgX -1)3; 1 4) (-1 — cosx)6; j_ 6) (sinX — 2)10; Правообладатель Народная асвета 2 4 53 7) (-1 — sinx)6 ; 9) (2sinxcosx)i2; 8) (cosx -1)4; 10) (cos2 x — sin2 x)8, 1.148*. Сравните с единицей число: 1) (;8 )’ 2) (^7 )5; 3) 77 4) (9 3 ^ — 5 1.9. Действия со степенями с рациональными показателями Для положительных оснований все действия со степенями с рациональными показателями обладают теми же свойствами, что и действия со степенями с целыми показателями. Теорема. Для любых положительных значений а и b при любых рациональных s и t верны равенства: а’^а — = а’ +t; (1) 0s = а а’ -t; (2) <а )t = ast; (3) (аЬ)s = а'Ь'; (4) /.. \s -•vS (ib) а bs . (5) А Доказательство. Пусть s = p, t = k, где q e N, n e N, -7 h -7 q n p e Z, k e Z. Докажем равенство (1). Преобразуем его левую часть: P к = aq • ап = I по теореме 1 из п. 1.8 получим | np kq = а^ • а^ = I по определению степени с рациональным показателем имеем | =п^апр • п^а^^ = Правообладатель Народная асвета 54 I по теоремам из п. 1.4, 1.5 имеем | = ^?lanp • akq = I по свойству степеней с целыми показателями получим | = n^anp += I по определению степени с рациональным показателем имеем | nP + k4 np + kq p + k = a nq = anq nq = aq n = as + ‘. S Доказательство остальных равенств аналогично доказательству равенства (1). А ш Замечание 1. Согласно теореме 2 из п. 1.8 доказанные в этом пункте утверждения верны и в случае, когда одно из чисел s или t целое. Замечание 2. Равенства (1)—(5) являются тождествами, поскольку каждое из них превращается в верное числовое равенство при любых значениях переменных, при которых входящие в это равенство выражения имеют смысл. Следствие. Для любых положительных значений а и b при любом рациональном t верны равенства: a - t / и \t ^ / b ^ А Докажите эти равенства самостоятельно, используя равенства (2) и (5). А Пример 1. Найти значение выражения 2 2,5 a2 • a ’ lal4 при а = 2,25. Решение. Выполним преобразования: -1 3 • 7 ,14 „0,5 + 2,5 li = a1,5 - 3 = a-1,5. Правообладатель Народная асвета a 3 55 При a = 2,25 = = — получим ’ 100 4 a-',5 = ( 9 Ответ: —. 27 -1,5 -U3 2 = 1412 = 9/ 2 = (2 Г = J4 3' 27 ' Пример 2. Пусть а >0, b > 0. Разложить выражение a — b на множители как разность: а) квадратов; б)* кубов; в) четвертых степеней. Решение. а) a — b = [a^ j — ^b2 j = ^a2 — b2)(a2 + b2). Аб) a — b = ^a3 j — yb3 j = ^a3 = (a3 — b3 )(a3 + (ab)3 + b3). A b3 )((a3 ^ + a3 • b3 + (b3 4^ + lb4 / 1\4 / 1\4 в) a — b = (a4 1 — (b4 1 = lla = la2 + b2 ) (a4 — b4 ) (a4 + b4 A Пример 3. Сократить дробь 1 2 25 + 5m 3 + m 3 125 — m 1 \2 — (b4 Решение. 12 12 25 + 5m 3 + m3 25 + 5m 3 + m 3 125 — m 1 2 25 + 5m 3 + m 3 53 — (m 3 1 \3 5 — m3 )( 52 + 5m3 + (m3 12 1 5 — m 3 Ответ: 1 1 5 — m 3 Пример 4. Найти значение выражения 3 -144 )(3 + 144 ) : (9 + (72 — 22 ^ Правообладатель Народная асвета 56 Решение. 3 -144 )(з + 144 ]

L i\2 9 + (72 -22 З2 — 144 1 \2 i\2 / i\2 1 1 9 + Ц72 ) + (22 ) -2• 72 • 22 9 -142 9 -142 1 1 9 + 7 + 2 — 2 • 142 18 — 2 • 142 Ответ: 1. 2 1. Сформулируйте теорему о действиях над степенями с рациональными показателями. 2. Как перемножить две степени с одинаковыми основаниями? 3. Чему равно частное двух степеней с одинаковыми основаниями? 4. Как возвести степень с рациональным показателем в рациональную степень? 5. Как возвести в рациональную степень произведение положи -тельных чисел? 6. Как возвести в рациональную степень положительную дробь? Упражнения Представьте в виде степени с рациональным показателем (1.149—1.154). 1 1 -1 1 2 1 1) a2 a3; 1 2) a 2a3; 3) a3a9; 1 Л 1 1 4) a®a3; 5) a^’^a^’a”’®; 14 1 6) a6a3a2; 3 -1 5 — i 1 7) a8a24a 3; 8) a°,8a-5a7,2; 9) a9a 18a4. 1 3 5 1 1 1 1) b2 :b2; 0 1 2) b6 :b2; 1 3) b5 :b 2; 1 2 1 4) b5 : b10; 1 5) b 3 : b^; 1 6) b°’6 : b^; 3 1 5 5 1 7) b-°,4 : b-°,8; 8) b4 : b5 : b 6; 9) b6 : b >2 : b2 1.151°. 1) ^^2 )3; — _5_ 4) (t4) >2; 2) (t3)^; 5) (t3i8; 3) (t 2)5; 6) (t^’4) 0,^-2,5 Правообладатель Народная асвета 57 _ 3 1 1.152°. 1) (t4) 4 • 3) 4 j 2 .^t 2 j 4 : t 2; 1.153. 1) la3b5)(a4b3); 3) (a12 b6 ):(a3b4 ); 2 / 1 5 1.154. 1) (a2b18 I -la-1’5b6 3) (a7b^14 • (a“-^b“-2)-2’5; I 1\ -3’5 ,3 2) It7 ) • (t-1’25)5; 4) ^t /53 2^— / — \2-6 |1^ I t18 2) (a3b”-625^^ t 2 2) (a2 b5 )(a3b4 ); 4) (a15b3):(a5b6). a 3b4 I; / 2 1\-1’^ / 5_____5\5 4) (a3b3 1 • (a6b 12 ‘5 Вычислите (1.155—1.158). 4 Д 1.155°. 1) 35 • 35 ; -1 — 2 3) 3 3 :9 3; 1 2 5) 102 • 100’1 • 105; 7) 2• 40’4 • V2; 9) ^9 • 3-2 • 30’5; 2 5 2) 27 • 27; 4) 5-1’3 :5-0’7 :25-0’8 1 12 -1 6) 253 • 53 • 125 9; -1 1 8) 125 3 •253 • ^5; 10) ^l6 • 2-0’6 • 21’8. 1.156°. 1) (8• 27)3; 4) (f )^; 2) 5) — ) 64 125/ 363 \i6. 1252 3) )-2; 4 \144/ ’ 6) (■ 1.157. 1)^3^)2 :Г32)0’1; 4 V24^ V243/ 2) ier 4) 4 2 -U8 ^ N 2 6 J1 r 3 64/ 2 ^ ^ 327/ ’ 6) 1253 + (у3; 2 8) 53 • 33 , 5 3 Правообладатель Народная асвета 58 9) 100’6 • 2 5 5->-4 10) -0,8 145 п-2,2 82 • 39 1.158. 1) 8 9 82 • Зэ-1 3) А)-То .( 25 \- 2 1^ У36/ 2\ -1 1 /4\-^\ 2 -1 2) 4) 813 • 349 ^33′ 7-1,6 (^)-8 ■( 27)-3 ^ з-5 64- 1 \-7 11 -0,5 -16 ,1,25 1.159. Найдите х, если: 5 — 2 23 • 4 3 6б4 1) 2) 3) 4) (32)2 -1 2 9 3 •2433 39 • 3 1 ^ ^ 3/ 3243 ^ -1 1 4 2 • 163 (ЗТ6)2 V4 • X (316)’ 1252 • 0,23 (З^)3 (325)3 • (X — 1) 252 ‘ 1.160. Представьте в виде суммы: 1) X3 (4 — X3 I; 1 /1 1 о2,5 2) X2 (2 + X2 I; 2 2/4 4 4) a3b3 \a3 — b3 I. 3) a2 b^-5 ^a2 + b2 j; Вынесите общий множитель за скобки (1.161 —1.162). 1.161°. 1) a2 + a; 7 4) a9 — a; 2 1 7) a3 — a6 ; 2) a — a3; 1 1 5) a2 + a4; 3 2 8) a5 — a5 + a; 3) a + a6 ; 1 3 6) a5 — a5 ; 2 5 9) a — a9 + a6 , Правообладатель Народная асвета 3 4 X 5 59 1 1 1.162°. 1) (ab)3 + (ac)3; 1 1 3) 12ab2 — 3a2 b; 11 11 5) 24a2 b4 + 8a4 b2; 3 5 2) (ab)4 — (ac)8 ; 15 12 4) 5a3c3 +15a6c3 ; 12 1 i 1 6) 26 a5 b — 22 a10 b3, 1.163. Докажите тождество: 1) iyO2 + b2 j iyO2 — b2 j = a — b; 2) * ^a3 + b3 j^a3 — a3b3 + b3 j = a + b; 3) * (a3 — b3 j^a3 + a3b3 + b3 j = a — b. 1.164°. Возведите в квадрат выражение: 1 1 1) 22 — 43; 3 3 3) a2 + b2; 1 1 5) 2m2 — 3n2; 2) 3 2 +9 3; 5 _ 1 4) m2 — n 4; 3 5 6) 4t2 + 5 d3. 1.165. Упростите выражение: 1)° la -b2 lla + b2 I; 3)° la2 — c 1 ll c 1 + a2 5) ^4a5 + t 4](4a5 -t 4 / 2 _ 5 w 2 _ 5 6) (3t3 + d 6 )(3t3 — d 6 7) 4a3 — ^2a3 + 3b3 j^2a3 — 3b3 j; 8) 9b5 — (3b3 — 2a3)(3b3 + 2a3); 2 /1 1\2 9) 25b5 + 16c — ^5b5 + 4c2 j ; 2 /1 1\2 10) 9a3 — 25b — 13a3 — 5b2 I . c + t4 )fc -14 2)° 4)° lb4 — d-^)(d»^ + b4 I; Правообладатель Народная асвета 1 60 1.166. Вычислите: 1) (l6- 4 — 3-2 2) (si-4 + 7-2 /1 1\2 3) (s2 — 32 +16 -0,25 — (.ir)0’25); 2 + 154 ) (2 -154 4) 52 -214 Ifs2 + 214 W7 )2. Разложите на множители, используя формулу разности квадратов (1.167—1.168). 1.167°. 1) a -121; 4) 5 -12; 1 1 1.168. 1) a2 — b2; 2) 49 — m; 5) 7 -b^; 4) 4 — n2; 2 7) X3 — 3; -1 10) x^^ — a 4 Сократите дробь (1.169—1.170). 1.169. 1) 1 1 2) a3 — b3; 1 1 5) 4a2 — 25b2; 2 8) 6 — X5; _ 1 11) m2 — n 2; 3) n2 -13; 6) (d6 -10. 3) a3 -1; 1 1 6) 0,01m6 — 0,09n2; 9) X 2 — y 4; 1 12) m — n5. 4) 7)* 1.170. 1) 3)* 1 1 4 4 m — n 2) p2 + t2 ; 3) a5 — b5 , 1 1 ; p -1 ’ 2 2 ; m 2 — n 2 a 5 — b 5 1 1 2 4 2 1 m 2 — n 2 5) a7 — 25b7 , 6) a3 — 9b2 1 1 ; 1 2 ; 1 1 m 4 + n 4 2a 7 — 10bb 4a3 +12b4 . a — ^b^ ; 8)* ^[a + b4b , 9)* 27 — a 3a — 4b ’ ■da + db ’ 1 r. . 0 .3 . . 2 1 13 a 3 b 2 — a 2 b 2 1 1 ab 2 + a 2b 2 a1,sb0,s + b2 ab0’5 — a0’56 + b1’5 2)* 4) a 1 3 — a 3 b 2 1 12’ a + a 3 b 3 + a 3 b 3 -0,5 — 2a-0,25 b-0,25 + b -0,5 a-0’5 — b-°,5 Правообладатель Народная асвета 2 61 5)* а + а0-2560-75 a°.5 + а0-25^0-25’ 6) b — a0’5b0-5 b0-75 + a0.25b0-5 Упростите выражение (1.171 —1.174). 3 3 -1 4 1.171. 1) Va2b»2 — 6a4b 3 + 9b3; -21 3 2 11 2) \la 2 — — a4b3 + — a^b 3 4 » 3 9 1.172. 1) 3) 5) 7) 8) 1.173*. 1) a — b a — b 2) m 2 — n 2 m2 — n2 ’ 1 1 1 1 ’ 1 1 1 1 ’ a 2 — b 2 a 2 + b 2 m 4 — n 4 m 4 + n 4 4X0’5 -16 + X0’5 ’ 4) a — b a1-5 — b1-5’ X -16 X0’5 + 4’ 1 1 1 1 a 2 — b 2 a — b ’ a — b a2 — b2 ’ 6) a + b a — b 3 11 a 4 + a 2 b 4 1 1 ’ a 4 + b 4 1 1 a 3 + b 3 1 1 a 3 — b 3 1 1 a2 + b2 a + b \ab 1 ’ 1 3 1 1 ab2 + a2 a2 + b2 , / ‘ a2 — b2 a — b a )- 3 1 1 1 V b’ ,a 2 + ab2 a2 + b2 , 1 8a + 1 1 + 4 a3 — 2 • 3a ^ / 1 2) 2 a 27—— a 3 + 9 + 3 • Wa 1+ a3 \ 1 a — a 3) ——^ I 1 + 1 4) 1.174*. 1) 2) 1 — a 3 ‘ a3 — 1 1 1 2 1 — a 3 1 , a + a3 1 . 1 — a 3 1 a3 + 1 1 1 \ — 2 • 3[a + 2 ■ ■2 b — a2 b 2 a +-1—T V a2 + b 2 a 2 a 0-5 11 11 a 2 b 2 + b a 2 b 2 — a a — a0-5b0-5 + b 0-5 — .0-5 a0-5 — b’ a1-5 + b1-5 a0-5 — b0-5 a + b \ a 2 b 2 / 0-^0-5 . : 4a3-2 6′ Правообладатель Народная асвета 62 3) 4) а1-5 + 61-5 а0-5 + b0-5 — а -.0,5,0,5 ‘■(а — b) + ■ 2 b 0,5 ,0,5 а0-5 + b0,5 а05 — b05 а0,5 — b05 а0,5 + b 0,5 а0,5 + 1 а + + b0,5 ’ 0,5 — 1 ,0,5 — 1 а0,5 + 1 а -1 1.10. Сравнение степеней с рациональными показателями Теорема 1. Пусть а > 1. Тогда: 1) если r — положительное рациональное число, то а’ > 1; 2) если S и r — рациональные числа и s > r, то > аг. Доказательство. Докажем утверждение 1). Положительное рациональное число r можно представить в виде r = —, где k и l — натуральные числа. По условию а > 1, значит, согласно свойству степеней с натуральными показателями получим а’^ > 1k, т. е. а’^ > 1. Последнее неравенство можно переписать так: k\l \ ti [а1 j > 1l. Еще раз воспользовавшись свойством степеней с натуральными показателями, получим к_ а1 > 1, т. е. а’^ > 1. S Утверждение 2) доказывается аналогично. Теорема 2. Пусть 0 r, то 0,8-6,9. в) Для основания степеней и их показателей соответственно верны неравенства 5 > 1 и -11 0) с единицей, если известно, что верно неравенство: 2 1 а) k7 k^^’1; в) k° 1 и по условию большему значению показателя степе — ни соответствует меньшее значение степени, то основание степени k удовлетворяет неравенству 0 1. Ответ: а) 0 1. 1. Сформулируйте теорему о сравнении степеней с основанием больше единицы. 2. Сформулируйте теорему о сравнении степеней с положительным основанием меньше единицы. Упражнения Сравните числа (1.175—1.180). _ 1 _1 1.175°. 1) 2 2 и 2 4 2 0,7 3) (^4)7 и 1^4) 5) 0,001-1,3 и 0,001-1,5; 1 7) )4 и (1 )0,251: 8 3 9) ()3 и (^8)8; 1.176°. 1) 0,2-7’8 и 56,4; 2 3) 1,23 и 1,20; 5 5) 1 и 0,74; 7) ^Э)3’5 и 1; 9) 2’5^g;4 и 0’4^2,5; 3 3 .3°>5 1.177. 1) 3 ^^3 и 313 • 30’5 ; 6435 ; 5 3 2) 238 и 238; 4) (3и (7)-6; 6) 0,999-2,1 и 0,999 8) (2)»’32 и (;!)”’3; 2 10) (^^L)0,8 и 0,97. ,-1,8. 13 -2,5 . 2) 86 и 0,125 3 4) 1,60 и 1,62; 4 6) 0,815 и 1; 8) 1 и ^^9; 10) 13 • и 73. ^0^. 2) (3 • ^б-2 и (1У4 • ; 2 4 3 3) (1|Г2-Сз) и(:|)-4 .(^З)9; 4) (^)-i .i52)'» и ^2|6)-3-(^З)3. Правообладатель Народная асвета 65 А А 1.178. 1) (i7)n и (^3)11; 3) (^2)3 и (3sl2)3 -1 -1 2) 0,357 3 и 0,3571 3; 2 2 4) (sl2iy7 и (^/5f7. 1.179. 1) 7(1 -1 1 1 и 7 (4 2)5(1j -1?)4 «5111 -11 1 -11) 4 6 7/ 3) fl1 -i1^ -1^))‘6 — (11 -^))2* 4) ^(>А-3# и 1.180. 1) 2/5 -1 и 6^/5; 2) 77 -1 и 9 — ^/7; 3) 4) ^ и 3 ^11 5 1.181. Расположите числа в порядке убывания: 1) ; (^ )0’2; 1 (^ 2 2) ) 3 4 ; (f)3 3) (^)5; (^)-8; (75 2 4) (4)5; ’ \3/ ’ -3 (16)- 5) 70,3; 0,3; У/5 -1)2; 6) ^/^:7; 1,7; (3 16 1 49/ 1 256 6 81 1.182. Сравните с единицей число: 10) 5; 2) (^ )-5; 3) (^ I1; -2 4 5) (I)3; 6) 7 (^ Г3; 13 44; 1 8) (п-1)3; 9) (^7)3; ‘п- 3 11) [43 -1)2; 12) [45 — 2)8 Правообладатель Народная асвета 66 1.183. Зная, что 0 1, сравните: 1) a и a ®; 3) а“-2^’ и a^-‘^1; _1 _2 5) a 3 и a 5; 5 2 7) a2 и a5; 9) a^’^6 и a^’6; 2) a^18 и a^17,99; 4) a1,63 и a1,82; _ 7 _8 6) a 10 и a 9; _ 4 _ 5 8) a 5 и a 4; 10) a8-8 и a8-881. Сравните числа а и b, если известно, что верно неравенство (1.185—1.186). 1.185. 1) 3a > 3b; ^a / О \ b >( 12); 1.186. 1)^5)a (17); Шa / о \b ( 3 6) (13) 2) ^3)a >^3)*; 4)tir )a (in 8)6(71 >u41. Сравните число m (m > 0) с единицей, если известно, что верно неравенство (1.187—1.188). 2 3 3) m5 m3; 1.187. 1) m8 > m8; 7) m9 m8; _ 1 8) m^8’8 > m 4 6) m 88 бГ^^^Т \jmlm m 4 -3 5 2 53i .-i 4J3m7 15; 5— 5 -l vm ^m 6Г^8 6) VVm ЛУm ^ ..-3 m 3 ^/m l2 4— 6 -5 1.11. Степенная функция (показатель положительный) В предыдущих классах мы изучали функции у = х, у = x2, у = х3, у = \fx. Каждая из них является частным случаем функции у = xr, где r > О — постоянная. Такая функция называется степенной. Рассмотрим степенные функции с различными положительными показателями. 1. Функция у = , где r = 2k, k е N Естественная область определения 2k Г\ и выражения х — множество R всех действительных чисел. Оно и является областью определения функции у = xr, где r = 2k, k е N. Назовем свойства функции у = xr, где r = 2k, k е N. Они те же, что и у функ- 2 ции у = х , и устанавливаются так же, как свойства этой функции. Для сравнения графики функций у = х2 и у = х4 изображены на рисунке 3. Рис. 3 Правообладатель Народная асвета 4 m 3 7 3 68 Теорема (о свойствах функции у = X, где r = 2k, k е N) 1. Областью определения функции является множество R всех действительных чисел. 2. Множеством (областью) значений функции является промежуток [0; +^). 3. Значение функции, равное нулю (у = 0), является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет. 4. График функции имеет с осями координат единственную точку пересечения (0; 0) — начало координат. 5. Значение аргумента, равное нулю (х = 0), является нулем функции. 6. Функция принимает положительные значения (у > 0) на множестве (-^; 0) U (0; +^), т. е. все точки графика, кроме начала координат, лежат выше оси Ox, в I и II координатных углах. 7. Функция четная; график функции симметричен относительно оси ординат. 8. Функция убывающая на промежутке (-^; 0] и возрастающая на промежутке [0; +^). 9. Функция не является периодической. Убедитесь в справедливости этих свойств, используя схематичное изображение графика функции у = х», где r = 2k, k е N, на рисунке 4. Замечание. Если r = 0, то функция у = xr имеет вид у = х0. Естественная область определения выражения х0 — множество (-га; 0) и (0; +^), т. е. все значения переменной х, кроме нуля (х Ф 0). На этой области определения функция у = х0 имеет постоянное значение, равное 1. Изображение графика этой функции дано на рисунке 5. 2. Функция у = , где r = 2k + 1, k е N Естественная область определения выражения x2k + 1 — множество R Правообладатель Народная асвета 69 У 1 О у = х», г = 0 X Рис. 5 Рис. 6 всех действительных чисел. Оно и является областью определения функции У = х’, где г = 2k + 1, k е N. Назовем свойства функции у = Х, где г = 2k + 1, k е N. Они те же, что и у функ- 3 ции у = х , и устанавливаются так же, как свойства этой функции. Для сравнения графики функций у = х3 и у = х5 изображены на рисунке 6. Теорема (о свойствах функции у = хг, где г = 2k + 1, k е N) 1. Областью определения функции является множество R всех действительных чисел. 2. Множеством (областью) значений функции является множество R всех действительных чисел. 3. Функция наименьшего и наибольшего значений не имеет. 4. График функции пересекает оси координат в единственной точке (0; 0) — начале координат. 5. Значение аргумента, равное нулю (х = 0), является нулем функции. 6. Функция принимает отрицательные значения (у 0) на про- Правообладатель Народная асвета 70 межутке (0; +^), т. е. график функции расположен в I и III координатных углах. 7. Функция нечетная; график функции симметричен относительно начала координат. 8. Функция возрастающая на области определения. 9. Функция не является периодической. Убедитесь в справедливости этих свойств, используя схематичное изображение графика функции у = xr, где r = 2k + I, k e N, на рисунке 7. Пример 1. Сравнив схематичные изображения графиков функций у = xr, где r = 2k, k e N, и у = xr, где r = 2k + I, k e N (см. рис. 4, 7), указать, на каком из множеств обе функции: а) возрастают; б) имеют значения разных знаков; в) убывают; г) принимают неотрицательные значения; д) принимают положительные значения; е) принимают равные значения. Ответ: а) [0; +^); б) (-^; 0); в) нет такого промежутка; г) [0; +^); д) (0; +“); е) <0; I>. Замечание. Если r = I, то функция у = xr совпадает с функцией у = х, график которой изображен на рисунке 8. Правообладатель Народная асвета 71 Рис. 9 3. Функция у = xr, где r — рациональное нецелое число больше 1, т. е. r е Q, r г Z, r > 1 Область определения этой функции — промежуток [0; +^), т. е. эта функция рассматривается только на множестве всех неотрицательных действительных чисел. Назовем свойства этой функции. Для сравнения графики функ- 4 3 5 ций у = x3 , у = x2 и у = x2 изображены на рисунке 9. Теорема (о свойствах функции у = xr, где r е Q, r г Z, r > 1) 1. Областью определения функции является множество [0; +“). 2. Множеством (областью) значений функции является множество [0; +^). 3. Значение функции, равное нулю (у = 0), является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет. 4. График функции имеет с осями координат единственную общую точку (0; 0) — начало координат. Правообладатель Народная асвета 72 5. Значение аргумента, равное нулю (х = 0), является нулем функции. 6. Функция принимает положительные значения (у > 0) на промежутке (0; +^), т. е. график функции расположен в I координатном угле. 7. Функция не является ни четной, ни нечетной. 8. Функция возрастающая на области определения. 9. Функция не является периодической. Убедитесь в справедливости этих свойств, используя схематичное изображение графика функции у = xr, где r е Q, r г Z, r > 1, на рисунке 10. 4. Функция у = х’’, где r — рациональное положительное число меньше 1, т. е. r е Q, 0 1; б) 0 1; б) 0 1, r е Q. Сравните: 1) 0,47r и 0,51r; 2) 0,39r и 0,42r; 3) 3,14r и 4,73r; 4) 9,2r и 11,38r; 5) (cos-|)r и (tg 0)r; 6) (sin^^)r и (cos _J \r 3, 3 п ”2” 1.192. Найдите значение функции f(x) в точке х0: 5 1) f (х) = 4х3, х0 = 8; 2) f (х) = (16х)4, х0 = 16; 1 (х2 )5 3) f (х) = , х0 = 32; х 5 1 ( х5 )3 4) f (х) = ^, х0 = 4; Правообладатель Народная асвета 3 х 75 )0’5 • (x3 )5 5) f (x) = ( ^ 5Г^- ^ , Xo = 3; (x5 )°’25 • (x3 ) 3 6) f (x) = (x ) x ) , Xo = 2. 1.193. Найдите наибольшее целое значение х, принадлежащее области определения функции: 1) f (x) = (4 — x)20; 2) f (x) = (12 — x)4 ; _L 12 3) f (x) = (40 — x^ — 3x)23; 4) f (x) = (9x — x^ -14)7 . 1.194. Укажите естественную область определения выражения: ‘7 — 3 x у. 2 + x 1) (3x-i;x )2; 2) 3) (i92x-+5l-) ‘; 4) 8 5) ((9 — x^)(x + 2))5; 6) 3 7) ( x + 12 — x^29 . 7) 1 x2 — 9 ) ; 8) \7x+21/ 2 33 4 — 3x — x2 \i0 x2 + 4 x 1.195°. Функция задана формулой y = xn. Найдите n, если известно, что график функции проходит через точку: 1) Л(7; 49); 2) 5(13; 169); 3) С(144; 12); 4) 5(81; 9); 5) М(-64; -4); 6) ^(-216; -6); 7) 5(625; 5); 8) 5(1024; 4); 9) 7’(-243; -3). 1.196°. Укажите промежутки возрастания и убывания функции: 1) У = x9; 34 4) У = x11 13 — V 3 • 2) У = x2015; 3) У = x 9 2 5) У = x14; 6) У = x7. 1.197. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 2 f (x) = -5 x3 на промежутке: 1) [0; 8]; 2) [1; 27]; 3) [0,001; 125]; 4) [0,008; 1000]. Правообладатель Народная асвета 9 4 76 1.198. Укажите координаты точек пересечения графиков функций: 1) у = 4 X и у = x4 _______ 4 3) у = 9X + 1 и у = (х + 1)9 2) у = 7X и у = X7 ; 4) у = 9X — 2 и у = X3 1.199. Докажите, что функция/является нечетной: 1) /(X) = X5 + X7; 2) /(X) = X9 — X3; 3) /(X) = (X3 — 3X)13; 4) /(X) = (5X11 + 0,1x)99. 1.200. Докажите, что функция/является четной: 1) /(X) = X6 — 13X12; 2) /(X) = 0,7×4 + X2; 3) /(X) = (X22 — 4)10; 4) /(X) = (х66 + 8)100; 5) /(x) = ^X + X^ )0,25; 6) /(x) = ( X^ -1 + X9 j’ Изобразите (схематично) график функции (1.201 —1.205). 1.201. 1 1) у = X3; 2) у ■ = X0,3; 3) у = = X4; 8 5 4) у = X100; 5) у = X5; 6) у — = X 8. sin — cos — tg -П 1.202. 1) у = X 3; 2) у = X 4; 3) у = X 6; 5 п cos — ctg/^ sin^Sn 4) у = X 3 ; 5) у = X 3 ; 6) у = X 6 . 2 1 15 1.203. 1) у = X5 + 2; 2) у = X2 -1; 3) у = X2 — 3; 4) у = X1,2 + 1; 5) у = X9 — 2; 6) у = X20 + 3. 19 33 1.204. 1) у = (X -1)3; 2) у = (X + 1)7 ; 3) у = (х + 2)17 _5_ 22 4) у = (X — 2)26; 5) у = (X + 3)14; 6) у = (X — 3)23 1.205. 1) у = (X + 2)12 — 1; о 2) у = (X — 3)19 + 1; п 2 3) у = (X + 1)3 + 2; 4) у = (X — ■2)22 — 2; 29 35 5) у = (X + 3)7 — 3; 6) у = (X — ■1)11 + 3. 1.206. Используя изображение графика функции в каждом из упражнений 1.201 — 1.205, укажите для нее: Правообладатель Народная асвета 3 4 2 77 а) область определения; б) множество (область) значений; в) при каких значениях х значения у положительны (отрицательны); г) координаты точек пересечения графика с осями координат. 1.207*. Изобразите (схематично) график функции и укажите для нее: а) область определения; б) множество (область) значений; в) промежутки возрастания и убывания: 1 3 5 1) у = X 3; 2) у = X 13 ; 3) у = X 4 ; 18 12 24 4) у = X7; 5) у = |x — 117 ; 6) у = X + 129 31 34 7) у = x + 2 3 ; 8) у = X — 2 7 9) у = |1 — х| 10 + 2; 10) у = |3 — х|20 — 2; , ,10 , ,25 11) у = |1 + X 7 + 4; 12) у = |2 + X 9 — 4. Решите уравнение (1.208—1.210). 19 12 1.208. 1) X5 • X5 — 7X3 • X3 + 12 = 0; _1 11 _2 J_ 2) X10 • X10 — 11X10 • X10 + 30 = 0; 1 23 3) X12 • X12 — ЦX^ — 24 = 0; X 19 / 8\| 4) X13 • X13 + 4(x7 ) — 5 = 0; X _5_ 5) ^X3>4 + 3X12 • X12 + 2 = 0; / i\4″5 _1 11 6) (X9 ) + 9X17 • X17 + 18 = 0. 2 1 1.209°. 1) X3 • X3 = 5; 5 4 3) X9 • X9 = 0; 4 3 2) X7 • X7 = 4; X 4 4) X11 • X11 = -3; Правообладатель Народная асвета 78 / i\57 / 1 \72 5) (х19 j = 27; 6) (х24 ) = 64; / ^\42 7) iх17 j = 9; 8) (х21) = 100; / 1 \35 / 1\18 9) (х7) = 243; 10) (х2) = 512. 1 1) (х — 3)2 = 4; 1 2) (х + 2)3 = 3; 6 7 3) (х -1)5 =-2; 4) (х + 4)6 = -4; 5) (х2 — 2х + 1)3,5 = 1; 6) (х2 + 6х + 9)5,5 = 0; 7) (х2 — 2х + 3)0,9 = -1; 8) (х2 — 5х + 6)9,7 = -2 1.211*. Решите неравенство: 1) (х7) 4; 6) (х34 ) > 64. 1.12. Степенная функция (показатель отрицательный) В предыдущих классах мы изучали функцию у = (или у = х^1). Эта функция является частным случаем степенной функции у = хг, где r е Z, r 0) на промежутке (0; +^); т. е. график функции расположен в I и III координатных углах. Правообладатель Народная асвета 80 7. Функция нечетная; график функции симметричен относительно начала координат. 8. Функция является убывающей на промежутке (-^; 0) и убывающей на промежутке (0; +^). 9. Функция не является периодической. В справедливости этих свойств убедитесь, используя схематичное изображение графика функции у = Х’, где r = -2k + 1, k е N, на рисунке 15. ш Заметим, что утверждение функция у = Х, где r = -2k + 1, k е N, убывает на всей области определения — неверно (поясните почему). Рис. 15 2. Функция у = X’, где r = -2k, k е N Естественная область определения выражения x^2k — множество всех действительных чисел, кроме нуля, т. е. х Ф 0. Другими словами, областью определения функции у = X, где r = -2k, k е N, будет множество (-^; 0) U (0; +^). Назовем свойства функции у = xr, где r= -2k, k е N. Они устанавливаются так же, как свойства функции у = х^2, т. е. у = -Х-. х Для сравнения графики функций у = х^2 и у = х^4 изображены на рисунке 16. Теорема (о свойствах функции у = хг, где r = -2k, k е N) 1. Областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме нуля, т. е. х Ф 0. 2. Множеством (областью) значений функции является промежуток (0; +^). 3. Наименьшего и наибольшего значений функция не имеет. 4. График функции не пересекает координатных осей. 5. Функция не имеет нулей. 6. Функция принимает положительные значения (у > 0) на всей области определения (-^; 0) U (0; +^), т. е. график функции расположен в I и II координатных углах. Правообладатель Народная асвета Рис. 16 7. Функция четная; график функции симметричен относительно оси ординат. 8. Функция возрастающая на промежутке (-^; 0) и убывающая на промежутке (0; +^). 9. Функция не является периодической. свойств, используя схематично бражение графика функции у = X, где r = -2k, k е N, на рисунке 17. Пр имер. Сравнив изображения графиков функций у = X, где r = -2k + 1, k е N, и у = X, где r = -2k, k е N (см. рис. 15, 17), указать, на каком из множеств обе функции: а) возрастают; б) имеют значения разных знаков; в) убывают; г) принимают положительные значения; д) принимают равные значения. Ответ: а) нет таких промежутков; б) (-^; 0); в) (0; +^); г) (0; +^); д) 27. 1.13. Иррациональные уравнения В этом пункте мы будем рассматривать уравнения, содержащие переменную (неизвестное) под знаком корня (радикала). Такие уравнения называют иррациональными. Напомним на примерах два из возможных подходов к решению иррациональных уравнений (другие подходы будут рассмотрены в п. 1.14). Первый подход состоит в замене исходного уравнения равносильным ему уравнением (системой или совокупностью уравнений и неравенств). Поскольку все равносильные уравнения имеют одни и те же решения, то при этом подходе проверка полученных значений переменной по условию исходного уравнения не является необходимой частью решения. Например, при решении иррациональных уравнений часто пользуются следующими утверждениями о равносильности: [f (х) = (х), [g(х) > 0; [ f (х) = g (х), If (х) > 0 (вместо неравенства f(х) > 0 можно записать g (х) > 0). Второй подход состоит в замене исходного уравнения его следствием. Поскольку решений в уравнении-следствии (системе или совокупности) может быть больше, чем в исходном уравнении, то необходимой частью процесса решения является проверка полученных значений переменной по условию исходного уравнения. Переход к следствию из данного уравнения при оформлении записи решения можно обозначать символом «^». Пример 1. Решить уравнение: а) 4х^ + х^ — х — 6 = х; б) 3х^ — х3 — х — 6 = -х. 1) x/f (х) = g(х) ^ 2) 4f (х) =’^g(х) ^ Правообладатель Народная асвета 88 Решение. Способ 1 <сохранение равносильности). (х >0, i) 4х^ + х^ — х — 6 = х ^ х > 0, 4 2 п 4 х + х — х — 6 = х х = 3. [ <х = -2 или х = 3) б) 4х^ - х^ - х - 6 = -х ^ х^ - х^ - х - 6 = -х^ ^ ^ (х = -2 или х = 3). Ответ: а) 3; б) -2; 3. Для уравнения а) покажем решение способом 2 <использование уравнения-следствия): 4I 4 2 г>4 2 п 4 ^х + х — х — 6 = х ^ х + х — х — 6 = х ^ ^ (х = -2 или х = 3). Проверка: при х = -2 получим 416 + 4 + 2 — 6 =-2, т. е. 4Т6 = -2 — неверное числовое равенство, значит, число -2 не является корнем уравнения а); при х = 3 получим 481 + 9 — 3 — 6 = 3, т. е. ^^ВТ = 3 — верное числовое равенство, значит, число 3 — корень уравнения а). Пример 2. Решить уравнение %/6 — х -\/х — 1 = 1. Решение. Способ 1 (сохранение равносильности). л/6 — х -^х — 1 = 1 ^ 1 + sjх -1 = \16 — х ^ при любых допустимых значениях х обе части уравнения неотрицательны, поэтому, возведя их в квадрат, получим равносильное » уравнение ^ (1 + \1 х -1 )2 = [\]6 — х )2 ^ 4х — 1 = 3 — х ^ Гх — 1 = (3 — х)2, [х2 — 7х + 10 = 0, [3 — х > 0 [х ^ [\1 x -1) = (3 — x)2 ^ x -1 = 9 + x^ — 6x ^ x^ — 7x + 10 = 0 ^ « (x = 2 или x = 5). Проверка: x = 2 удовлетворяет исходному уравнению, а x = 5 не удовлетворяет (убедитесь в этом). 61 2 31 2 Пример 3. Решить уравнение Vx — x — 2 • 3x — 5x = 0. Решение. Способ 1 (сохранение равносильности). 6x^ — x — 2 • 3x^ — 5x = 0 ^ (x^ — x — 2 = 0 или | ’ ^. \ [x^ — x — 2 > 0/ Решив это уравнение и систему, получим x1 = -1, x2 = 2, x3 = 5. Ответ: -1; 2; 5. Способ 2 (использование уравнения-следствия). Зх^ — X — 2 • Зх^ — 5х = о ^ ^ (x^ — x — 2 = 0 или x^ — 5x = 0) ^ « (x = -1 или x = 2 или x = 0 или x = 5). Проверка по условию исходного уравнения показывает, что 0 не является его корнем, так как при x = 0 выражение 6x — x — 2 равно Ц-2 и не имеет смысла. А числа -1; 2; 5 — являются корнями заданного в условии уравнения. А Пр имер 4. Решить уравнение с неизвестным x; \fa-x = a — x. Решение. Имеем (объясните почему): у/а — x = a — x a — x = (a — x)2 ^ (x = a или x = a — 1). Ответ: при любом значении a имеем x1 = a — 1, x2 = a. Пр имер 5. Решить уравнение Vx = ax относительно x. Правообладатель Народная асвета 90 Решение. Очевидно, что х = 0 — корень уравнения \fx = ах при любом значении а. При х > 0 уравнение л/х = ах равносильно уравнению ^[х. = 1. Если а 0, то х ^ а Ответ: если а 0, то х1 = 0, х2 = ^^. А 1. Что значит решить уравнение с одной переменной? 2. Какие уравнения называются равносильными? 3. Какое уравнение называется следствием данного уравнения? Упражнения Решите уравнение (1.233—1.246). 1.233°. 1) V12 — х + 5 = 0; 3) л/х -1 х + 1 = 0; 5) Тх^ТГ = -1; 7) 415 + 6х = -6; 1) 4х^ + х^ + 5х -14 = х; 2) 4х^ + х^ — 4х -12 = х; 3) 3-х^ + х^ + 8х — 9 = -х; 4) 3-х3 + х2 + 2х -15 = -х; 5) 3-32х® — х^ — 2х + 24 = -2х; 6) 3-243х® — х^ + 5х + 24 = -3х 2) ч/б + х + 1 = 0; 4) ч/3 — 2х х + 4 = 0; 6) 7х^ + 25 = -4; 8) 421 — 3х = -4. 1.234° 1.235°. 1) ч/5 + 2х = 3; 3) \1х^ + 19 = 10; 5) 46х + 1 = -5; 7) 3х^ — 32 = 2; 1.236°. 1) 44х^ + 5х + 4 = 2; 3) 3х^ + 4х — 50 = 3; 2) 43х + 7 = 4; 4) 4S1 — х^ = 5; 6) 3х — 3 = -2; 8) 4х^ — 44 = 3. 2) ч/и — 5х^ + 3х = 3; 4) 3х^ + 14х -16 = -4. Правообладатель Народная асвета 91 1.237. 1) Vl1 — 3x + 7 = 3; 2) 85 + 3x + 3 = 3; 3) 324 + 5 = 3; 4) 818 — 3x + 10 = 4; 5) \/l + + 4x + 6 = 2; 6) 35 + 3x^ + 14x -16 = 1.238. 1) yjx + 2 =y/2x — 5; 2) 85x -1 = у/3x + 19; 3) Vx — 4 = \Jx^ — 5x + 1; 4) \/x -1 = \lx^ — 4x + 5; 5) 8x^ — 36 = 82x -1; 6) 10x^ -16 = ^08 — 5x. 1.239. 1) Vx+2 = x; 3) \\x + 6 = -x; 5) 87 — x = x -1; 2) y/x + 6 = x; 4) y/x + 2 = -x; 6) 85x + 1 = 1 — x; 7) 84 + 2x — x^ = x — 2; 8) 86 — 4x — x^ = x + 4. 1.240. 1) sjx^ — x -14 = x + 2; 2) 84x^ + 7x + 2 = 2x -1; 3) 8x^ — 9x^ + 28x — 27 = x -: 4) 3x^ + 6x^ — 4x + 8 = x + 2. 3; 1.241. 1) \]x^ +\/x + 2 = x + 1; 2) \jx^ +\/5x + 19 = x + 3; 3) 3x^ — 6x^ + Wx + 14 = x — 2; 4) 3x^ + 3x^ -\l5 -10x = x + 1. 1.242. 1) 82x + 5 Wx -1 = 8; 2) y/x + 3 3x — 2 = 7; 3) 3\/x + \/ 11x — 2 = 6; 5) \/x + 2 = \l3 — x + 3; 4) ^3x + 2 6x = 2; 6) y/x -13 8 + x — 3. 1.243. 1) (x^ + 5xb/x — 3 = 0; 2) (x^ + x) \lx -1 = 0; 3) (x^ — 4^x + 1 = 0; 4) (x^ -16^2 — x = 0; Правообладатель Народная асвета 92 5) (x^ — llx + 24Ь/ — 7 x + 10 = 0; 6) (x^ — 2x — 3) \lx^ + x — 6 = 0. 1.244. 1) 4x^ — x -12 • ^x^ + 2x = 0; 2) 8x^ — 7x -18 • ^43×2 + 18x = 0; 3) ^14 — x^ — 5x • 9x^ — 2x + 1 = 0; 4) 940^x4’-3x •13x^ — 4x + 16 = 0; 5) 3- 6x + 8 • 4+ 6x — 27 = 0; 6) 4x^ — x -12 •29×2 — 25 = 0. 1.245. 1) (x + 1)Vx2 — 6x + 17 = 3x + 3; 2) (x + 1^x2 + x — 2 = 2x + 2; 3) (x -1)9×2 — x — 6 = 6x — 6; 4) (x + 2)4×2 + 2x — 6 = 3x + 6. 1.246. 1) sfx — 3 = 2^x; 2) Vx + » — 6 = 0; 3) + ^x — 2 = 0; 4)9 — 8^x — ^x = 0; 5) 2^x + 5^x = 18; 6) 2^x = 3 — ^x. 1.247*. При каких значениях а имеет единственное решение уравнение: 1) 4x + a =4 4 — x; 3) 4x + 4 = a — 2; 5) 4x — a = 1 — x; 7) ^=a— = 2 ^[4; six — 2 2) 4a — x =47 + 2x; 4) 48 — x = a + 1; 6) 4a — x = 1 + x; 8) ^/x — 5 = 5 + s[x ? 1.248*. Решите уравнение с неизвестным х: 1) 4x — 4 = a; 2) 4x + 1 = -a; 3) a4x + 2 = 0; 4) (x — a)4x — 3 = 0; 5) (x + \)sfx—a = 0; 6) 4×4 x — a = 0; 7) sjx — 2 = 0; 8) = 0. ^x + a Правообладатель Народная асвета a 93 1.14. Решение иррациональных уравнений с использованием свойств функций Уточним определение уравнения с одной переменной, данное в предыдущих классах. Пусть / и g — функции от переменной х, D — множество всех значений переменной х, при которых определены обе эти функции. Равенство /(х) = g(x) называется уравнением с переменной х, а множество D — областью определения этого уравнения (или областью допустимых значений переменной). Переменную в уравнении называют также неизвестным. Корнем или решением уравнения /(х) = g(x) называется такое число с е D, при котором /(с) = g(c) — верное числовое равенство. Теорема. Уравнение /(х) = g(x), (1) где / — возрастающая и g — убывающая функции, определенные на одном и том же множестве, имеет не более одного корня, т. е. либо вообще не имеет корней, либо имеет единственный корень. (Действительно, на рисунке 20, а, б видно, что графики возрастающей функции / и убывающей функции g пересекаются на области определения не более чем в одной точке.) Правообладатель Народная асвета 94 А Доказательство. Пусть х0 — корень уравнения (1), т. е. f( Хо) = g(xo) — верное числовое равенство. Если х х0 не является корнем уравнения (1). S А Замечание. Эта теорема справедлива и тогда, когда одна функция возрастающая (убывающая), а другая постоянная. Приведем несколько примеров, где при решении иррациональных уравнений используются свойства возрастания и убывания функций. Пр имер 1. Решить уравнение %/2х — 1 = 4 — 3х. Решение. Способ 1. Подбором находим, что х = 1 является корнем данного уравнения. Действительно, ,,J2 • 1 -1 = 4 — 3 • 1 — верное числовое равенство. Так как функция f (х) = \]2х — 1 возрастающая, а функция g(х) = 4 — 3х убывающая, то согласно теореме х = 1 — единственный корень данного уравнения. Ответ: 1. Способ 2. Возможно и другое решение: л/2х -1 = 4 — 3х ^ V2х -1 + 3х = 4. Так как функция h(х) = + 3х возрастающая, то (см. за- мечание) уравнение h(x) = 4 имеет не более одного решения. Подбором находим корень х = 1. Пример 2. Решить уравнение 1°9 — 4х = ^^2х — 3. Решение. Подбором находим, что число 2 — корень данного уравнения, поскольку 1°9-^»»^»2 = ^2 • 2 — 3, т. е. 1 = 1 — верное числовое равенство. Других корней уравнение не имеет, так как функция f (х) = 1°9 — 4х является убывающей, а функция g(х) = lj2х — 3 — возрастающей. Ответ: 2. Правообладатель Народная асвета 95 А Иногда при решении иррациональных (и других) уравнений бывает полезно предварительно найти область определения уравнения. Пример 3. Решить уравнение: а) (х + 7)^1 x + 5 = (5 — 2x)(x + 7); (2) б) (х + 7)\/5 — х = (9 — 2х)(х + 7). (3) Решение. а) Значение х = -7 не принадлежит области определения уравнения (2), поскольку при этом значении выражение \/х + 5 не имеет смысла. Поэтому х + 7 ^ 0, и уравнение (2) равносильно уравнению \/х + 5 = 5 — 2х. (4) Решим это уравнение, переходя к уравнению-следствию: х + 5 = (5 — 2х)2, 5 л хг = J, х2 = 4. Проверка показывает, что корнем уравнения (4) (а значит, и уравнения (2)) является значение х = -4. б) Очевидно, что значение х = -7 обращает уравнение (3) в верное числовое равенство и принадлежит области определения уравнения (3) — множеству D = (-^; 5]. Значит, х = -7 — корень уравнения (3). При х ^ -7 уравнение (3) равносильно уравнению \/5 — х = 9 — 2х. Решая это уравнение, получаем: (5) л/5 — х = 9 — 2 х ^ |5 — х = (9 — 2 х)2, [9 — 2 х > 0 I ^х = 4 или х = 4-4j, ^ х = 4. [х 0 или 45 — x = 9 — 2 ^ ^ fx = -7, [5 — x = (9 — 2x)2 ! или 0 I ^x = 4 или x = 4-3j, ^ I x = -7 или |x 0, а функция g(x) = 68x — 2x^ + 3x определена для значений x, удовлетворяющих неравенству 8x — 2×2 > 0, то область определения данного уравнения совпадает со множеством решений системы неравенств fx^ — 16 > 0, [8x — 2x^ > 0. Решая эту систему, получаем равносильную ей систему: fx^ > 16, [2x(x — 4) 4), |0 0, \х ^ 7, « i _ 1 « X е 0. 1 — 2 X > 0 IX 0, т. е. D = [-2; 2]. Очевидно, что функция f (x) = 736 W4 — X^ имеет наибольшее значение л/38 при X = 0. Таким образом, при любых значениях X е [-2; 2] верно неравенство f (x) ^yfSS, а 438 — 1; б) ^3x + 8 > — 6. Решение. а) Учитывая свойства корня нечетной степени, получаем: lj2X — 5 > — 1 « 2X — 5 > (-1)7 « X > 2. б) По определению корня четной степени значения выражения 43 X + 8 неотрицательны при всех значениях х, при которых это выражение имеет смысл, т. е. когда значения подкоренного выражения неотрицательны. Таким образом, имеем: 43 X + 8 > — 6 « 3 X + 8 > 0 « X > -2—. Ответ: а) (2; +^); б) [-22; +^). Пример 2. Решить неравенство: а) ^011 — 4X 0, ^21 — 2 X 20 « 10 0 « х > -1,5. Таким образом, D (f) = [-1,5; + ^). Найдем нули функции f, т. е. корни уравнения f (х) = 0: f (х) = 0 « V2 х + 3 + 2 х — 3 = 0 « л/2х + 3 = 3 — 2 х « « 2х + 3 = (3 — 2х)2 « 2х2 — 7х + 3 = 0 « (х = 0,5 или х = 3). Проверка: f (0,5) = у]2 • 0,5 + 3 + 2 • 0,5 — 3 = 0; f (3) ^2 • 3 + 3 + 2 • 3 — 3 = 6. Значит, 0,5 — единственный нуль функции f. Отметим нуль функции f на области определения D(f) (рис. 22). Определим знаки значений функции f на образовавшихся интервалах, для чего вычислим: D 0: х е (0,5; +^). Ответ: (0,5; +^). А При решении иррациональных неравенств часто используются следующие утверждения о равносильности неравенств и систем неравенств: 2 f (х) 0, g(х) > 0; (1) Правообладатель Народная асвета 102 (\gix) > 0- jg(x) g=(x) I/(x) . 0 ^ Решим пример 3, используя равносильность (1): (2) л/2x + 3 0, 3 — 2 x > 0 2x + 3 0, « I x > -1,5, x 0, « I x > -1,5, x 3, « I x > -1,5, « x 3 — 2 x [3 — 2x > 0, 12x + 3 > (3 — 2x) 3 — 2x 0 fx 1,5, « ^ ^ „ или I I « 12×2 — 7x + 3 -1,5/ / fx 1,5 « x > 0,5. Ц0,5 0; ff (x) > g(x), Ig(x) > 0. Аналогичные утверждения можно записать и для неравенств Vf(x) ^g(x), TfCx) >yjg(x). A л/f (x) g(x) « Vf (x) 5/g(x) « (3) (4) Правообладатель Народная асвета 103 1. Какие неравенства называются иррациональными? 2. Опишите подходы к решению неравенств вида: а) 4f (x) > 5; б) (x) g(x); в) 47(x) ^g(x); г) TfCx) >yjg(x). Упражнения Решите неравенство (1.258— 1.258°. 1) Vx -1 > 2; 3) Vx -1 -2; 7) Vx -1 0; 8) -Jx2 > 9; 1.260°. 1) yjx^ + x — 2 1.261°. 1) V2 -^fx > 1; 3) 3; 4) Vx + 2 -3; 8) Vx + 2 0; 2) Vx^ — 5x + 4 -2 2) Va^Zx > 2; 4) 0; 2) 5) 8) \fx + 5 y/x — 1 yfx — 10 2 ^ \/

x yfx + 4 \[x > 0; 0; 6) 6 -yfx y/x + 2 3 — y/x > 0; 2) (x — 2)sfx 0; Правообладатель Народная асвета 104 5) (x — 1)\fx 0; 6) (x — 2)\fx 0. 1.264. 1) (x + 10Ь/x — 4 0; 8) (x + 1)^(x + 4)(x + 7) slx -1; 3) Vx + 3 > V1 — x; 5) V3 — 7x > V6x — 8; 7) V5 — x x + 1; 1.266*. 1) Vx — 3 x; 5) V5x — x^ > x — 2; 7) \/10 — x^ > 3x; 2) л/x — 2 > V3 — x; 4) V5x + 7 2 — 3x; 6) л/5 — 2x ^y3x — 9; 8) л/8 — x > Vx + 2. 2) Vx — 2 > x; 4) л/x + 6 > x; 6) ^5x — x^ 0. Сделаем это сначала для основания a > 1. Пусть S — иррациональное число. Возьмем такие рациональные числа r и t, что r 1. Степенью числа a с иррациональным показателем s называется такое число b, что 0 и b > 0 при любых действительных s и t верны равенства: (1) (2) a (a» )t = as; (3) (ab)^ = asbs; (4) a’d = a»+t; ^ = as -1; (5) Пр имер 1. Расположить в порядке убывания числа: п а) 0,633 ; 0,633,5; 0,63/**; б) И,?1,4; И,?1,7; 11,72. Решение. а) Сравним числа 3; 3,5 и VTT. Поскольку 3 = , 3,5 = ^ 12,25, а V9 ^/TT ^ 12,25 , то 3 ^/TT 1 будут верны и неравенства 43 1; б) 0 2; е) любое иррациональное число. 3. Сформулируйте теорему о действиях над степенями с произвольными действительными показателями. Упражнения 2.1°. Расположите в порядке возрастания числа: 1) 0,71,5; 0,72; 1 0,7^ ; 0,70,2; 2) 3,42,7; З,^5 ; 3,4 3; 3,42,2; 3) 4,12,2; 4,Г^^ ; 4,1 3,5; 4,13; 4) 0,21,7; 0,^3 ; 0,2 3,9; 0,21,5; 1 2 ч/3 5) (:г)-3 ; 2-0,5; 43; 86 ; 1 1 6) W5)- 2; 53; 25^ 6; (тк 2.2°. Пользуясь определением степени с иррациональным показателем, запишите по три верных двойных неравенства для as, если: 1) а = 3; s = л/2; 2) а = 0,7; s = Т3; 3) а = 0,1; s = ; 5) а = arcsin-T; s = л/Б; 4) а = 5; s = ; с. \ V2 6) а = arccos — Сравните числа: П sin— [К 1) 2 3 и 2^3; t П 2) 4 3 и 4^; — ctg — 3) 3,5 6 и 1; — tg — 4) 1 и 0,8 6; tg — sin — 5) 3g4 и 3 4; ПП si^ — cos — 6) 7 4 и 7 6; ctg — 7) 0,1^2 и 0,11tg 0; ctg — ( 8) 0,17 4 и 0,17 Правообладатель Народная асвета ctgi 109 Упростите (2.4—2.9). 2.4 1) 43^’^ +1^2 • 9^^ ; 2) 45^^ +1^2 • 25^^ 3) ((^ r )^»; 4) ((3)^» f; 5) (Wa f; 6) (W2 f f; 7) 2^^ +1^2 • 4^. 8) 3^3 — 1)2 :(1J^^3. sin2 .П cos2 i / tg n \ctg «T- 1) 2 5 • 2 5; 2) (S»7) 7; 1 / 2sin — \cos 1 2tg n\1-tg2^ 3) (4 12) 12; 4) (0,5 8) 8; 2 П * 2 П co^^ — sin — 5) 5 6 :5 6; cos — 6)0,09 • 0,09 3 7) 0,04 : 0,04cos120°; cos 1 8)0,13 13 • 0,13 9) 49cos230°: 49sin230°. 10) |^162cos15°jsin15° 2.6. 1) 2) 3) 4) 2.7. 1) 3) 4) 5) 6) . 1 -J3 arcsi^ — arccos — can-oiii — — i /л / i \ 4 2.4 2 . 4arctg0; 4arccos(-i). i . ^/з 7 2.7 2 . yarctg 1 . yarcsin 1 + n . a 0,2 0,64arcsin(-2 )j » + (o,6arcctg(-l) )3n, ^arccos(-2)jn + (o,96arctg(-l) fn; 4 8 m — n + 1; [m^2 — n^2 )2 m2^8 — m-^8 — m8; m^8 n3^18 + n^18 ■ n^18 m^3 — n^3 2) 1 — + n ^ )2 m2’^ — n^3 ’ + n^/3 + 2^3 n/3 m^^ — n^5 + n^5 — 2m/5 m3 + n’^3 m — n Правообладатель Народная асвета 110 2.8*.1) 3) 5) 2.9. 1) 2) 3) 4) 5) 6) m2^6 + m-^6 n’^ + n^6 •J3 sf3 m + n 243 43 43 243 ’ 3 -; „,’12 1 — m’ 342 3 n 3 + n 3 . m’^^^ + m2’^ ; m^43 + mJ2 + 1 ; a’^ + 2 + — 2 — 2 + 16 + 2 a2^2 — 4 — 4 + + 4 64 + 4 — 4 a^7 — 16 2) 4) 6) mWIo + nWIo m^10 — m10^10 + n2^10 m^5 — nJ

5 243 43 43 243 ’ m 3 + m 3 n 3 + n 3 m^^ + 27 . m2-^ — 3m^ + 9 „■J7 ^7 — m^7 11 — a 42] a2^2 -1 a’^2 — 1Г — 3 a 42 +1 1 [2a-^ +1)2 1 — 4a 243 6 a 43 +1 _ -1 „4Ю J10 — 1 +40^ o’ 3 +1 1 + 20^’ )2 2, i J3 1 V a- ^3У*’ <^10 , \^J33 + ^10 ,'J3 - 21. 2.2. Показательная функция Рассмотрим выражение ax, где a — постоянная, a >0, a Ф 1, а x — переменная. Это выражение имеет смысл при любом действительном значении х, поэтому его естественной областью определения является множество всех действительных чисел. Определение. Показательной функцией называется функция вида у = ax, где a — постоянная, a > 0, a ф 1. Область определения показательной функции — это естественная область определения выражения ax, т. е. множество всех действительных чисел. Графики некоторых показательных функций при a > 1 изображены на рисунке 23, при 0 1 (рис. 27). Изобразим теперь график функции у = ^-3j . Для этого придадим несколько значений аргументу, вычислим соответствующие значения функции и внесем их в таблицу: x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 у 81 27 9 3 1 2 4 8 16 16 8 4 2 3 9 27 81 Вычислив приближенные значения у с точностью до 0,1, получим следующую таблицу: x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 у 5 3,4 2,3 1,5 1 0,7 0,4 0,3 0,2 Отметим точки (x; у) с указанными координатами на координатной плоскости Oxy (рис. 28) и соединим эти точки плавной непрерывной линией. Правообладатель Народная асвета 114 Полученную кривую можно рассматривать как изображение графика функции у = ^-3j (рис. 29). График функции у = ^-2-j расположен над осью Ox и пересекает ось Оу в точке (0; 1). Заметим еще, что когда значения аргумента x увеличиваются, то график этой функции «прижимается» к оси Ox, а когда значения аргумента x уменьшаются, то график «круто поднимается» вверх. Аналогично для любой функции у = ax при 0 0, a Ф 1) 1. Областью определения показательной функции является множество R всех действительных чисел. 2. Множеством (областью) значений показательной функции является интервал (0; +^). 3. Показательная функция наименьшего и наибольшего значений не имеет. 4. График показательной функции пересекается с осью ординат в точке (0; 1) и не пересекается с осью абсцисс. 5. Показательная функция не имеет нулей. 6. Показательная функция принимает положительные значения на всей области определения; все точки ее графика лежат выше оси Ox в I и II координатных углах. 7. Показательная функция не является ни четной, ни нечетной. 8. При a > 1 показательная функция возрастает на всей области определения. При 0 1 показательная функция возрастает, а на рисунке 30 видно, что при 0 1, то угол а, который образует такая касательная с осью Ох, острый. Например, если а = 2, то а « 38° 45° (рис. 31, б). Существует основание 2 30, т. е. 3х > 1. б) Поскольку 0,7 — положительное число меньше 1, то большему значению показателя sin х соответствует меньшее значение степени 0,7sin «. Значения выражения sin х при любых значениях х удовлетворяют неравенству -1 0, a Ф 1). 3. Как можно убедиться, что показательная функция с основанием 0 д : Рис. 32 Правообладатель Народная асвета x 121 Укажите (при a > 0) естественную область определения выражения, (2.24 —2.25). 2.24. 1) а^’^; 2) ; 3) ; 6 2 4 4) а^-’2 ; 5) а’2 +16; 6) а’2 — 9; 7) О^16-’2 ; 8) -64; 9) ^’-6-’2 2.25. 1) а*‘“ ’; 2) a=°s ’ + 1; 1 3) а «‘“2 ’ ; 4) а’ ; 5) a*g ’; 6) a=*g ’; 7) а’-1; 8) а ’ +1; 9) . Укажите наименьшее и наибольшее значения выражения (если они существуют) (2.26—2.28). 2.26. 1) 2’; 2) )’; 3)4’^; 4)i51;r 2.27*. 1) 5- 2sin ’; 2) 6 • 2cos ’; 3) 0,3sin2 ’ • 0,3cos2 ’; 4) 4,5sin2’ • 4,5cos2’; 5) 11sin2’ : 11ctg2’ ; 6) 7,4cos2’ : 7,4tg2″; 7) 6sin2 ’ • 6; 8) 4.4cos2 ’. 2.28*.1) 4’2-’-6; 2) 6’2-’-2; 3) 25’-6-’2; 4) 510-’2-3’ Решите неравенство (2.29— 2.30). 2.29. 1) 6’ > 0; 2) 6’ -2; 4) 6’ 1; 2) 3’ 1; 5) (‘gif)’ >1; 6) (ctg^)’ 1 и укажите ее свойства. Изобразите схематично график функции (2.35— 2.38). 2.35*.1) y = 2х ; 2) y = 4’х’; 3) y = |3-х |; 4) y = 5-‘х’; 5) y = — 0,5-х ; 6) y = -0,2’х1; 7) y = |3’х’|; 8) y = — 4’х1|. 2.36*.1) y = 3х -1 ; 2) y = 0,5х — 2 ч 3) y = 0,2х +1 — 2 ‘ ; 4) y = 2х-1 -1. 2.37*.1) y = 3’х’ + х; 2) y = 3’х1-х; 3) y = 3’х-2′ + ‘х +11 ; 4) y = 3|х- 1’ + ‘х +2|; 5) y = 3’х + 1|-‘х-2| ; 6) y = 3|х + 3’-‘х- 4|. 2.38*.1) y = 4х■ 4; / и 2х — 2 2) y = 9х-9-2) y 3х + 3; 3) y = 42 ^ + 4x 4x + 4 0 ’ 4) y = 32 x — 3x 3x — 30 Правообладатель Народная асвета 123 2.3. Показательные уравнения Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например: 3^ = 81; 8 • 2^ — 12^ + 5 • 2^+2 = 92; 9х + 5 • 6х + 64х = 0. Уравнения такого вида принято называть показательными. При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции. Следствие. Пусть a > 0, a Ф 1. Если степени с основанием a равны, то их показатели равны, т. е. если as = a‘, то s = t. Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунках 27, 30 видно, что каждому значению показательной функции у = as соответствует единственный показатель s. Доказательство этого следствия опирается на теорему из п. 2.2. Пример 1. Решить уравнение 32 х2 — 3 х + 5 = 3Х2 + 2 х — 1 Решение. Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению 2х2 — 3х + 5 = х2 + 2х — 1, откуда х1 = 2; х2 = 3. Ответ: 2; 3. Пример 2. Решить уравнение: 3 а) 27^/э)2х-4 = 812^; б) 4^2^ = 0,25х’ +5х. Решение. а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению 6 3х +1 = 3х. Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели: х + 1 = ^. х Решив это уравнение, получим х1 = -3, х2 = 2. Правообладатель Народная асвета 124 б) ^32^ = 0,25×2 +5x ^ 2 4 = 2-2(x2 +5x) ^ ^4^ = -2-10x ^ ^ 8x^ + 45x = 0 ^ x(8x + 45) = 0 ^ ^ ^x = 0 или x = -^45j. Ответ: а) -3; 2; б) 0; — ^45. [г А I При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе I i I части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней. Пример 3. Решить уравнение: а) 8 • 23x -1 — 23x + 5 • 23x+2 = 92; б) 3x = 5x. Решение. а) Данное уравнение равносильно уравнению 23x -1 ^8 — 23x -(3x -1) + 5,2Зx + 2 -(3x -1) ^ = 92 Решая его, получаем: 23x — 1(8 — 2 + 5 • 23) = 92; 23x — 1 • 46 = 92; 23x — 1 = 2. Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. 3x — 1 = 1, откуда находим x = -3. б) Разделив обе части уравнения на 5х > 0, получим уравнение ^j = 1, равносильное данному. Решив его, получим ^j ^, т. е. х = 0. Ответ: а) -2-; б) 0. При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной. Пример 4. Решить уравнение 9x — 12 • 3x + 27 = 0. Решение. Обозначим 3x = t, тогда 9x = t2. Таким образом, из данного уравнения получаем t2 — 12t + 27 = 0, откуда находим: t = 3 или t = 9. Итак, с учетом обозначения имеем: Правообладатель Народная асвета 125 ш 3^ = 3 или 3^ = 9; X = 1 или X = 2. Ответ: 1; 2. При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной. Пример 5. Решить уравнение 32 + 2х = 16 — 3х. Решение. Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14). Ответ: 2. Пример 6. Решить уравнение 6х — 81 • 2х — 8 • 3х + 648 = 0. Решение. 3х • 2х — 81 • 2х — 8 • 3х + 648 = 0 « « 2х(3х — 81) — 8(3х — 81) = 0 « « (3х — 81)(2х — 8) = 0 « « (3х — 81 = 0 или 2х — 8 = 0) « « (3х = 34 или 2х = 23) « « (х = 4 или х = 3). корнем уравнения Ответ: 3; 4. Пример 7. При каком значении а 31 + х — х = 3а — 8 является число, равное 2? Решение. Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство 31 + 2 — 22 = 3а — 8, т. е. 3-1 = 3а — 8. Решив это уравнение, найдем а = 7. Ответ: при а = 7. 1. Сформулируйте следствие из равенства степеней с положительными отличными от 1 основаниями. 2. Приведите примеры показательных уравнений. 3. Опишите способ решения уравнения вида а > 0, а Ф 1. 4. Опишите способ решения уравнения вида 216 • 6^(х) = (^3^^^(х) а!(х) = а^(х) при Правообладатель Народная асвета х 126 5. Опишите способ решения уравнения вида 13 • 6^^х^ = 7 • 6^ 1. Если > а\ то s > t. Пусть 0 а‘, то s 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0 0,2s1 -х. Решение. Данное неравенство равносильно неравенству 0,52х-3 > 0,52(1 -х). Поскольку из двух степеней с одинаковым основанием 0,5 больше та, показатель которой меньше, то имеем 2X — 3 0 при любых значениях х. Ответ: нет решений. Пример 4. Решить неравенство 7 • 4х +1 + 5 • 22х х2 > 0, 0 0, то t > —5 при любых значениях х. Остается решить второе неравенство системы: Получим: 75х1- 3 ^ 7. 51Х — 3 16. Ответ: при m > 16. А У/////////////Ш, 10 А+т X Рис. 33 1. Приведите примеры показательных неравенств. 2. Опишите способ решения неравенств вида: а) 0,375f(х) 0. Правообладатель Народная асвета 134 4. Опишите способ решения неравенства вида 13 • + 7 • 6f(x) + 1 (47)8f(x). Упражнения Решите неравенство (2.72—2.86). 1) 3x > 9; 2) 6x ) Uz 4; 5) (^)’ ^ 2; 6) 4x ^Гг; 4) (^)-* > ^^; 5)9-5 x ^ 2 x 6) 25-3 ■■ ^ 115; 4 x 7) 7 > 0,1; 8) 0,01 5 1; 2) 5×2-16 0,362; 5) 0,25—2 +3x 8; / 7\2×2 — 3x 9 7)( 9) > 7; 8) (if )■’- 3″‘ ^ 1. 1)3x* >(^)2■■-3; x2 2) 54 x+3 83 ; 5) 8 • 2×2-3x 3-1. 3 x2 -4 x ‘)‘25•(IT)_ 83x; 4) V27 • 3-‘ 1 -3 x 5) 25 • 0,042x > 0,2x(3-x); 6) 4 • 0,5x(x +3) 0; 2) / ^2 — 4х (^2) -1 1; 6) (1Т)х *3 «1. 1 — ^ 1 * 1 2.78. 1) (0,5) х > 8 • (0,5)х; 2) 2 х > 0,5 • 2х; х + 2 2 х — 3 3 3) (0,3)х-1 10х*1 3 х — 1 3 х — 4 5) (0,4) х +1 8; 8) (0,2) х 625; 2) 9х-^ 1; 2.80. 1) J-; 3) J1 ух2 + x-12 ^ 5х; 2.82*. 1) 5cosх > 1; 2) > 64; 4) 7’1х2 + х +1 1. 2.83*.1) 0,7sinх 6-т; 5) 4,5tgх ^6,; 2) 0,4cosх > ^3; 4) 7,4sinх ,2|; 8) 3,6tgх 17; 3) 32″ +2 — 32″ -1 > 78; 4) 53″ +1 — 53″-3 ^ 624; 5) 22″ -1 + 22″ — 2 + 22″ — 3 > 448; 6) 32″ — 2 + 32″ -1 — 32″ — 4 52; 9) 2″ — 1 + 2″ — 2 — 3 • 2″- 3 > 3 • 4′ 10) 3″ +3 + 3″ +2 — 2 • 3- » +1 0; 5) 52″ +1 + 4 • 5″ -1 3″ — 9; 2.86. 1) 0,04 4; 8) 9″ +1 — 3″ +3 > 3″ — 3. 2) ^6 0; 52 — 3″ -1 > 0, «2 — » — 6 2, [» + 8 5; f4″ -10 5. |33 — » > 9, [«2 — 2» — 3 > 0; «+3 -Т) — 2 > «• «2 — » — 20 ^1 ■ 2 о / ■^ \ 1 + cos X — 2cos2 — 2) 7,3s‘“ x-3 4,5c’ 3) (;l) 4) 0 07cos2 x — sin2 x — cos 2 x ^ ^ 1 1 jx 2.90*.1) При каких значениях а любое значение х, большее -1, является решением неравенства 5x+a > 125? 2) При каких значениях а любое значение х, меньшее 1, является решением неравенства 4x+a 0, a Ф 1) является множество всех положительных чисел. Значит, для любого положительного числа b найдется такое значение аргумента с, что ac = b. Такое значение аргумента единственное, так как если b = ac и b = ad, то по следствию из п. 2.3 верно равенство с = d. Это единственное значение аргумента с называют логарифмом числа b по основанию a и обозначают loga b, т. е. с = loga b. Таким образом, равенство с = loga b означает, что b = ac. Сформулируем определение логарифма еще раз. Определение. Пусть a > 0, a ф 1, b > 0. Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b. Правообладатель Народная асвета 4 138 Приведем несколько примеров: а) logg 125 = 3, так как 125 = 53; так как = 5 б) l0g5 = -3 в) logi^1r = 4, так как t1! =()4; г) log71 = 0, так как 1 = 70; д) logg (-9) не имеет смысла, так как значение выражения 9^ при любом значении х положительно и не может быть равно -9; е) по определению логарифма не имеют смысла и такие выражения, как log-2 4, log0 1, log1 3, log1 1, поскольку основанием логарифма должно быть положительное число, отличное от единицы. Нахождение логарифма числа называется логарифмированием. Обозначим log^ b = s. Тогда, согласно определению логарифма, верно равенство as = b, т. е. a’“g = b. Это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Согласно этому тождеству, например, имеем: 5iog5125 = 125; 5^5125 =^ log^^ ^ 1log1l11 125 ’ — 3 3 = 7log71 = 1 81 ш Основное логарифмическое тождество позволяет данное число b представить в виде степени с любым положительным основанием. Например: 17 = 3log317 = 0,11log01117 = () log 2 17 3 Логарифмы были изобретены в 1614 г. шотландским математиком Д. Непером (1550—1617) и независимо от него на 6 лет позднее швейцарским механиком и математиком И. Бюрги (1552 — 1632). Оба исследователя хотели найти новое удобное средство арифметических вычислений, но их определения логарифма различны и у обоих не похожи на современные. Понимание логарифма как показателя степени с данным основанием впервые появилось в XVIII в. в работах английского математика В. Гардинера (1742). Широкому распространению этого определения логарифма более других Правообладатель Народная асвета 139 содействовал Л. Эйлер, который впервые применил в этой связи и термин «основание». Термин «логарифм» принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов логос — отношение и арит-мос — число. Слово «логарифм», таким образом, означало «число отношения». Пример 1. а) Записать число л/3 в виде логарифмов по основанию 3; V7. б) Записать число -5 в виде логарифмов по основанию ^4 и X (х > 0; x ^ 1). Решение. а) По определению логарифма имеем: n/3 = 1сез3/3, V3 = 1og3 (^2) 3\J3 43 = io^7 [47 f. б) По определению логарифма имеем: -5 = 1ogi (^4) ®= 1ogi45 = 1ogi1024; 4 4 4 -5 = 1ogX X^® = 1ogX 31^. Пр имер 2. Между какими целыми числами находится число 1og2 17? Решение. Пусть 1og2 17 = p, тогда верно равенство 2р = 17. Поскольку 24 = 16 1: а) loga1 = 3; б) logaa = 1. Упражнени я . В какую степень нужно возвести число 10, чтобы число: 1) 100; 2) 10 000; 3) 1000; 4) 10; 5) 1; 6) 0,1; 7) 0,001; 8) 10000; 9)тт-; 10) ТГС; 11)flf; 12) 7100′ Правообладатель Народная асвета 141 2.92°. Запишите равенство с помощью логарифма по образцу 7-2 = :49’ т. е. -2 = log7:49: 1) 23 = 8; 2) 34 = 81; 1 3) 103 = 1000; 1 4) 643 = 4; 5) 31 = 3; 6) 60 = 1; 7) 0,112 = 0,0121; 8) 2,12 = 4,41; 9) (IF )-4=16; 10) )-3=27; 11) (13 )-1=13; 12) (10 )-1= 2.93°. Представьте числа 0; -1; 1;-2; 2; -0,3; 0,3; -42; 42 в виде логарифма по основанию: 1) 7; 2) 5; 3) :4; 4) » 6’ 5) 0,11; 6) 0,2; 7) 2,5; 8) 1,3. Представьте в виде логарифмов с основаниями 0, (х > 0; x ^ 1); х — 2 (х > 2; х ^ 3); т2 (т Ф 0; ^ ^ 1) -2; 2) -3; 3) -1; 4) -1; 5) 3; 9) .2; 6) 2; 10) з^; 7) 7) 3; 11) 0; 8) 1; 12) 10. Найдите логарифм числа по основанию 3: 1) 9; 2) 1; 3) ^; 4) —; » 81’ 5) ir; 6) 43; 7) ¥9; 8) 3^. Найдите число, логарифм которого по основанию 1) 0; 2) 1; 3) -1; 4) -3; 5) 2; 6) 3; 7) 7) 2; 8) ^. Найдите а, если log 1 а 16 равен: 1) 1; 2) 2; 3) 4; 4) -4; 5) -1; 6) -2; 7) -7) 2; 8) ^. Правообладатель Народная асвета 142 Вычислите (2.98—2.105). 2.98°. 1) log216; 4) log2l; 7) log2^14; 2.99°. 1) log3 81; 4) log3l; 7) log3 243; 2.100°. 1) log^4; 2 4) logi:2; 2 2 7) logi 128; 2.101. 1)log6sin-|; 2) log2 2; 5) log2:1; 8) log2 5^; 2) log3 27; 5) l°g3i1; 8) log3^k; 2) log11; 2 5) log1 ^2; 8) log1^2; 3) log2 64; 6) log2^1; 9) log2 (2^2). 3) log3:1; 6) log3 3; 9) log3 (3^^). 3) log10,125; 2 6) log132; 2 1 9) log1 1 22Г2- 2) log4sin-|; 3) log0.25Cos;|; 5) log1tg^43n; 3 7) log3ctg(-150°); 4) log1cos^n; 8 6) log0,5 ctg^4^; 8) log1tg(-120°). 2.102. 1) log,^2tg34n_ 8cosin; 2) lo^^V^^+^n^; 3) log^6sin^6n + 2cos^3^; 4) log^4sin1|n- 2cos^6n 2.103°. 1) 3‘°gз18; 2) 5^°g510; 3) 10^°glo1 ; 4) 4l°g48; 5) 2^°g21; 6) 12^°gl2100 • , ^^°gl6 / Ч ^‘°g3 IT 7) 7^°g77; 8) (:r) ‘ ; 9)(t6 ) 16 2.104. 1) (2^°g25)2; 2) (6^°g62 )4; 3) 25^°g53; Правообладатель Народная асвета 2 3 143 4) 4l°g26; 7) 27- l°g32; 2.105. 1) 22 + ‘°g25; 4) 251 — ‘°g2s15- 5) 3-‘°g33; 8) (1 )‘0g2^-Ms/ ’ 6) 4- 10g416 ; 9) 1 \log510 125/ 2) 32 + iog310- 5) 5 • 3‘°g34-1; 8) (8)‘“g25 *1; 7) 27l°g36 -1 • 2.106. Найдите значение выражения: 1) log1 (log3 27); 3 3) log2 (logs8^); 5) log3(3log2 8); 3) 52-log510; 6) 4 • 5log510 — 2; 9) -2 100/ 1 2) log3 (log1 ^); 4) log4 (log^s/s!) 7) log6(3log2 4)3; 2.107. Вычислите: 1) 2log525 + 3log2 64; 3) 2log2^4 _ 3log127; 6) log3(3log3 27); 8) lg(5lg100)2. 2) 4log6 216 _ 2log0,5 8; 4) 5log1 625 + 8log41; 5) log4log16 256 + log4 2; 7) I •(log381 + 16log23 )l°g8525; 8) 1 •( lg10 + 9log37 )l°g5°3; 9) 3log2:4 + log35; 10) 9log92 + log5215. Решите уравнение (2.108—2.110). 2.108 6) log2log4 16 + log12; 2 1) log3 ^ = 3; 2) IgX = 1; 3) log5 X = 1; 4) IgX = 0; 5) log4 X = 2; 6) log7 X = _2; 7) IgX = _1; 8) log0,1 X = _2; 9) log8 X = _,3, 1) log X16 = 2; 2) logX 5 = _1; 3) logX 81 = _4; 4) log X <2s[2) = ^2; 5) logX 64 = 6; 6) log X 36 = _2; 7) log X ^ = _3; 8) log X = )2; 9) logX 1 = 2; 10) logX 16 = 4; 11) log X1 = _3; 12) log X ^ = _1 Правообладатель Народная асвета 5 144 2.110. 1) 4X = 5; 2) 6X = 2; 3) 5 4) (^1)'+1 = 6; 5) 7X +1 = 3X; 6) 8 7) (i1)'-1 = 5X; 8) 2X -' = (i5)X; 9) 3' X - 1 - 2 = 8; = 10X; / о \ X + 1 2.111. Имеет ли смысл выражение: 1) log2 (3 - ^/2); 2) log4 (5 - ^/2); 3) log2^/б4; 4) log3-Л^8; 5) log. п (п-1); 6) logcos2 п (4 -п); sin — 2 7) Vlog2 0,6; 8) 7log4 0,9? 2.112. Между какими целыми числами находится число: 1) log3l5; 2) log6 200; 3) logo,5l000; 4) log1 10; 5) log5:1; 6) log1Tl? 4 2.6. Основные свойства логарифмов Теорема 1. При любых положительных значениях b и c верно равенство: logа (bc) = logab + logaC; loga 7 = loga b - loga C. (1) (2) Доказательство. Докажем утверждение (1). По основному логарифмическому тождеству а‘°gа(bc) = bc = a‘°gab. a‘°gac = I по свойствам степени | log ab + log ac =a Таким образом, имеем: a loga (bc) = a *°gab + *°gac Отсюда по следствию из п. 2.3 получаем равенство (1). Докажем утверждение (2). Преобразуем левую часть равенства (2): loga -c = loga -c + loga c - loga c = Правообладатель Народная асвета 3 145 I используя равенство (1), получим | = log a (^ • c) - log a c = loga b - log „ C. S Заметим, что равенство (2) можно доказать тем же способом, что и равенство (1), — сделайте это самостоятельно. Равенство (1) означает, что логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел. Равенство (2) означает, что логарифм дроби с положительными числителем и знаменателем равен разности логарифмов числителя и знаменателя. ш Замечание. Равенства, доказанные в теореме 1 (как и другие равенства этого пункта), являются тождествами. Действительно, каждое из них превращается в верное числовое равенство при любых значениях а, b и с, для которых входящие в равенство выражения имеют смысл. Теорема 2. При любых значениях s и положительных значениях b верно равенство log ab = s log ab. (3) Доказательство. По основному логарифмическому тождеству a‘°gabs = b^ = (a‘°gab f = I по свойствам степени | Таким образом, имеем = as logab. a‘°gabs = as logab. Отсюда по следствию из п. 2.3 получаем равенство (3). S Следствие 1. Если числа и и v одного знака, то имеет место равенство log a (UV) = log + log \V . (4) Следствие 2. При любом целом k и и Ф 0 имеет место равенство logaU = 2k loga I U |. (5) Докажите эти равенства самостоятельно. Правообладатель Народная асвета 146 Пример 1. Найти значение выражения: а) log2 60 - logglS; б) lg125 + lg8; Решение. в) logs 243. а) log2 60 - log215 = log2 ^60 = log2 4 = 2; б) lg125 + lg8 = lg (125 • 8) = lg1000 = 3; в) log3 243 = log3 35 = 5log3 3 = 5. Ответ: а) 2; б) 3; в) 5. Теорема 3. При любых значениях a >0, a Ф 1, b > 0, b Ф 1 и c > 0 верно равенство logb c = loggc loga b ‘ (6) Доказательство. Способ 1. По основному логарифмическому тождеству имеем b‘°gbc = c. Прологарифмировав левую и правую части этого тождества по основанию a, получим loga (b‘°gbc ) = logac. Применив тождество (3), имеем logb c • loga b = loga c. Так как b Ф 1, то loga b Ф 0. Поэтому левую и правую части этого равенства можно разделить на loga b. В результате получим тождество (6). S Способ 2. Пусть logj,c = x, тогда с = Ь^. Логарифмируя обе части этого равенства по основанию a, получаем logac = logabX , т. е. logac = X loga b. Откуда имеем Итак, logb c = x = loga c loga c loga b ‘ «b loga b ■ Тождество (6) называется формулой перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию. Правообладатель Народная асвета 147 Обычно в таблицах, калькуляторах даются значения логарифмов по основанию 10, а когда нужно найти значение логарифма по другому основанию, пользуются формулой перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию. Следствием из тождества (6) при основании а = c является формула 1 (7) (убедитесь в этом самостоятельно). Пример 2. Найти значение выражения, если log3 p = m: а) log/3 — logi p + log^Jp; 4 3 б) log/3 p — log4l3 • logi3 4 + 1. Решение. а) log^ p^ — log1 p + log^/p = 3 I согласно тождеству (6) имеем | = log3 p2 log3 p + log^Jp = log^/a log3-3 log39 I используя тождество (3), получим | = 2log3 p log3 p + 2log3 p = -1 = 4log3 p + log3 p + ^1log3 p = I используя тождество (1), имеем | = i1log3 p = I с учетом условия log3 p = m получим | = 5,25m. б) log/3 p^ — log413 • log13 4 + 1 = I на основании тождеств (6) и (7) получим | log3 p4 -1 + 1 = log^/Э I по тождеству (3) и с учетом условия имеем | 4log3 p Ответ: а) 5,25m; б) 8m. = 8m. Правообладатель Народная асвета 148 Следствие 3. Имеют место тождества: а) logaq bP = -plogab; (8) б) a^°gcb = b’°gca. (9) Тождества (8) и (9) можно доказать, используя уже доказанные тождества из этого пункта. 1 Пр имер 3. Упростить выражение А = 3 — log2 -82 9 Решение. Используя определение логарифма, представим числа 1 и 3 в виде логарифмов по основанию 2: 1 log2 2 A = 3 — log2 log2 8 — log2 -9 I по свойству (2) логарифмов имеем | log2 2 log2 2 log2 8 • 9 log2 9 8 I воспользовавшись формулой (7), получим | = log9 2. Ответ: А = log9 2. Развитие науки, прежде всего астрономии, уже в XVI в. привело к необходимости громоздких вычислений при умножении и делении многозначных чисел. Эти вычислительные проблемы были в некоторой степени решены с открытием логарифмов и созданием таблиц логарифмов. 1. Сформулируйте теорему о логарифме: а) произведения; б) частного (дроби); в) степени. 2. Докажите теорему о логарифме: а) произведения; б) частного (дроби); в) степени. 3. Запишите и обоснуйте формулу перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию. 4*.Докажите формулу: а) log^6 • log^a = 1; б) log , 6^ = log^b; в) a‘og^b = 6‘og^a. Правообладатель Народная асвета 149 Упражнения Вычислите (2.113—2.115). 2.113° 2.114° 2.115° 1) lg5 + lg2; 3) logi2 2 + logi2 72; 5) lg25 + lg4; 1) log2l5 — log2Yf; 3) logi54 — logi2; 5) log33e84 — logg6l4; 2) lg8 + lg125; 4) log3 6 + log3l,5; 6) log6l8 + log6 2. 2) logs 75 — log5 3; 4) log8i16- log832; 6) log49 84 — log49l2. 1) log8l2 — log8l5 + log8 20; 2) log9l5 + log9l8-log9l0; 3) log2 39 — log213 — log2 24; 4) log6 34 — log6l7 + log6l8; 5) log4 91 — log413 — log4 3,5; 6) l°g5^1 — log5 + log52,5. 2.116°. Упростите выражение: 1) log315 75; 3) log218 5 2) log 20 4 15 . 12 . ,20 4) log516 11 24 Вычислите (2.117—2.119). 2.117° 2.118° 2.119° 1) log!77^89; 3) logY^625; 5) log6ffif; 1) log4 32; 4) log4YY8; 7) log^/2 64 ; 1) log3 8 + 3log3-|; 3) logo,3 9 — 2logo,3 10; 5) log^/3 + :2log2(|; 7) log/2 12 — log2 9; 2) log9^656Y; 4) logY^343; 6) log4 61024 . 2) log3216; 5) log9 243; 8) log1 ^/2; 3) log! 8; 4 6) log^2 8; 9) ^°®25i;YF. 2) lg5 + -Ylg40 000; 4) log7196 — 2log72; 6) 3lg5 + sYlg64; 8) lo^312 — log27 1 63; Правообладатель Народная асвета 8 150 9) 36 — log714 — 3log7 ^/^T; 10) 2logT 6 — -2log1 400 + 3logT ^45. Вычислите (2.120—2.122). log3 8 , 2.120°. 1) 4) 2.121. 1) 3) 5) log3 16 ’ log0,2 36 ; 1; log0,2 -T 6 log5 27 ; log5 9 ; lg(W3) lg1 3 7) log5 36 — log5 12 ; log5 9 ; lg81 + lg64 ^ 2lg3 + 3lg2 ; log2 4 + log^,/T0 log2 20 + 3log2 2 ; log2 24 — ■Tlog2 72 log3 18 — -;3log3 72 2) 4) 6) 8) lg5 . lg25; log9 1 _____^ log^/e ■ log7 8 3) 6) log715 — log7 30 ’ lg27 + l^/S ; lg2 + 2lg3 ; log714 — ^Tlog7 56 log6 30 — ■Tlog6l50 3log7 2 — -2log7 64 4log5 2 + :3log5 27 2.122. 2 9 П 8

1) lo^3 (2tg^8n) — lo^311 — tg 2) log9(2tg195°) — log9(1 — tg2195°); 3) logj sin375° + logj cos375°; 1 1 4) log8sin795° + log8cos795°; 5) log^(2cos 15° + 2sin 15°) + log^(cos 15° — sin 15°); 6) iog/2 (2cos -П- 2sin ) + log/2 (cos in+sin in! Найдите значение выражения (2.123—2.124). 2.123*. 1) lo^2 -1 ^/2 + 1); 3) log^/2 + 3 (3 — )’ 5) log/3 +1 (4 + ); 2.124*. 1) ^ + ^; logs 6 log4 6 2) logy3 + 2 (2 ); 4) l°g7- ^12 (7 + ^Z12) 6) log5 + We + ‘-^). 2log2 3 log27 8. 2) log4 9 log3 4 Правообладатель Народная асвета 151 3) ()2; ^ \lg34 + lg0.2/ 5) (log 4) / log625 + 2l°g62 y*. ) \ log6 30,000125 + log6^5 ) . 72 + iog!57 2.125. Упростите выражение: 1 1) 1 + log2 3 . 2 )lg7; 6) (log е: 2) ,34 + —1— 13 log25 13 )lg13. 3) log^ -1 5 4) log4 5 — 1 1 — log2 ^7 2.126. Верно ли равенство: 1) 3iog115 _ 5iog113. 3) logg74 = 2log3 7; 5) 7 = log7 97; 6) 8 = log3 83; log2 3 2) 7*°gП4 = 4i°gП 7; 4) log1315 235 = ^3log,3 2; 7) = log2 3 — log2 5; log2 5 8) log3 7 • log3 2 = log3 7 + log3 2; 9) 5‘°g5513 = 13; 11) 4l°g5l2 _ 12*°g54 ; Вычислите (2.127—2.132). 2.127. 1)logs10 • lg5; 3) log2 10 • lg32; 5) log3 25 • log5 81; 7) log3 128 • log2^7; 10) 2‘°g27 = 7; 12) 2*°g56 = 5*°g26 ? 2) log3 18 • log18 3; 4) log4 6 • log/g 16; 6) log2 27 • log3 64; 8) logs 49 • log7^^’ 2 128* 1) 7*°g87 + 3’°g52 — 2^°g53. 3) 3iog827 — 5iog6i0 + 10*°g6 2) 4‘g6 + 12‘°g5‘2 — 6‘g4; 1 4) 9iog48i — 8*°g75 + 5log78. 5) 9iog2i2 — 12*°g29 + ll4logl6ll. 1 6) 143’°g125i4 + 15iog325 — 25*°g3 15 Правообладатель Народная асвета 2 152 2.129. 1) V25‘°g65 + 49‘°g87 2) V9‘°g153 + 169‘°g2′ 3) \j273l°gi63 + 6 l°g36 + 4l°g84 • 1 + ; 4) \j83l°g92 + 3 2’°g43 + 1 2.130. 1) log63 + log672 + log47 • log^2 + 5‘°g53; 2) log5 35 — log5 7 + log3125 • lo^^ 9 — 6log6 2 • — logo 53 • logi4 + 2,5 3) 81 3 ; 4) 64 — log0,25 9 ‘ log 1 2 + 1,5 2.131*. 1) log2 3 • log3 4 • log4 5 •. • log15 16; 2) logs 4 • log6 5 • log7 6 •. • log16 15; 3) log15 20 • log16 15 • log1716 • log18 17 • log1918 • log2o 19; 4) log1 • log1■ log1■ log1 ^ ■ log1 ^ ■ log118. 2 3 4 5 6 7 2 132 1) 2*°g4 — 2^ + 5l°g25 З/3 + 2f • 2) 6l°g36 — 3)2 + 7l°g49 Ы5 + 3)2 • 3) 5^°g’l5+ 3iog9 (^/3-4)2 • 4) 2lo^^5/5 + ^/2 + 4log16 (W2 — 5)2 2.133. Выразите через m и n, если log7 2 = m и log7 3 = n: 1) log7 6; 2) log7 1,5; 3) log7 72; 4) log7 42; 5) log7 12; 6) log7 84. 2.134. Известно, что log3 5 = m. Выразите через m: 1) log9 15; 2) log5 45; 3) log1875 375. 2.135*. Известно, что log21 14 = m и log28 24 = n. Выразите через m и n: 1) log2 3; 2)log2 7; 3) log2 21. 2.136. Найдите значение выражения: 1) lg(Юа^ • ) при lg a = 2; lg b = 3; 2) lg(TOo a» • ) при lg a = 4; lg b = 5; Правообладатель Народная асвета 153 3) Ig(l00a • ^0^) при Ig a = -2; , /3l0U10 000 \ , , , 4) Ig^———-j при Ig b = -1; 5) I при Ig a = 1; Ig b = -1; 6) ig 0,1b W1000 • 12ab3 1^fa2b 1002 a4 • 4a5b 0,00h/ab5 при ig a = -2; ig b = -1. Найдите значение x (2.137—2.138). 2.137. 1) log5 X = 2log53 + 4log25 2; 2) log3 X = 9log27 8 — 3log3 4; 3) igX = 3lg2 + ,1lg64 — ^lg8; 4) igX = 2lg6 + ^lg25 — :1lg125; 5) igX = ig(36log65 + 102-lg4 + 4log4 49 ); 6) igX = ig(0,36iog°,64 + 42-iog42 — 3iog316) 2.138*. 1) ig X = ig( 2) igX = 3) igX = 4) igX = ig( ‘ iog2 10 + iog2 10 • iog2 5 — 2 iog2 5 iog2 10 + 2 iog2 5 ig25 — 2ig5 • ig2 — 3ig22 2ig5 — 6ig2 iog215 — iog2 3 + 2iog5 15 + 2iog5 3 iog5 15 + iog5 3 iog2 18 — 4 iog2 3 + 3 iog2 18 + 6 iog2 3 iog2 18 + 2 iog2 3 5) igX = ig(4iog23 • S1”®22 — 9 • 2iog32 + 2iog49) 6) lgX = ig(z^^ • z10®78 Wa • 8log78 + 7) lgX = lg((loga 6 + log6 81 + 4)(log3 6 — — log54 36)log6 3 — loga 6); 8) lgX = lg((loga 2 + log2 81 + 4)(1о®з 2 — — 2log18 2)log2 3 — loga2). Правообладатель Народная асвета 154 2.7. Логарифмическая функция Рассмотрим выражение loga х, где х — переменная, a — постоянная, a > 0, a Ф 1. Это выражение имеет смысл при любом значении х > 0 и не имеет смысла при любом значении х 0, a Ф 1) является множество всех положительных действительных чисел, т. е. промежуток (0; +^). Определение. Логарифмической функцией называется функция вида у = log^ x, где a — постоянная, a > 0, a ф 1. Область определения логарифмической функции — это естественная область определения выражения loga х, т. е. множество (0; +^). Графики некоторых логарифмических функций изображены на рисунке 34. Эти изображения (как и для графиков других функций) можно было получить, строя их по точкам. Отметим некоторые особенности изображенных графиков. График функции у = log2 х расположен справа от оси Oy и пересекает ось Ох в точке (1; 0). Когда значения аргумента х уменьшаются, т. е. приближаются к нулю, то график этой функции «приближается» к оси Оу и при этом «круто» опускается вниз. А когда значения аргумента х увели- Правообладатель Народная асвета 155 чиваются, то график «медленно» поднимается вверх (см. рис. 34). Аналогично для любой функции у = log^ х при a > 1 (рис. 35). График функции у = log1 х расположен справа от оси Оу и пе- 2 ресекает ось Ох в точке (1; 0) (см. рис. 34). Заметим, что когда значения аргумента х уменьшаются, т. е. приближаются к нулю, то график этой функции «приближается» к оси Оу и при этом «круто» поднимается вверх. А когда значения аргумента х увеличиваются, то график «медленно» опускается вниз. Аналогично для любой функции у = loga х при 0 0, a ф 1) 1. Областью определения логарифмической функции является интервал (0; +^). 2. Множеством (областью) значений логарифмической функции является множество R всех действительных чисел. 3. Логарифмическая функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений. 4. График логарифмической функции пересекается с осью абсцисс в точке (1; 0) и не пересекается с осью ординат. 5. Значение аргумента х = 1 является нулем логарифмической функции. 6. При a > 1 логарифмическая функция принимает отрицательные значения на интервале (0; 1) и принимает положительные значения на интервале (1; +^). Правообладатель Народная асвета 156 При 0 1 логарифмическая функция возрастает на всей области определения. При 0 1 график логарифмической функции лежит в IV координатном угле, когда х е (0; 1), и лежит в I координатном угле, когда X е (1; +^ ). При 0 1 логарифмическая функция возрастает на области определения, а на рисунке 36 видно, что при 0 0; б) при 0 ^ : 1 Рис. 38 2.148. Определите значение а и изобразите график функции У = loga зная, что он проходит через точку: 1) Л(4; 2); 2) 5(9; -2); 3) С(4; -2); 4) М(9; 2). 2.149. Укажите несколько точек, координаты которых удовлетворяют уравнению, задающему функцию, и изобразите график функции: 1) У = log2 ^; 2) У = logi х; 2 4) У = log4 х; 5) У = log2(-х); 2.150. Для функции (см. упр. 2.149) укажите: а) область определения; б) множество (область) значений; в) промежуток убывания; г) промежуток возрастания; д) значения х, при которых у > 0; е) значения х, при которых у log9 p; 3) log11 > log1 p; 4) log0 8 t 1, b > 1; 2) 0 1; 3) 0 1, 0 0; е) значения х, при которых у 1: 1) У = log a x -1; 2) y = log a x + 2; 3) y = loga (x + 1); 4) У = log a (x — 2); 5) У = loga (x — 1) + 1; 6) У = log a (x + 2) — 1; 7) У = -1 — loga x; 8) У = 1 — loga x. 2.165*. Изобразите схематично график функции (см. упр. 2.164), если 0 0, a Ф 1, и > 0, v > 0. Если loga и = loga v, то U = V. Доказательство. Воспользовавшись данными условия и основным логарифмическим тождеством, получим: ш 1) log a f (x) = loga h (x) ^ U = a ‘°gau = a ‘°gav = V. При решении уравнений часто используются утверждения, вытекающие из доказанного следствия: f f (x) = h (x), If (x) > 0; 6 = c, 2)* logf(x) b = logf(x) c ^ 0, .f (x) Ф 1. 2 Пр имер 1. Решить уравнение log_y3(7x + 2) = 4. Решение. По определению логарифма имеем равносильное данному уравнение 7 x^ + 2 = ^3 )4. Решим это уравнение: 7×2 = 9 — 2, x2 = 1, x1 = -1, x2 = 1. Ответ: -1; 1. Пр имер 2. Решить уравнение log5(2x) + log5 x = log5 8. Решение. Данное уравнение равносильно системе fx > 0, [log5(2 x2) = log5 8. (1) (2) Правообладатель Народная асвета 166 Уравнение (2) равносильно уравнению 2х2 = 8 (поясните почему). Решая его, получаем: x = -2 или x = 2. С учетом неравенства (1) оставляем x = 2. Ответ: 2. Пример 3. Решить уравнение log2 (x — 1) — 5log2 (x — 1) — 6 = 0. Решение. Обозначив log2 (x — 1) = t, получим уравнение t2 — 5t — 6 = 0, откуда t = -1 или t = 6. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: log2 (x — 1) = -1 (3) или log2 (x — 1) = 6. (4) Решая уравнение (3), получаем x — 1 = 2-1, откуда x = 1,5. Решая уравнение (4), получаем x — 1 = 26, откуда x = 65. Ответ: 1,5; 65. Пр имер 4. Решить уравнение log2 x + log8 x = -4. Решение. Используя формулу перехода к логарифму с другим основанием, получаем равносильное данному уравнение Решим его: log x + = -4 log2 x + log28 = 4. log2 x + log32 x =-4 « 4log2 x = -12 « « log2 x = -3 « x = 2-3 « x = -1. Ответ: -8. Пример 5. Решить уравнение 2x + 1 = 3x — 2. Решение. Поскольку 2x + 1 > 0 и 3x — 2 > 0 при любых значениях x, то можно прологарифмировать обе части данного уравнения, например, по основанию 10; в результате получим: 2x + 1 = 3x — 2 « (x + 1)lg2 = (x — 2)lg3 « « (lg3 — lg2)x = 2lg3 + lg2 « Правообладатель Народная асвета 167 2lg3 + lg2 lg(32 • 2) I ^ ^ “ lg3 — lg2 ^ ^ “ lg1,5 ^ ^ “ logl,518- Ответ: log1,5 18. В примере 5 уравнение можно прологарифмировать и по другому основанию, например по основанию 2 (сделайте это). А можно решить его и так: 2″ +1 = 3″ — 2 ^ (3= 18 ^ X = log1518. Пример 6. Решить уравнение log7(x + 1) — log7(12 — 2x) = log7(3 — x). Решение. Способ 1 (сохранение равносильности). log7 (x + 1) = log7 (12 — 2x) + log7 (3 — x) « (5) X + 1 = (12 — 2x)(3 — x), X + 1 > 0, 12 — 2x > 0, 3 — x > 0 Ответ: 2,5. I ^x = 7 или x = -|), 1-1 -1, x 0, x ^ 1 и х2 = 16. Решая последнее уравнение, находим х = -4 или х = 4, а поскольку х > 0, то получаем х = 4. б) Уравнение 1с£х 1 = 5 равносильно системе х > 0, 0, х ^ 1 верно равенство 1с£х 1 = 0, то уравнение 1с£х 1 = 5 не имеет решений. в) Любое положительное и отличное от 1 число х является корнем уравнения 1с£х 1 = 0 (поясните почему). Ответ: а) 4; б) нет решений; в) (0; 1) U (1; +^). Пр имер 8. Решить уравнение 1с£х (5х + 6) = 2. Решение: 1ogх (5х + 6) = 2 ^ х2 = 5х + 6, ^ 0, х Ф 1 (х = -1 или х = 6), « 0, х Ф 1 ^ х = 6. Ответ: 6. А Пр имер 9. Решить уравнение с неизвестным х: а) 1ogaX = 3; б) 1og2x = а. Решение. а) Если а 0 и а ф 1, то уравнение имеет единственное решение 3 х = а . б) При любом действительном значении а уравнение 1og2x = а имеет единственное решение х = 2а. Ответ: а) х = а3 при а е (0; 1) U (1; + ^); нет решений при а е (-“; 0] U <1>; б) х = 2а при любом а е R. А Правообладатель Народная асвета 169 Решите 2.171°. 1. Сформулируйте теорему о равенстве логарифмов с одинаковыми основаниями. 2. Опишите способ решения уравнения вида: а) loga Ах) = Ь\ б) log„ Ах) = loga g(x). 3*. Опишите способы решения уравнения вида loga /(х) = loga g(x) + loga h(x). 4*. Опишите способы решения уравнения вида ri l°ga /(Х) + r2 l°ga /(Х) + r3 = О- 5*. Опишите способы решения уравнения вида logx/( х) = т. 6*. Опишите способы решения уравнения вида a/(x) = bg(x) (a > О, b > 0). Упражнения уравнение (2.171—2.196). 1) lg(4x + 1) = lgx; 2) lg(x — 4) = lg(3x); 3) log6(5x + 3) = log6(7x + 5); 4) log2 (6x + 8) = log2(3x -1); 5) logi(2x -1) = logi(x^ + x — 3); 6) logi(3x — 5) = logi(x^ — 3). 2.172°. 1) log6x = 3; 3) log8 x = —3-; 5) logo,1x = 0; 7) log2(-x) = -5; 2.173°. 1) log1(2x -1) = 1; 3) log1(4x + 5) = -1; 3 5) log4(x2 — 6x) = 2; 2.174. 1) lgx2 = 0; 3) log4x2 = 3; 5) log3x3 = 0; 7)* lnx2 = 1; 2) logsx = 1; 4) log27 x = T^; 6) lgx = 0; 8) log1(-x) = -1. 2) log1(3x — 5) = -1; 2 4) log4(6x — 1) = 1; 6) log3(x2 — 8x) = 2. 2) lgx2 = 2; 4) log6x2 = 0; 6) log4x3 = 6; 8)* lnx7 = -1. Правообладатель Народная асвета 2 170 2) log5(x2 + 1) = 1; 4) logo,2(6 — x2) = -1; 6) logo,o4(x — 2)2 = -1; 8) log3[4x + l) = 1. 2) log5log4log3 x = 0; 4) lglglog5 x = 0. 2.175. 1) log3(x2 — 1) = 1; 3) logo,5(3 — x2) = -1; 5) logg(x — 1)2 = 1; 7) log2(4x — 2) = 1; 2.176. 1) log7log2log13 x = 0; 3) log2015log3log2 x = 0; 2.177. 1) log1(5 — log3 x) = -2; 2 2) log^(3 — log3(x — 2)) = 0; 2 3) log^(1 + log2(x — 5)) = -1; 3 4) log^(2 + log^(3 + x)) = 0. 5 3 2.178. 1) lg(3x — 17) = lg(x + 1); 2) lg(4x + 5) = lg(5x + 2); 3) lg(2×2 + 3x) — lg(6x + 2) = 0; 4) log3(x2 — 4x — 5) — log3(7 — 3x) = 0; 5) lg(5×2) — lg(x3 + 6x) = 0; 6) lg(x3 + 6×2) — lg(2×2 + 12x) = 0. 2.179. 1) 2lg(x — 1) = lg(5x + 1); 2) log0,5(6 — x) = 2log0,5x; 3) lg(4x — 3) = 2lgx; 4) 2log0,2 x = log0,2 (5×2 — x); 5) 2lg(x — 1) = lg(1,5x + 1); 6) lg(12x — x2 — 19) = 2lg(x — 1). 2.180. 1) lg(x + 1) + lg(x — 1) = lg3; 2) log2 (x — 5) + log2 (x + 3) = log2 9; 3) log3 (x — 2) + log3 (x + 6) = 2; 4) lg(x — 1) + lg(x + 1) = 0; 5) logs x + logs (x — 4) = 1; 6) log2 x + log2 (x — 3) = 2. 2.181. 1) lg(x — 1) = lg2 + lg(2x — 11); 2) lg(3x — 1) = lg5 + lg(x + 5); 3) log7 x + log7 (x — 2) = log7 (2×2 — 7x + 6); 4) log3 (x2 — x) = log3 3 + log3 x; Правообладатель Народная асвета 171 5) lg(5x) + lg2- = ,1lg(x2 + x — 5); 6) lg(8x) — lg(4x) = ilg(x2 — 4x -1). 2.182. 1) log5 x — log0,2 x = 1; 2) log2 x + logs x = 8; 3) log2 x — 2log1 x = 9; 4) log4 x — log16 x = s1; 5) log9 x^ + log)3 x = 3; 6) log5 x — lo^g x = 1. 2.183. 1) log2 x — log5 x = 2; 2) log2 x — 2log3 x — 3 = 3) lg2x — 3lgx — 4 = 0; 5) log2 4 • log2 x — log3 x = 0; 6) log3 9 • log4 x + log4 x = 0. 4) lg2x — 3lgx + 2 = 0; 2.184. 1) 2lgx2 — lg2(-x) = 4; 2) 3lgx2 — lg2(-x) = 9; 3) 4log4(-x) + 2log4 x^ =-1; 4) 5log22(-x) = 1 + 2log32 x2. 2.185. 1) 2log5(lgx) = log5(10 — 9lgx); 2) 2logo,i(lgx) = logo,i(3 — 2lgx); 3) lg2x = Ig(lOOx); 4) 2log26 x = logi6(16x); 5) Ig2 x + Ig^x + ig^x _ 4 = 0; 6) ig2x + ig2;5 + ig^x-5 = 0; 7) lg2(10x) + igx = 5; 8) logl^x + logl^x = 1- 2.186. 1) 5log4 x + 3logx 4 = 8; 2) logs x — logx 5 = 1,5; 3) log4 x + logx = 1; 4) log3 x + logx 9 = 3; 5) 4log25 (x — 1) — log3 27 + 2logx — 1 5 = 1; 6) log2 (1 — 3x) + log3 27 + 16log1 — 3x 2 = 5. 2.187. 1) logx 4 = 2; 2) logx 16 = 4; Правообладатель Народная асвета 172 3) log, 1 = 6; 5) log, 1 = 3; 7) log, + 1 16 = 4; 4) log, 1 = 2; 6) log, 1 = 5; 8) log, — 1 4 = 2. 2.188*. 1) log,+2 (3,2 — 12) = 2; 2) log2, — 1 (3,5,2 — 2,5,) = 2; 3) log, + 1 (3,2 + 2, — 1) = 2; 4) log, — 2 (2,2 — 13, + 18) = 1; 5) log^(2+ 6, — 4) = -2; , + 2 6) log 1 (2,^ — 3, -1) = -2; 1 — , 7) log^/,75 (3,^ + 16, + 5) = 4; 8) log (3,2 — 28, + 64) = 4. 2.189. 1)° 3l°gз, = 6; 3)° 8log8,2 = 49; 5) 6log6l,+1′ = 10; 7) 5log2, + ,‘°g25 = 10; 9) 2lg» = 16 — ,‘g2; 2.190*. 1) 5, = 7,; 3) 3, — 1 = 10, — 1; 5) 3, = 2 • 3, — 1; 7) 8^,^-2 = 6′,’-2; 9) 8i^-1i-5 = 14I1-,l-5- 2)° 7log 7, = 4; 4)° 11log11,2 = 25; 6) 5log5l,-1l = 18; 8) 5lg‘ = 50 — ,‘g5; 10) 7lg‘ + ,‘g7 — 98 = 0. 2) 13, = 9,; 4) 4, + 1 = 7, + 1; 6) 3, + 1 = 3 • 7,; 8) 31″1-4 = 21″1-4; 10) 0,17,2-1 = 4,2,2-1. 2.191*. 1) 2, — 1 = 5, -1; 2) 3″+2 _ 7″ — 4, 5 3) 0,19 — ,2 23, + 3 5 4) 6,725-,2 _ 0,24 2.192. 1) 2, = 3; 2) 3, _ 18; 3) 10, _ 20; 4) 10, = 1. ■ 5; 5) 2,+1 _ 0,2; 6) 2, — ’ ‘ _ 0,1 2.193*. 1) ,lg, — 3 = 0,01; 2) ,log3 , — 3 _ 1 ; 9 ’ 3) ,‘°g5 , — 3 1 , _ 25; 4) ,^g, — 1 _ 100; 5) ,lg, = :100,; 6) ,^g, _ 1000,2; 7) ,log3 ,2 = 3,; 8) ,2lg, — 10, _ 0. Правообладатель Народная асвета 173 2.194*. 1) 4^ = 5x+7; 4) 10x — 1 = 2x; 2) 6x = 11x — 1; 5) 3x — 2 = 2x + 1; 2.195*. 1) log5((x + 19)cos x) = log5 x +19 cos x x — 8 3) 3x — 1 = 5x; 6) 7x — 1 = 5x+2. 2) log4((x — 8)sinx) = log4 3) log3 (2sinx sin2x)+ log1 (5cosx + 4sin2x) = 0; 3 4) log6(sin2x) + log1 (^cos4 — — sin4 —j = 0; 6 5) log2(3cosx — sinx) + log2sinx = 0; 6) log2(3sinx — cosx) + log2 cosx = 0. 2.196*. 1) I log53 • log3x^ -2logxx^ I = 2logx25; 2) I 3log7 2 • log2 x^ — 3logx x^ I = -24 logx 49. 2.197*. Решите уравнение с неизвестным х: 1) log «x = 2; 2) log a (x + 1) = 4; 3) lgx = a; 4) log4(x — 1) = a. 2.198*. Определите, при каких значениях а уравнение имеет два решения: 1) log2(4x — a) = x; 3) x + log1 (4x + a ) = 0; 2 2) log3(9x + 9a^) = x; 4) x + log1 (9x — 2a) = 0. 3 2.199. Решите систему уравнений: [ x ‘g y = 100, [log yx = 2; \x ‘°g2y = 4, 1) 2) 3) 4) [log xy = ^; f2’og2(3x — 4) = 8 [log9(x2 — y2) — log9(x + y) = 0,5; f3log3(2 x — 9) = 9 Ilg(x2 — y^) — lg(x — y) = 1. Правообладатель Народная асвета 174 2.9. Логарифмические неравенства В этом пункте рассмотрим некоторые неравенства, в которых переменная (неизвестное) находится под знаком логарифма. Неравенства такого вида принято называть логарифмическими. При решении логарифмических неравенств часто будет использоваться утверждение, которое следует из свойств логарифмической функции. Следствие. Пусть a > 1, и > 0, v > 0. Если logau > logav, то и > V. Пусть 0 0, V > 0. Если logau > logav, то и 1. Поскольку по условию logau > logav, то, воспользовавшись основным логарифмическим тождеством и следствием из пункта 2.4, имеем и = a‘°gau > a‘°gav = V. Доказательство утверждения при 0 1. Проведите его самостоятельно. S ш При решении неравенств часто используются утверждения, вытекающие из доказанного следствия: 1) Пусть a > 1, тогда ff (x) > g(x), loga f (x) > loga g(x) ^ 2) Пусть 0 log a g (x) ^ A 3) logf (x) g(x) > logf (x) h(x) ^ f (x) > 1, g(x) > 0. f (x) 0. 0 h(x), или \ g(x) 0 Пример 1. Решить неравенство: а) log0,2g(7x^ + 2) > log0,2g9; g(x) > 0 Правообладатель Народная асвета 175 б) log5,7(3x — 4) -4. S Решение. а) Заметим, что в неравенстве log0,29(7x + 2) ^ log0,29 9 выражение 7×2 + 2 принимает положительные значения при любых значениях переменной x. Поскольку из двух логарифмов с одинаковым основанием 0,29 больше тот, который берется от меньшего числа, то получим неравенство 7×2 + 2 0 и 4 — x > 0 (объясните, почему неравенство 4 — x > 0 можно и не записывать). Таким образом, данное неравенство равносильно системе [3x — 4 0. Решив эту систему, получим 11 0 [x 11 ^ 11 0. Поскольку из двух логарифмов с одинаковым основанием 0 1, I x I > 1, x 1. г) Неравенство log 1 (7x + 2) > -4 равносильно неравенству S log^(7x + 2) > log^ \ V3 ‘Js s Так как 0 0. Решив ее, получим -■2- logs 8. Решение. logs (2x) + logs x > logs 8 « logs 2 + logs x + logs x > 3logs 2 « « 2logs x > 3logs2 — logs 2 « « 2logs x > 2logs2 « x > 2. Ответ: [2; +^). Пример 3. Решить неравенство log2,s(x — 1) — slogo,s(x — 1) — 6 x -1 > d)6 «4 0, /(2) = 0 — S • 0 — 6 = -6 -4. Решение. Данное неравенство равносильно неравенству Решим его: log X + log2X > _4 l0g2 X + log28 ^ 4. log2X + iog32X > _4 ^ 4log2X > _12 « « log2 X > _3 « log2 X > log2 2_3. Поскольку из двух логарифмов с основанием 2 больше тот, который берется от большего числа, то X > -8. Ответ: ^ -1; +^j. А Пр имер 5. Решить неравенство logX(2 + x) 1, logX (2 + x) 0 0 X fX ^ 1, [0 0, Найдем D 0 (поясните почему), то функция нулей не имеет. Определим и отметим над координатной прямой (рис. 42) знаки значений функции f на ее области определения. А D if) 1 ^ c + О X 1 Рис. 42 1. Как сравнить значения логарифмов с одинаковыми основаниями? 2. Опишите способы решения неравенства вида: а) log 5 f( x) log 0,2 g(x). Упражнения Решите неравенство (2.200—2.217). 2.200°. 1) log 2 x 4; 8) log0,4 x > 0; 1) log1 (2x + 5) -1; 2.201° 5) log1e(4x + 3) > ^; 3) log2 x 0. 2) log2 (3x — 1; 4) log1(6 — 2x) > -2; 7) lg(12 — 5x) 0,5; 3) log0,2 (x2 — 2x — 3) > -1; 5) log2 (x2 + 3x) -1; 3 6) log27(3x — 4) 0. 2) logs (x2 + 2x — 3) -1; 8) log2 (x2 + x) cos(2016n); 3) 1og1(x^ — 5x + 7) > cos-2017”’ 4) 1g(x^ — 8x + 13) -1; 3) iog1^2x-:7 0; 2 3) 1og2 1og^5(x -1) -1; 7) 1og6 1og, 2 x + 4 1. 2 2) 1og811og1(x — 2) 0,5; Г2 8) 1og1 1og3 > 0. 2.206*. 1) 0,41o^^1gx > 1; 3) 0,91°g/21g(-x) > 1; 2) 40 4) 0,1 log0,1l°g5 ( — -x ) log14; 3) log0,7(2x — 7) > log0,75; 4) log2,7(3x + 8) °; 7) logsin2(x» + x — 2) > logsin2(6 — x); 8) logcosi,5(x» — x — 2) log110 + log1 6; Правообладатель Народная асвета 5 2 x x 6 181 2) log4 (x + 6) — log4 9 logi 12 + 2logi 2. 6 6 6 6 2.209. 1) logs (x + 13) log4(1 — x) + log4(8 — x); 3) lg(x — 3) + lgx log9(2x — 3). 2.210. 1) lg(x + 2) + log 1 (x + 2) > -1; ^|io 2) log2(x — 1) + log^(x — 1) > -2; V2 3) 2log1(x — 2) + 3logs(x — 2) 2,s; 6) log4(x — 3) + log2(x — 3) 4; 2) log1(x — 3) > 1; 3) log2(4 — x) 0; 3) log3 x — 2log3 x 4; 6) lg2 x — 3lgx > 4; 7) lg2(-x) + lgx^ 0. 4) log2(s — x) 0; 3 3 3) log2(x — x^ + 2) + 3log05(x — x^ + 2) > -2; 4) log25(3x — x2 + 4) — 6log2(3x — x2 + 4) ^3; 3) logi x > logx 3 — -|; 3 2.215*. 1) logx(x + 2) logx-1 (x + 6); x — 1 3) log 4) logx + 4 x + 3 x + 2 x — 2 x + 3 2; x + 3 2 3; 3) logx +1(5 — x) > 1; 5) logx (2x — 3) 2; 3) log2x (x^ — 5x + 6) 1. 2) log2+x(7x^ + Hx — 6) 1; 6) log|x-2|(2x^ + 3x + 1) > 0; 8) log 2(l — 7x) > 12lgsin2-5n. Найдите естественную область определения выражения (2.218— 2.223). 2.218. 1) Ig 3) lg x — 6 x + 8 ; x2 — 9x + 20 ; x — 5 x2 — 10x + 24 — 3 x + 5; 2) lg 4) lg x-5 x2 — 10 x + 24′ x2 — 4 x2 — x — 2 3 x — 6. Правообладатель Народная асвета 183 2.219. 1) ^lg(x2 — lx + 13); 3) ^^logo,5(3x^ — 2x); 5) 6log2(l — x) — 1; V 3 7) ^|log0 x — 1 «°,3 x + 5’ 2.220. 1) logx-i(l — x); 3) logx (x^ + 3x + 2); ,2 2) Vlg(x^ — 5x + 7); 4) ^logi(x^ + ^3x); 6) ^1 + logo,5(2 — x); 8) 1^log° x + 1 =°.1 x-4 ■ 5) Vlogs-x(x2 — 9); 2.221. 1) 3) 5) 5-x x2 + 4 x — 5 . lg(x + 2) ; ^3 + 2x — x2 ; log2 x — 1 ’ 1 — log3(x2 — 2x), 2) logx+2(5 — x); 4) log-x (x^ + 6x — 16); 6) д/log!-x(x2 — 16). yj2x — 3 2) 4) 6) 20 — x2 — x ; lg(x + 4) ; log2(x + 2) 1 + log°,5(x2 + x) 1^/2 x + 1 2.222. 1) ^(log1 7 — log1 7) • log3(x -15); 2) ^(log16 — log1 6) • log3(x + 12); 3) 4) 1 log3 log17 3 7 4^ _ 5 log2 log5143 2.223. 1) i-;.1—T wx^^; lg(6 — x) 3) lg(x^ — x) + ; 4-x 2) , 1 ^ W3 — 21x; ’ lg(5x + 4) ’ 4) lg(x^ + x) — ; 9 — x 5) ^ + ^x»-^ + lg(6 — x); 6) X1 — x — ^x»+i + lg(x +8). Правообладатель Народная асвета 184 2.224*. Решите систему неравенств: flogo,5(2x — 4) logo,i(5 — x), ix^ — 2x — 3 0, 3x^ -16x + 21 > o; 2logo,5 x ^ 3 5) i x2 + x — 12 2 ^ o; x2 — 6 x + 8 7) |lg(x -1) > o, |x^ + lx -1 + 3 > o; 4) flog2(x^ + 8) 1; 2 5) lgtg2x > o; 2.226*. Докажите неравенство: 1) log5(2 — cos2 x) > 0; 3) logo,3(1 + sin6 x) — 1; 4) log1 sin2x 0; 4) log2 (3 — sin4 x) log4(4 — sin2 x); 2) logo,13(1 — sin4 x) > log1,3(2sin2 -| + cosx); 3) log06(2sin2 x + cos2x) > log28(1 — cos6 x); 4) log41(3 — cos2 x) > log 3 (sin2 x + cos2 x). ’ l7 Правообладатель Народная асвета П риложен и я Материалы для повторения теоретических вопросов арифметики и алгебры курса математики 5—11-х классов ЧИСЛА Натуральные и целые числа Числа 1, 2, 3, 4, 5, возникающие при счете, называют натуральными или целыми положительными. Множество натуральных чисел обозначается буквой N. Пусть a и b — натуральные числа. Говорят, что a делится на b (нацело), если существует такое натуральное число s, что a = bs. Число b называется делителем числа а; число a называется кратным числа b; число s называется частным чисел а и b. Натуральное число, большее 1, которое не имеет делителей, кроме 1 и самого себя, называется простым. Натуральное число, которое имеет еще хотя бы один делитель, кроме 1 и самого себя, называется составным. Составное число можно разложить на простые множители, т. е. представить в виде произведения различных его простых делителей, взятых в соответствующих степенях. Наибольшим общим делителем (НОД) двух натуральных чисел a и b называется наибольшее натуральное число, на которое делятся а и b. Если НОД(а, b) = 1, то а и b называются взаимно простыми. Наименьшим общим кратным (НОК) двух натуральных чисел а и b называется наименьшее натуральное число, которое делится на а и на b. Натуральные числа называют также положительными целыми числами. Числа вида (-m), где m — натуральное число, называют отрицательными целыми числами. Множество, состоящее из всех натуральных чисел, противоположных им отрицательных чисел и нуля, называется множеством целых чисел и обозначается буквой Z. Разделить целое число a на натуральное число b с остатком — это значит представить а в виде Правообладатель Народная асвета 186 a = bs + r, где s и r — целые, 0 1 — натуральное число; n-я часть единицы обозначается —. Эта часть, взятая k раз (k — натуральное число), обозна- чается и называется положительной дробью. Дробь — называют еще обыкновенной. Если k n, то — неправильной. Всякое натуральное число можно считать дробью со знаменателем 1. Дробь , где m е Z, m > 0, записанная в виде a0, a1 a2 a3 _ a„i, где a0 — целое неотрицательное число, а a1, a2, a3, _, am — цифры, называется конечной десятичной дробью. Дроби со знаком «минус», т. е. числа вида -k-, где k и n — на- n туральные числа, называются отрицательными дробями. Множество, состоящее из всех положительных дробей, нуля и всех отрицательных дробей, называется множеством рациональных чисел и обозначается буквой Q. Определение равенства дробей: — = c, если ad = bc. b d ’ Основное свойство дроби: a = ka (k ^ 0). b kb ^ ’ Дробь — называется несократимой, если числа a и b взаимно просты. Правила действий над дробями: a + c = ad +bc a_____c b d bd b d ad — bc a ^ c bd ’ b d ac a . c_ bd’ b ■ d ad bc ‘ Каждое рациональное число можно представить в виде дроби т, где т — целое число, а n — натуральное число. Если при этом n т — положительное, то рациональное число называется положи- Правообладатель Народная асвета k n 187 тельным, а если m — отрицательное, то рациональное число называется отрицательным. Бесконечная десятичная дробь, которая содержит, начиная с некоторого места после запятой, периодически повторяющуюся группу цифр, называется периодической, а эта группа цифр называется периодом. Количество цифр в периоде называется длиной периода. Действительные числа Для нужд математики рациональных чисел недостаточно и вводятся новые числа — иррациональные. Каждое иррациональное число можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Множество, состоящее из всех рациональных и всех иррациональных чисел, называется множеством действительных чисел и обозначается буквой R. Основные свойства сложения и умножения действительных чисел Переместительный закон: a + b = b + a, ab = ba. Сочетательный закон: (a + b) + c = a + (b + c), (ab) c = a (bc). Существуют числа 0 и 1 такие, что для любого числа a имеют место равенства: a + 0 = a, a • 1 = a. Для любого числа a существует противоположное ему число -a и для любого числа a Ф 0 существует обратное ему число a^’ = — такие, что имеют место равенства: a a + (-a) = 0, a • a^’ = 1. Сравнение действительных чисел. Действительное число может быть либо положительным, либо отрицательным, либо нулем. Правообладатель Народная асвета 188 Число a больше числа b (a > b), если разность a — b положительное число; число a меньше числа b (a a; если b > a, то a 0, то ac bc; 7) если 0 ^; a b 10) если 0 0 и b > 0, то ^ \fab (среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического); 12) Id — bl a и c a, c a, a a, a a (a; +^) a X > a [a; +^) a Промежутки (a; b), (-^; a), (a; +^) называются интервалами; промежуток [a; b] называется отрезком. Каждой точке на координатной прямой соответствует определенное действительное число — координата этой точки. Наоборот, каждому действительному числу a соответствует определенная точка на координатной прямой — точка с координатой a. Модуль действительного числа a (обозначается р| ) определяется так: a = a, если a > 0, и р| = — a, если a » или « B или A B и C > D) называют неравенствами одного знака, а неравенства A D называют неравенствами разных знаков. Знаки неравенств « » называют противоположными. Когда обе части неравенства обозначают числа, оно называется числовым. Числовое неравенство A » называются строгими. Нестрогие неравенства образуются, если выражения A и B соединяются одним из знаков « ». Знак « » читается «больше или равно» или «не меньше». СТЕПЕНИ И КОРНИ Степень с целым показателем Определение степени. Пусть n — натуральное число, a — действительное число. Тогда an = а-а-a a при n > 2; a’ = a. »—V—^ п раз Пусть n 0, то уравнение имеет два корня — b ±-ГБ X1, 2 = ■ 2a Если D = 0, то уравнение имеет единственный корень b X, = х2 = — . 1 2 2a Если D 0 разлагается на линейные множители: ax2 + bx + c = a(x — x,)(x — x2), где x,, x2 — корни этого трехчлена, причем если D > 0, то x, Ф x2, если D = 0, то x, = x2. Когда ax2 + bx + c = a(x — x, )2, тогда x, называется кратным корнем квадратного трехчлена ax2 + bx + c (кратным корнем квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0). В следующей теореме, говоря о сумме и произведении корней квадратного уравнения, учитывают и случай кратного корня, когда квадратный трехчлен имеет кратный корень, тогда этот корень берут дважды. Теорема Виета Если x, и x2 — корни приведенного квадратного уравнения x^ + px + q = 0, то x, + x2 = -p, x,x2 = q. Наоборот, если для чисел x, и x2 верны равенства x, + x2 = — p, корни приведенного квадратного уравнения x, x2 = q, то x, и x2 x ^ + px + q = 0. Правообладатель Народная асвета 196 Рациональные уравнения Уравнение вида — = 0, где A и B — многочлены от одной и той B же переменной, называется рациональным. Рациональное уравне- [ A = 0, ние равносильно системе ^ Уравнение с двумя переменными Равенство, содержащее две переменные, называется уравнением с двумя переменными. Переменные в уравнении называются также неизвестными. Упорядоченная пара значений переменных, при которых уравнение превращается в верное числовое равенство, называется решением уравнения с двумя переменными. Два уравнения с двумя переменными называются равносильными, если каждое решение одного уравнения является решением другого, и наоборот, т. е. когда они имеют одни и те же решения. Равносильными считаются и уравнения, которые не имеют решений. При решении уравнений с двумя переменными используются те же свойства, что и при решении уравнений с одной переменной. Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек на координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения. Формула расстояния между точками A(x1; y1) и B(x2; y2): AB = yj(xi — X2)2 + (yi — У2)2. Уравнение окружности с центром в точке M(a; b) и радиусом R\ (x — a)2 + (y — b)2 = R2. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными Когда зависимость между двумя переменными x и у записывается при помощи двух уравнений а1 x + b1 у = c1 и a2x + b2у = c2, то говорят о системе двух линейных уравнений с двумя переменными (неизвестными). Обычно система записывается в виде [а1 x + b1 у = c1, [а2> x + b2 у = C2. Правообладатель Народная асвета 197 Аналогично определяется и записывается система двух произвольных уравнений с двумя переменными. Упорядоченная пара значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство, называется решением системы уравнений. Две системы уравнений называются равносильными, если каждое решение одной системы является решением другой, и наоборот, т. е. когда они имеют одни и те же решения. Равносильными считаются и системы, которые не имеют решений. Число решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными: 1) система имеет единственное решение, если ^ 2) система ai _ bi _ ci , а-2 имеет бесконечно много решений, если 02 c2 ci 3) система не имеет решений, если 01 = ^ °2 b2 c2 Неравенства с одной переменной Неравенство, содержащее одну переменную, называется неравенством с одной переменной или неравенством с одним неизвестным. Решением неравенства с одной переменной называется такое значение переменной (неизвестного), при котором это неравенство превращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство — это значит найти все его решения или доказать, что их нет. Два неравенства называются равносильными, если каждое решение одного неравенства является решением другого, и наоборот, т. е. когда они имеют одни и те же решения. Равносильными считаются и неравенства, которые не имеют решений. Свойства неравенства: 1) если в неравенстве перенести слагаемое из одной части в другую с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное данному; 2) если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному; Правообладатель Народная асвета 2 198 3) если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному. Линейным неравенством с одним неизвестным называется неравенство вида ax > b (ax > b, ax 0 (ax^ + bx + c > 0, ax^ + bx + c 0 (A > 0, A х1, то f (Х2) > f (xi). Функция f называется убывающей в некотором промежутке, если в этом промежутке большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т. е. если х2 > х1, то f (Х2) 0: если x е (0; +^), то у > 0; если x е (-^; 0), то у 0. Таким образом, (-^; 0) и (0; +^) — промежутки знакопостоянства функции. 7. Функция является нечетной. 8. При k > 0 функция возрастающая в области определения. При k 0 функция возрастающая в области определения. При k 0 и из части прямой у = -x при x 1 1 У = щ О X Правообладатель Народная асвета 203 2. Множеством (областью) значений функции является промежуток [0; +^). 3. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, — оно равно нулю. Наибольшего значения функции не существует. 4. График функции имеет с осями координат единственную точку пересечения (0; 0) — начало координат. 5. Нулем функции является значение х = 0. 6. Все точки графика функции, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс; значит, (-^; 0) и (0; +^) — промежутки знакопостоянства. 7. Функция четная. 8. На промежутке [0; +^) функция возрастает. На промежутке (-То; 0] функция убывает. 9. Функция не является периодической. Функция у = х’^, где r = 2k, k е N (см. п. 1.11). Функция у = х’^, где r = 2k + 1, k е N (см. п. 1.11). Функция у = х’^, где r е Q, r i Z, r > 1 (см. п. 1.11). Функция у = х’^, где r е Q, 0 0, то ветви гиперболы располагаются в I и III координатных углах, если k 0 функция убывающая на промежутке (-^; 0) и убывающая на промежутке (0; +^). При k 0, и вниз, если а 0, то множество (область) значений функции — промежуток 4ас — Ь 4а 2 + ТО если а 0, то при х = функция принимает свое наи- меньшее значение ун 4ac — b2 4a b если a 0, то парабола пересекает ось Ох в двух точ- ках (; °) » (—b^+a’D-; °); D=°- точка (—’ °) “ единственная точка пересечения с осью Ох; если D 0 нулями функции являются значения х; 2 = b 2a при D = 0 нулем функции является значение х =——; при D 0, то промежутки (—^; х;), (х;; х2), (х2; +^) являются промежутками знакопостоянства. Если D 0, то функция убывает на промежутке [-^; — — I и [ь \ ^ 2а ^ —^; +^j. Если а 0, а ф 1 (см. п. 2.2). Логарифмическая функция — функция вида у = logax, а > 0, а ф 1 (см. п. 2.7). ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Пусть согласно некоторому закону каждому натуральному числу n ставится в соответствие определенное действительное число ап. Тогда говорят, что задана числовая последовательность ау, а2, _, ап, _; ее обозначают (ап). Число ап называется n-м членом последовательности (ап). Числовая последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел с областью значений, содержащейся во множестве действительных чисел. Арифметическая прогрессия с разностью d — это такая числовая последовательность (ап), что ап + у = а^ + d для любого натурального п. Формула n-го члена арифметической прогрессии: ап = а1 + (п — 1)d. Формулы суммы первых n членов арифметической про- грессии: ^ = ау + ап •п; Sn = 2а; + (п -1)d 2 ’ п 2 Геометрическая прогрессия со знаменателем q — это такая последовательность отличных от нуля чисел (Ьп), что Ь^ + j = b^q для любого натурального п. Формула n-го члена геометрической прогрессии: Ь. = ЬJqn -1. Правообладатель Народная асвета 207 Формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии: , если q Ф 1; Sn = nb^, если q = 1. q — 1 Геометрическая прогрессия со знаменателем q 0, то функция f возрастает на этом промежутке. Если в каждой точке x некоторого промежутка f ‘(x) f (x0). При этом точка x0 называется точкой минимума функции f. Функция может иметь одну, несколько, а может вообще не иметь точек максимума (минимума). Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума. Точка x0 называется внутренней точкой множества D, если существует такая окрестность точки x0, которая содержится во множестве D . Необходимое условие экстремума для внутренней точки x0 области определения функции f: Если точка x0 является точкой экстремума функции f и в точке x0 существует производная, то f ‘(x0 ) = 0. Достаточное условие экстремума для внутренней точки x0 области определения функции f: если f ‘(x0) = 0 и при переходе через точку x0 значения производной меняют знак с « + » на « — », то x0 является точкой максимума; если f ‘(x0) = 0 и при переходе через точку x0 значения производной меняют знак с « — » на « + », то x0 является точкой минимума. Правообладатель Народная асвета Упражнения для повторения арифметического и алгебраического материала курса математики 5—11-х классов Упражнения для повторения распределены по тринадцати тематическим разделам: «Действительные числа», «Пропорции. Проценты», «Арифметическая и геометрическая прогрессии», «Алгебраические выражения», «Тригонометрические выраже- ния», «Логарифмические выражения», «Рациональные уравнения и системы уравнений. Рациональные неравенства», «Текстовые задачи», «Иррациональные уравнения и системы уравнений. Иррациональные неравенства», «Тригонометрические уравнения», «Показательные и логарифмические уравнения и системы уравнений. Показательные и логарифмические неравенства», «Производная», «Функции» — и разбиты по сложности на две группы: I и II (в группе II — более трудные задания). Надеемся, что работа над этим материалом поможет повторить, обобщить и закрепить изученное. Желаем успехов! 1. Действительные числа I Найдите значение выражения (1—2). 1. 1) (6,72:33 + . o,gJ .1,21 — 2) 3,075:1,5 — (215 + 3,2б) -1,025. 2. 1) 0,7562 — 0,241 • 0,756 — 0,415 • 0,756; 2) 23 • 17,8 — 3 • 7,2 + 23 • 7,2 -17,8 • 3; ох 9562- 442 382- 172 3) —— + ■ — 4) 456 622 — 322 92 — 22 ’ 712 — 232 + 94 • 42 3. 1) Докажите, что произведение трех последовательных четных чисел делится на 24. 2) Докажите, что сумма двузначного числа и числа, полученного из него перестановкой его цифр, кратна 11. Правообладатель Народная асвета 219 4. 1) Докажите, что при любом нечетном значении а разность а2 — 1 делится на 8. 2) Докажите, что при любом натуральном значении n число n5 — 5n3 + 4n делится на 120. 5. 1) Докажите, что значение выражения (yj 10 + Ws +410 — Ws ‘2 является рациональным числом. 2) Докажите, что значение выражения /17 + ^4 -49 + Л. является иррациональным числом. 6. Упростите выражение: 1) ^/75 + 0,W4s — 0,^/300; 2) (W8 — ^4Ш — 2418) : (.^^/2). 7. Упростите выражение: 1) 3 + у/2 3 — у/2 ; ) 3^/2 3W2; 8. Упростите выражение: 2) ^/7o V35 ^/15 ‘ 1) 3/12 + W5 • 3/12 — W5; 2) ^4 — ^/3 • 3/1 W3 • ^4. 9. Упростите выражение: -0,75. 1) 1000-3 + l-1)^3 — 625 2) (0,001)-3 — 2-2 • 64-| — 8-3 + (50)4 • 5. II 10. Докажите, что: 1) нечетная натуральная степень числа 11, увеличенная на 13, кратна 12; 2) четная натуральная степень числа 9, уменьшенная на 1, кратна 40. Правообладатель Народная асвета 220 11. Докажите, что при четном натуральном n: 1) 7″ — 5п делится на 24; 2) 5″ — 3″ делится на 16. 12. Упростите выражение: 1) 2‘°g26 + 2Jl2,5 + 2sll WT4 2) ^f4

5 — + 3‘°g35. 2sf5 ^/l0 13. Вычислите: 1) (W3 ^/2 У50 W384; 2) (yfS -у1\7W20 W204. 14. Вычислите: 1) (a2 W2)2 -(43 — 3^2); 1) I ; 323 — 316 15. Вычислите: 1 2) 50,5 150,5 — 3 50,5 — 30,5 a — 2 • 150 ) ^^5 — 2,5)2 — i(1,5 ^/5)» )= ^Tfsinif!; 2) 2-»5 ■ cos>4:+ (^(1УЯ)“ — — 2)* При а = 8 найдите значение выражения 7 7 -v/a i4a 4° _1 4° + ij (2_40)[4a+1) II Разложите на множители (59—60). 59. 1) a^ + 2ab + _ 2cd _ d^; 2) _ 2mn + + 2pq _ q^. 60*. 1) (2a _ 3)3 + 1; Сократите дробь (61—63). 2) (3a _ 2)3 _ 27. 61*.1) 62*.1) 63. 1) a3 _ 3a2b + 3ab2 _ b3 a2 + b2 _ 2ab (a2 _ b2)(a2 + ab + b2); 2a2 + 4ab + 2b2 ’ _5X _ 2X2 _ 3 2) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a2 _ b2)(a2 _ ab + b2) 2) — Ц )\u. — U.U -Г i. 5a2 _ 10ab + 5b2 2 + X _ 3 X’ 2 X2 + 3 X Упростите выражение (64—66). 64*.1) 2) 9X2 _ 4 m _ 3 + 18 _ 6m . 5(3 _ m)2 . m _ 3m + 9 27 + m» 54 + 2m 2) 65. 1) m + 1 1 m + 2 + m2 m3 _ 1 m2 + m + 1 1 _ W m3 _ 1 [ + б4я + 5 a + 6^a _ 1 + 4 ; 4a + 1 4a—Г + 1 Правообладатель Народная асвета 227 2) ; + &4а + 8 а + Ц/а — 2 + 6 ■у/а + 4 -у/а — 2 + 4 66. 1) 2) а — 1 |(а2 + а + 2)(а + 1)а ^ а3 — 1 — I а — 1 ’ а + 1 |(а2 + а + 1)(а2 — а + 1) 67. 1) Зная, что = -I, ‘ а — 2b 3 , найдите значение выражения 2а2 + 5аЬ + 3b2 аЬ — b 2 2) Зная, что —2——= -5, найдите значение выражения 2а + 5b b — 7 а ‘ 68*. 1) Зная, что а + — =-4, найдите значение выражения + 2а^ + + -8^. а а 2) Зная, что m — — = 3, найдите значение выражения 2ш^ + 3т^ + — -^. 69. 1) При каких целых n значение выражения 2п + 9n + 13 n + 2 является натуральным числом? 0 4 гг 3n2 + 5n + 3 2) При каких целых n значение выражения ——— являет- ся натуральным числом? n+2 5. Тригонометрические выражения I 70. 1) Известно, что sin а = -и -35—^ 0. Вычислите ^———- ^ ^ ^ 1 — cos 0 3 ctg a 2) Известно, что cos a = и ctg a 0. 2) Укажите корень уравнения -х2 + 7х — 10 = 0, удовлетворяющий неравенству 10 — 3х > 0. Решите неравенство (129—139). 2) х^ + 6ху + 9у^ = 4, 1 on t \ 3 х + 7 2 х + ^^7 — х 0; 0 4 2х + 5 6х — 1 ^ , 2) — -т- > х + 1. 2) 0,6х + 1 ^ 0 2) 5 х + ^°. Правообладатель Народная асвета 234 131. 1) — X — 2 3; 133. 1)зх^-т > 7; 134. T)iX 0. 2) 3 °. 2) 5 X + 3 > 1. X2 + X — 2 2) 3X — ^2 /8 — °; ^ ^ 5 138. 1) x^(x — 4)3(x + 2) > 0; 2) x^(x + 1)2(3x -15) 4. 140. Решите систему неравенств: 1) 3) 2x — 23 > 0, 3x — 40 6; 2) 4) II Решите уравнение (141 —143). 141. 1)|x — 6 = X — 6; 3) |x -1 + 1X + 1 = 8; 142. 1) 3x^ — X — 8 3×2 — X = 2; 3x + 2 > 0, 2 — 5X 0. 2) Vx^ — 10x + 25 = 5 — x; 4) |x + 5| — |X — 3 = 8. 2) 7—3—^ = 3 — X — X ^. 1 + X + X2 143. 1) (x^ — 5x + 2)(x^ — 5x -1) = 28; 2) (x^ + X — 2)(x^ + x) = 24; 3) (x — 4)(x — 5)(X — 6)(X — 7) = 1680; 4) (x — 1)(x — 7)(x — 4)(x + 2) = 40. Правообладатель Народная асвета 235 Решите систему уравнений (144—146). 144. 1) 3) 4) 145. 1) 3) 146. 1) (x^ — 5x + 2)2. 1) 3) 1) 3) 2) 4) 3x + 2ay = 11, 5x -10y = 23; 11x — 4ay = 19, 12ax + 7y = 15. 159. 1) —7x 28)(x 8) > 0; ^ (x + 2)2(5 — x) 2) (x2 + 5x — 24)(x + 2)5 ^ 0 ) (x — 5)4(12 — 6x) ^ . Правообладатель Народная асвета 237 8. Текстовые задачи I 160. Если числитель дроби уменьшить на 1, а знаменатель дроби увеличить на 1, то получится дробь, равная -I, а если числитель дроби уменьшить на 5, а знаменатель дроби увеличить на 5, то получится дробь Найдите дробь. 161. Числитель дроби на 3 меньше ее знаменателя. Сумма дроби и обратной ей дроби в 7,25 раза больше исходной. Найдите исходную дробь. 162. Сумма цифр двузначного числа равна 7. Если цифру десятков увеличить на 3, а цифру единиц уменьшить на 3, то полученное число будет записано теми же цифрами, что и исходное. Найдите исходное число. 163. В разряде десятков двузначного числа стоит цифра, которая на 3 больше цифры, стоящей в разряде единиц. Сумма квадратов цифр числа, сложенная с квадратом самого числа, равна 2733. Найдите число. 164. Моторная лодка прошла по течению реки 14 км, а затем 9 км против течения, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость течения реки, если скорость моторной лодки в стоячей воде равна 5 км/ч. 165. Юра и Игорь, одновременно выехавшие на велосипедах навстречу друг другу из деревень Золотухино и Жуки, сближаются со скоростью 40 км/ч. Если они увеличат скорость сближения на 10 км/ч, то встретятся на 18 мин раньше. Каково расстояние между деревнями Золотухино и Жуки? 166. Мотоциклист Костя едет из деревни Онуфрино со скоростью 60 км/ч. Если он уменьшит скорость движения в два раза, то приедет в поселок Ананичи на 4 ч позже намеченного. Какой путь надо проехать Косте от Онуфрино до Ананичей? 167. Бригада строителей сдала в эксплуатацию объект на 4 дня быстрее, чем другая бригада, работающая на таком же объек- Правообладатель Народная асвета 238 те. За сколько дней каждая бригада может построить объект, если, работая до этого совместно, за 24 дня они построили 5 таких объектов? 168. В бассейн проведены две трубы. Через первую трубу он наполняется на 12 ч быстрее, чем через вторую. После того как первая труба действовала 10 ч, ее закрыли и открыли вторую, через которую бассейн наполнился за 16 ч. За сколько часов через каждую трубу отдельно можно наполнить пустой бассейн? 169. Теплоход загружается подъемными кранами. Сначала работали краны одинаковой мощности. Через 2 ч погрузки к ним присоединились краны меньшей мощности, и после этого погрузка теплохода была окончена через 3 ч. Если бы все краны начали работать одновременно, то погрузка была бы окончена через 4 ч 30 мин. За сколько часов краны каждой мощности выполнили бы всю погрузку, работая отдельно? 170. Двое рабочих, из которых второй начинает работать на 1-1 дня позже первого, могут выполнить работу за 7 дней. Если бы эту работу выполнял каждый отдельно, то первому потребовалось бы на 3 дня больше, чем второму. Сколько дней нужно каждому рабочему, чтобы выполнить работу отдельно? 171. На машиностроительном заводе разработали новый тип детали для генераторов. Из 875 кг металла стали делать на 3 детали больше, чем делали деталей старого типа из 900 кг. Определите массы деталей нового и старого типов, если две детали нового типа легче одной детали старого типа на 0,1 т. 172. Для промывания фотографических негативов служит ванна, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда размером 20 X 90 X 25 см. Для постоянного обновления вода поступает в ванну через один кран и одновременно вытекает через другой. Чтобы полностью опорожнить ванну посредством второго крана, требуется на 5 мин меньше времени, чем для наполнения ее через первый кран при закрытом втором. Если же открыть оба крана, то полная ванна опорожнится за 1 ч. Найдите количество воды, пропускаемое каждым краном за 1 мин. Правообладатель Народная асвета 239 173. 20 % возраста бабушки Веры Александровны на 12 лет больше 30 % возраста внучки Анны, а 10 % возраста бабушки на 3 года меньше 60 % возраста Анны. Сколько лет Вере Александровне и сколько лет Анне? 174. 40 % числа самостоятельно сделанных Антоном домашних заданий по алгебре на 11 больше 20 % числа списанных заданий, а 10 % числа самостоятельно сделанных заданий на 6 меньше 40 % числа списанных. Найдите число домашних заданий по алгебре, выполненных Антоном самостоятельно, и число списанных. 175. Имеются 15-процентный и 35-процентный растворы соли. Сколько надо взять каждого раствора, чтобы получить 600 г 30-процентного раствора? 176. В одном сплаве содержится 60 % олова, а в другом — 80 %. Сколько надо взять каждого сплава, чтобы получить из них 170 кг нового сплава, в котором олово составляет 65 %? 177. Имеется 600 г серебра 835-й пробы. Сколько чистого серебра надо добавить к этим 600 г, чтобы получить серебро 875-й пробы? 178. На первой полке было на 15 книг больше, чем на второй. После того как на первой полке книг стало больше на 10 %, а на второй — на 20 %, число книг на первой полке составило ■21 числа книг на обеих полках. Сколько книг стало на каждой полке? II 179. Два двузначных числа поочередно приписывают друг к другу. Разность получившихся четырехзначных чисел равна 2178. Найдите эти двузначные числа, если их сумма равна 68. 180. Сумма цифр четырехзначного числа равна 15. Отношение двузначного числа, записанного первыми двумя цифрами, к числу, записанному последними двумя цифрами, равно Ц. Найдите четырехзначное число. 181. При делении третьего числа на первое в частном получилось 2, а в остатке 3. При делении второго числа на первое в частном Правообладатель Народная асвета 240 получилось 1, а в остатке 2. Найдите эти три числа, если сумма второго и третьего на 1 больше квадрата первого числа. 182. Заработная плата повысилась на 5 %, а цены на товар снизились на 16 %. На сколько процентов повысилась покупательская способность потребителей? 183. Через три крана цистерна может быть освобождена от содержащейся в ней жидкости за 4 ч 48 мин. Чтобы освободить цистерну только с помощью первого и второго кранов, понадобится в 1,5 раза больше времени, чем с помощью третьего крана. С помощью второго и третьего кранов цистерна будет освобождена от содержимого в 6,5 раза быстрее, чем с помощью только первого крана. За какое время цистерна может быть освобождена от содержимого с помощью каждого крана отдельно? 184. Бак наполняется водой из двух кранов, причем первый кран открыли на 5 ч раньше второго. Если бы первый кран был открыт столько времени, сколько был открыт второй, а второй — столько, сколько был открыт первый, то из первого крана в бак попало бы вдвое меньше воды, чем из второго. Если открыть оба крана одновременно, то бак наполнится за 17 ч. Сколько времени был открыт второй кран? 185. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист с постоянной скоростью 20 км/ч. Когда он проехал 8:1 км, его догнал автомобиль, который выехал из А через 15 мин после велосипедиста. После этого велосипедист, проехав еще 25 км, встретил автомобиль, который, доехав до пункта В и отдохнув 0,5 ч, развернулся и поехал в пункт А. Найдите расстояние между пунктами А и В, если скорость автомобиля постоянна. 186. Два поезда выехали из города А в город В с интервалом 5 ч и одновременно прибыли в город В. Когда первый поезд находился в середине пути, второй отставал от него на 225 км, а за час до прибытия расстояние между поездами было равно 30 км. Найдите скорости поездов и расстояние между городами. Правообладатель Народная асвета 241 187. Пункт С расположен в 12 км от пункта В вниз по течению реки. Рыбак отправился на лодке в пункт С из пункта А, расположенного выше пункта В. Через 2,5 ч он прибыл в пункт С. На обратный путь было затрачено 5 ч. Поставив на лодку двигатель, рыбак увеличил собственную скорость лодки в 3 раза и приплыл из пункта А в пункт В за 24 мин. Найдите скорость течения реки. 9. Иррациональные уравнения и системы уравнений. Иррациональные неравенства I Решите уравнение (188—192). 188. 1) Vl6x^ + 16х + 29 = 5; 3) 45х^ + 23x + 246 = 4; 189. 1)9зХ+<7 >

у x + 5 = 4; Решите неравенство (193—194). 193. 1) ,/0,4x + 1 3; 2) 39x^ -12x + 85 = 9; 4) 37x^ — 52x + 102 = 3. 2)/5 x + 2 f 5 x + 22 = -1. 2) s/x + 316 — x = 4; 4) 3x + 1 -3x — 7 = 2. 2) 313 — x — 322 + x =-1; 4) 3x» -1 • 42x + 1 = 0; 6)3×3 — 3^ = 1. 2) 31 — 0,1x -2. Правообладатель Народная асвета 242 194. 1) Wx — 4x > 1; 2) \U[x — 4 x > 6; 3) y/x + 7 > ^-1 -x; 4) 45x + 4 J4x^ -y^ = 0, [x + y ^y^ — 4x^ = 5; [x — y ^4x^ — y^ = 1. 207. Решите уравнение с неизвестным х: 1) yjx — 4 = a; 2) Vx + 1 = -a; 3) ^x — 4 +^fx = 0; 4) Vx — 6 + a^ | x | = 0; 5) Vx + a + x — 1 = 3; 6) Vx — a — у/x + 1 = 4. 10. Тригонометрические уравнения I Решите уравнение (208—214). 208. 1) cos2x ^\/2sinx = 1; 3) 6cos2 x — 5sinx + 5 = 0; 209. 1) sin3 x = 2sin2x; 2) tgx — 5tg ’ U/ 16’ 3) 23″-2 + 23″-1 > 6; 5) 2 • 3″ — 9″ + 3 > 0; 9х — 81 7) х2 + 10х + 21 > 0; 229. 1) log4 х + log4(x -12) > 3; 3) lg9x=+2f 0; 2) ()3-0’5х2 4; 4) lg7x=+^ 1; 3) (х + 4)(8 — х) lg(x -1) 0. II Решите уравнение (231—235). 231. 1) 27х — 3 • 18х — 12х + 3 • 23х = 0; 2) 8х — 2 • 20х + 3 • 50х — 6 • 53х = 0; 3) 7х + 24х = 25х; 4) 12х + 5х = 13х. 232. 1) 3х • 8х+1 = 36; 3) x2^°g4х = 4т; х2 233. 1) log х-1 (х -1) = 2; |2 х — 3| 2) log х-2 (х — 2) = 2; 2 х-5 3) logз(5x + 1) + log5x+13 = 4’25; 4) log4(3x + 1) + logзx+14 = 3,1. х 2) Гх • 8х-1 = 100: 4) x2^°gl6х = 64 4х Правообладатель Народная асвета 248 234. 1) log20i^16 — 5x = log20i4(2x — 5); 2) log2013 »J11x — 18 = log2013(2X — 9)- 235*. 1) logsin(2n—x)(cos2 x + 0,5sin2x + 1) = 0; 2) logcos(2n—x)(cos2x + sinx) = 0236. 1) При каких значениях а уравнение 4x — (a + 1) • 2x + 2a — 2 = 0 имеет один корень? 2) При каких значениях а уравнение 4(a — 1) x2 + 2(a+3) x+a = 1 = Те имеет один корень? 237. Решите уравнение относительно х: 1) lg(x — 3) = lg(2x + a); 2) log0,25(x^ — 7x — a) = log0,5(x + 3). Решите систему уравнений (238—239). 0,5logxg + 2log^x = 2, 54x ^Jy = 4; 3x • 2y = 1152, Jog/g(y — x) = 2; Решите неравенство (240—242). 238. 1) 239. 1) 2) 2) pog xy + log yx = 2,5, [3^fx — yfy = 2. f3x • 2y = 576, po^2(y — x) = 4. 240 1) (log25) (log25) ^ 0′ ■ (log2 5)-x + x log2x 5 ’ 241. 1) (2 W3)x — 3(2 W3)x + 2 ^/5 — 2)»^. 2) (log3 2)x — (log3 2)2 ^ 0 ) (log3 2)—x + x log3x 2 . 242*.1) 39 x2—2 — 6 > 3; 2) 24 x2 —5 — 9 0; 4) -1О0 0. V ^ 20 1) 68; 3) (-5)21; 5) 210″ + 4. 2) а10; 4) (-ш)22; 6) (61)14. Например, 1) 28 • 28; 3) а2 ■ а3; 5) 43 • 48; 7) 13а • 132а; 9) (7р)9 • (7p)10; 11) (-p)10 • (-p)10. 2) 33; 4) X8; 6) а4; 8) 172n — ‘; 10) (-0,8)^ — 6. П’6, 1.7. Например, 1) 48 : 44; 3) ^-: ^-^j; 5) a3t : a2t; 7) b 1.8, 1.9, .10. .11. .12. .13. .14. .15. .16. .17. 2) 56; 4) ; 6) (-5)16; 8) (-3)4p. 1) Нет. 2) ik y5; 4) -512а3; 6) 1000x6y‘5. 4 4 ^ ox X . 4; 3) 6 ’ i\X . Q\X . а b 1) -t; 3) -r; 5) y y 25c 8 ■ .18. 2) 2) ^r; 4) —^pr; 6) -1^; 8) ——-^-r^. 65 ‘ (-8)13 ‘ y12 ‘ (-4У)16 1) i; 3) 16; 5) ^^; 7) X; 9) 1; 11) 1. 64 15 2) 21-12; 4) (-а)-27; 6) 19-1; 8) 4-3. 1) 27 x6y16; 3) 4 а3y2. 2) -4а* — 6b8 — 2kc2k — 3; 4) 1 x-6y-‘8. 1) -2048. 67 131 .19. 1) 4/103 > 10; 3) -17 > ^290; 5) ^/74; 7) 4л/80 98. .73. 1) Увеличить в 92 раз; 3) увеличить в 98 раз. .74. 2) 8; 4) -64; 6) 1. .75. 1) 0; 625; 3) 16; 81; 5) 1; 1024. .76. 2) 2; 4) 84; 6) -2; 8) 14. .77. 1) 2; 3) 3. .78. 2) 68; 4) 2. .79. 1) 2; 3) 3; 5) 15. .80. 2) 22; 4) 15,5. 3 .81. 1) ; 3) — О-27-; 5) -950xy^; 7) a^b^^b2. 23 x2 Ml a7x3 .82. 2) 32a2; 4) 39a; 6) M. 2a .83. 1) 2a9b2m — 3m2; 3) a — b + 3а2Ь — 9ab2. .84. 2) a9a; 4 ) 3292; 6) a69a2x4; 8) -■298/-8г. .85. 1) 2. a ^a .86. 2 ) 298; 4) -792; 6) 1098; 8) -293. .87 1) x^9b-; 3) ; 5) 9X2; 7) ‘ by\ b y 2 n 88. 2) 9l024x6y5; 4) Ц-12m5n2; 6) s/^; 8) 3^ +1. V a3 V m3 89. 1) 929; 3) — 99; 5) 99; 7) 652. 5 3 3 90. 2) ; 4) (/2 — 1)^(t27r)2; 6) 5x + 4. 9) 3 -VУr. x^ x2y2 1.91. 1) -1); 3) m(m9m 2+ 3^m + 9); 5) з/99 — 94\; 7) 2+^ k -1 ^ m2 — 2^ ^ ^ 40 Правообладатель Народная асвета 258 1.92. 1.93. 1.94. 1.95. 1.96. 1.97. 1.98. .99. 1.100. 1.101. 2) -15; 4) 57,5; 6) нет корней; 8) -11; 7. 1) 3; 3) -2,36; 5) -2; 5. 2) 150; 4) 24; 6) 0,2; 8) 1,5. 1) 200; 3) 4; 5) 0,24. 2) 49; 4) 36; 6) 7х2; 8) 2с2; 10) а4| с |; 12) 3 х|^2. 1) 21 а3 |с2”; 3) 2а2”64. ‘ 2^ ’ 3 2) W3; 4) ^/2; 6) 5^2; 8) 2^5; 10) 1|^||; 12) |4з. 1) Wx; 3) а4а; 5) 2а; 7) -|^J2ab2. ^ \2 ’ 2 х|^ 4 3y3 2) ^/54; 4) ^i|; 6) ^В^Х^У4; 8) 4а4^. I) -иП; 3) ш2я1/я; 5) -4mjn; 7) m2n^fm; 9) шя- II) -mn^yj-m. 1.102. 1.103. 1.104. 1.105. 1.106. 1.107. 1.108. 1.109. .110. .111. .112. .113. .114. .115. 2) W-m3; 4) -^m^n; 6) ^Om6; 8) -|2(m 4) V 1 — m 5 1) 3; 3) 4; 5) 6; 7) 5; 9) 2,5. 2) 4) 4 x y la2b3 1) 2; 3) ^/7 ^/3; 5) ^/2 + 1. 2) W3; 4) 6125; 6) -^^^; 8) 948. 1) yja b ; 3) (a + b)4(a — b)3; 5) 4(a2 + b2)3. a — b ’ 2) ^/6^+1; 4) -6) ^/^ ^/6; 8) 16^/7 ^/o)4; 10) -9(43 W2)(2 W3). 3^/3 W5 -2)УУГЗ -2^^ ^loУУ5 ^/3 ^Уз) ) 2 ; ) 2 ; 5) -4^/2 + 1)^/3 W2); 7) (2 W3 — ^/ilK7 — W3). 2) t > 0; 4) t > 0; 6) t 4; 3) k > 2. 2) -1,5; 4) нет корней; 6) 3; 8) -1,4; 2. 1) 7; 3) 2; 5) 26. 2) 625; 4) 84. 1) -2; 3) 0,5; 5) 12. Правообладатель Народная асвета 259 1.117. 1.118. 1.119. 1.120. 1.121. 1.122. 1.123. 1.124. 1.125. 1.126. 1.127. 1.129. 1.130. 1.131. 1.132. 1.134. 1.135. 1) Да; 3) нет; 5) нет; 7) да. 2) 25; 4) -^^; 6) —. ‘ ^ ‘ 7 ’ 7 9/2. 2 ; 9/5 4 . 2) 13,5; 4) 2|; 6) 9/2 -2. \n-1 4) bn =50^3 1) 2; 3) 12. 2) bn = 200 (1) Нет; 3) да. 2) 1,5. 1) а2. 2) 3; 4) 5; 6) 1. 1) 0,(1); 3) 0,(001); 5) 0,(00001). 1) 0,(7); 3) 0,(4); 5) 0,(5). 2) 9^; 4) 451; 6) 3149; 8) 81159. 39 99^ 99 4950 1) 0,(66); 3) 0,9(2). 2) 1,6; 4) 2,5. 4 -3 1 3 — 3 4 — 2 4 2) X5; 4) с 7; 6) х4 у4; 8) a 5 b5; 10) (m — n) 3; 12) (a4 — b3)7. 1) 6x, ^^, 432b5 , W^^1, 83d»2; 3) 5m + n, 4(m2 + n2)3 , 4(m3 + n3)-5 , ^(m + 2n)-2 , 4

(m + n)-1 , 65(m + n)-4 . 2) 11, 9^, -4, -3, -^, 3; 4) 0,5, 1000, ^, ^, 64, 125. 9 19 9 4 129 ^ 19 27 1.136 1.137. 1) Да; 3) да; 5) нет; 7) нет; 9) да 1.138 1.139 1.140 2) -^^; 4) 240; 6) 1; 8) —. ^ 229 ^ 2^^ ^ 32 1) -^4; 3) 1,8; 5) 15. 2) 29; 4) 84|; 6) 12. .141. .142. .143. .144. 1) 182; 3) ^. 2) Да; 4) нет; 6) да; 8) да. 1) [0; +ТО); 3) (0; +^); 5) R; 7) (0; +^); 9) R; 11) [0; +^). 2) [-3; +^); 4) (0; +^); 6) (-1; +“); 8) [-3; +^); 10) [-2; +^); 12) (5; +^). Правообладатель Народная асвета 260 1.145. 1.146. 1.147. 1.148. 1) (-то; -2] и [2; +^); 3) (-^; 0] и [5; +^); 5) (-^; 2) и (4; +^); 7) (-^; -2) и (i3; +то); 9) (-1; .7). 2) (-то; 1); 4) (-то; -1,5) U (1; +то). 1) J + 2пп, n е Z; 3) пп; —+пп . 4 . , п е Z; 5) не существует; 7) —^ + 2пп, п е Z; 9) [2пп; п + 2пп], п е Z. 3 3 2) (^8)5 > 1; 4) (89)-5 2 . 1 -11 1) t6; 3) t 5; 5) 14. 31 17 ^ — A A 1) a12 b15 ; 3) a 12 b12 . 2) b3,25; 4) b-1. 1) 27; 3) 3; 5) 10; 7) 4; 9) 1. 2) 20; 4) 2; 6) 22. 1) 4; 3) 77; 5) JL; 7) 1; 9) 25. A 2A 1A 6 2) 147; 4) 847. 1) 1; 3) 16. 1 2 2 2) 2×2 + x; 4) a2b 3 — a3 b2. 1) a2 (a2 + 1); 3) a6 (a6 + 1); 5) a4 (a4 + 1); 7) a6 (a2 — 1j; 2/ 7 11 \ 9) a9 (a9 + a18 — 1j. 5/13 5\ 1 2/ 1 \ 1 A 1/ A 2 1\ 2) a8 (a8b4 — c8 j; 4) 5a6c3 (a6c + 3j; 6) 26 a10 b3 (a10 b3 — 23 j. — 7 — 4 -1 5 -1 2) 3-‘ + 2 • 3 6 + 3 3; 4) m5 + п 2 — 2m2 п 4; ^ 35 6) 16t3 + 25d 3 + 40t2 d3. 4 -1 11 1.165. 1) a2 — b; 3) a — c^2; 5) 16a5 — t 2; 7) 9b; 9) -40b5 c 2. .153. .154. .155. .156. .157. .158. .159. .160. .161. .162. .164. Правообладатель Народная асвета 3 261 .166. 2) —; 4) i. ^6^ ^2 .167. 1) (a2 — 1l)(a2 + 1l); 3) [n — уЦ) 1.181.1) (^4)0’2. 3 )6, Г’ 3) 35)-4, (D1, (t)-1; 5) ^/5 — l)2, -ТоЗз, 0,3. 2) (1 )-5 > 1; 4) (53)-3 > 1; 6) ( ‘7’ v3, 7 )-3 10) (^3 ^ L 1 3 > 1; 12) b/5 2) 1 8 m9,3; 3) m^23,5 m^0,28. 2) a-18 a5,001. 1) a > b; 3) a > b; 5) a > b. ^ > m0,9; 7) m2 a 4; 1.186. 2) a > b; 4) a > b; 6) a b. 1.187. 1) m 1; 5) m 1. 1.188. 2) m > 1; 4) m > 1; 6) m (tg0)». 1.192. 2) 64; 4) 4; 6) 2. 1.193. 1) 4; 3) 5. 1.194. 2) (-^; -2) U (-2; +^); 4) (-^; — 3) U ^j|-; +^j; 6) (-^; -4] U [-2; 2]; 8) (0; 1]. 13 1.195. 1) 2; 3) i; 5) i; 7) i; 9) i. 1.196. 2) [0; +^); 4) [0; +^); 6) [0; +^). 1.197. 1) 0 — наибольшее значение; -20 — наименьшее значение; 3) -0,05 — наибольшее значение; -125 — наименьшее значение. 1.198. 2) (0; 0), (1; 1); 4) не пересекаются. 1.206. К 1.201. 1) а) [0; +“); б) [0; +“); в) у > 0 при х > 0, у не принимает отрицательных значений; г) (0; 0); 3) а) R; б) [0; +^); в) у > 0 при х ф 0, у не принимает отрицательных значений; г) (0; 0); 5) а) [0; +^); б) [0; +^); в) у > 0 при х > 0, у не принимает отрицательных значений; г) (0; 0). К 1.202. 2) а) [0; +^); б) [0; +^); в) у > 0 при х > 0, у не принимает отрицательных значений; г) (0; 0); 4) а) [0; +“); б) [0; +“); в) у > 0 при х > 0, у не Правообладатель Народная асвета 263 принимает отрицательных значений; г) (0; 0); 6) а) [0; +^); б) [0; +^); в) у > 0 при X > 0, у не принимает отрицательных значений; г) (0; 0). К 1.203. 1) а) [0; +“); б) [2; +“); в) у > 0 при x е [0; +“), у не принимает отрицательных значений; г) (0; 2); 3) а) [0; +^); б) [-3; +^); в) у > 0 при X > 159, у 0 при X > 92, у 0 при X > 1, у не принимает отрицательных значений; г) (1; 0); 4) а) R; б) [0; +^); в) у > 0 при X ^ 2, у не принимает отрицательных значений; г) (0; 226), (2; 0); б) а) [3; +^); б) [0; +^); в) у > 0 при X > 3, у не принимает отрицательных значений; г) (3; 0). К 1.205. 1) а) R; б) [-1; +“); в) у > 0 при X е (-“; -3) и (-1; +^), у 0 при X ^ -1, у не принимает отрицательных значений; г) (0; 3); 7 5) а) [-3; +“); б) [-3; +“); в) у > 0 при X > — 3 + 329 , у 0,23″; 4) 2,78″ > 6,9″; 6) ctgj^-j» >^2sin 2 3 1.213. 1) X-2 X-3,4; 5) X-0,58 X-4,5; 8) X 4 0 при х ^ 0, у не принимает отрицательных значений; г) нет; 4) а) (-^; 0) U (0; +^); б) (-“; 0) и (0; +“); в) у > 0 при х > 0, у 0 при х > 0, у не принимает отрицательных значений. К 1.225. 1) а) [0; +“); б) [0; +“); в) у > 0 при х > 0, у не принимает отрицательных значений; г) (0; 0); 3) а) (-“; 0) и (0; +“); б) (-“; 0) и (0; +“); в) у > 0 при х > 0, у 0 при х > 0, у 0 при х е (-“; -1) и (0; +“), у 0 при х е (-1; 0) и (0; 1), у 0 при х е (0^^^х27), у 0 при х > -1, у не принимает отрицательных значений; г) (0; 1); 3) а) (-“; 2) и (2; +“); б) у > 0 при х > 2, у 0 при х > 3, у 0 при х е (-3; -2), у 0 при х > -2, у не принимает отрицательных значений; г) (^0; 3 + 2 2 j; б) а) (1; +^); б) (2; +^); в) у > 0 при х > 1, у не принимает отрицательных значений; г) нет. 1.230. 2) а) (-“; 0) и (0; +“); б) (0; +“); в) промежуток возрастания (-“; 0), промежуток убывания (0; +“); 4) а) (-“; 0) и (0; +“); б) (0; +“); в) промежуток возрастания (-^; 0), промежуток убывания (0; +^); б) а) (-“; -1) и (-1; +^); б) (0; +^), в) промежуток возрастания (-^; -1), промежуток убывания (-1; +“); 8) а) (-“; 2) и (2; +“); б) (0; +“); в) промежуток возрастания (-^; 2), промежуток убывания (2; +^); 10) а) (-“; 3) и (3; +“); б) (-2; +“); в) промежуток возрастания (-“; 3); промежуток убывания (3; +“); 12) а) (-“; -2) и (-2; +“); б) (-4; +“); в) промежуток возрастания (-^; -2); промежуток убывания (-2; +^). 1.231. 1) ^; 3) i; 5) -i; 7) ±3; 9) ±2. Правообладатель Народная асвета 265 .232. .233. .234. .235. .236. .237. .238. .239. .240. .241. .242. .243. .244. .245. .246. .247. .248. .249 .250 .251 .252 .253 .254 .255 .256 .257 .258 .259 .260 .261, .262. .263 2,. > i; 4) (о; 5); 6> (о; J.). 5 1) Нет корней; 3) нет корней; 5) нет корней; 7) нет корней. 2) 6; 4) -5; 3; 6) -3; 8. 1) 2; 3) ±9; 5) -21; 7) 4. 2) —; 1; 4) -8; -6. 5 1) 1; 3) ±2; 5) -7; 3. 2) 1о; 4) 2; 3; 6; -8. 1) 2; 3) -2; 5) 3; 7) 3. 2) Нет корней; 4) о. 1) ^4; 3) 2. 2) 6; 4) |; 6) 17. 1) 3; 3) -1; 2; 5) 2; 5; 8. 2) -6; 9; 4) -8; 5; 6) ±5. 1) -1; 2; 4; 3) -6; 7. 2) 16; 4) 1; 6) 1. 1) a > -4; 3) a > 2; 5) a 0; 4) х = 3, х = a, если a > 3; X = 3, если a 0; 8) х = 2, если a > -2; нет корней, если a 7; 4) нет решений; 6) х > -2; 8) 2) -2 1; 4) х > 4; 6) 0 1, х = 0; 5) 0 1. Правообладатель Народная асвета 266 1.264. 1.265. 1.266. 2.1. 2) 2; 4) 1 1; 3) -1 3 4;7) 0,11 2 = 0,11tg0 2) 25; 4) 27; 6) 8; 8) 81. 1) 2; 3) 2; 5) ^/5; 7) 0,008; 9) 7. 7n 2) 7->2; 4) 1. 1) 2m л/2 m’^ — ; 3) -1; 5) m^’^ — n^’^. S V5 2) + n^10; 4) m 3 — n 3 ; 6) (m+ 3)(1 — m’). 1) 4; 3) -IS1—-; 5) 4a^2^ a» + 1 2) Нет; 4) да; 6) нет; 8) да. 1) 1,8; 3) 0,3; 5) 0,8; 7) 3,1. 2) 3; 4) 0,5; 6) 2. 1) 5. 2) 5. 1) (3; 8); 3) (-2; 9). 2) Нет; 4) да. 1) Да; 3) да. 2) Нет; 4) да. Правообладатель Народная асвета 267 2.21. 1) 1,80 = 1; 3) 4.31’5 (i)’’6; 7) i^lY3 3 2.22. 2.23. 9) ^/3si»^ > (tpJsiWs. 2) Убывающая; 4) убывающая; 6) убывающая; 8) убывающая; 10) убывающая; 12) возрастающая. 1) а) 3; б) [-2; 1]; в) ^ -i-; 3j; г) возрастает на промежутке [-2; 1], промежутков убывания нет; д) (0; 1); е) у\ = -1-; У2 = 3; ж) наибольшее значение 3, наименьшее значение 1; 3) а) 1; б) [-2; -1]; в) [2; 4]; г) промежутков возрастания нет, убывает на промежутке [-2; -1]; д) нет; е) у\ = 2, У2 нет; ж) наибольшее значение 4, наименьшее значение 2. 2) [0; +^); 4) (-^; -2) и (-2; 2) и (2; +^); 6) (-^; -3) и (-3; 3) и (3; +^); 8) (-то; -8] и [8; +то). 2.25. 1) R; 3) x фП1, n е Z; 5) x фП + ^п, n е Z; 7) x фП + 2пп, n е Z; 2.24. 9) [пп; ■!+’ п е Z. 2.26. 2.27. 2.28. 2.29. 2.30. 2.39. 2.40. 2.41. 2.42. 2.43. 2.44. 2.45. 2.46. 2.47. 2.48. 2.49. 2.50. 2.51. 2) Нет; 4) наибольшее значение 1, наименьшего значения нет. 1) Наименьшее значение 2,5; наибольшее значение 10; 3) оба значения рав- ны 0,3; 5) оба значения равны 11; 7) наименьшее значение 6, наибольшее значение 36. 9 2) Наименьшее значение 6 4 , наибольшего значения нет; 4) наименьшего значения нет, наибольшее значение 512,25. 1) R; 3) R. 2) x 0. 1) 3; 3) 4; 5) -3; 7) -1; 9) нет корней. 2) -1,6; 4) -1; 0; 6) -5; 5; 8) -2; 2; 8. 1) 3; 3) 3,5; 5) -1,5; 7) 3; 9) нет корней. 2) 2,6; 4) -7; 6) 0; 0,5. 1) 1; 3) 1; 5) 0. 2) 2,5; 4) 9; 6) -1. 1) -0,2; 3) -4; 5) 26,5; 7) 6. 2) 2,5; 4) 6,5; 6) 2; 8) 45. 1) -2; 4; 3) -2; 5. 2) 5; 4) 35. 1) 2; 3) 3; 5) 2. 2) 1; 5; 4) ±2. 1) 3; 3) 4; 5) 0; 7) 2. Правообладатель Народная асвета 268 2.52. 2.53. 2.54. 2.55. 2.56. 2.57. 2.58. 2.59. 2.60. 2.61. 2.62. 2.63. 2.64. 2.65. 2.66. 2.67. 2.68. 2.69. 2.70. 2.71. 2.72. 2.73. 2.74. 2.75. 2.76. 2.77. 2.78. 2.79. 2.80. 2.81. 2.82. 2) 2; 4) 2; 6) -5. 1) 0; 3) 2; 5) 0; 1; 7) 1. 2) -1; 1; 4) 3. 1) 1; 3) 1; 5) 2. 2) -1; 4; 4) 1; 2; 6) 2; 8) ±1. 1) 1; 3) 2. 2) 6. 1) 2. 2) -2. 1) 0; 4; 3) ±^^^; 5) -4; 0. 2) -1; 4) -0,6. 1) 1; 3) -3. 2) -п. 1) п + пп, n е Z; 3) ±п + пп, n е Z. ‘2 4 о\_1_^1 ‘7. /1\ / 1\П+1 п пп ^. Г’\ / 1\П+15п 5пп /у 2) ±3 + пп, п е Z; 4) (-1) + “^, п е Z; 6) (-1) + ^^, п е Z. 1) 8 + 3-, п е Z; 3) (-1) 36 + зп, п е Z. 2) 7. 1) ±3 + 2пп, п е Z. 2) -2 /2 = log252,5^. 2.94. 2) -3 = logoilOOO, -3 = log20,125, -3 = logi 27, -3 = log Xx3’ -3 = logx-^—^:я, -3 = log„2 ^Te; 4) -1 = l°go,n/To; -2 = log^J9, •(X — 2)3 -1 = log^/|, -1 = log^^TX ’

2 = log X-%/X-2 ’ 2 = logm2U; Правообладатель Народная асвета 4 3 270 6) 2 = logo,i0.01. 2 = log2 4. 2 = logi1, 2 = iog^x2, 2 = log^_2(x — 2)2, 3 9 2 = log 2 m4; 8) 1 = logoi0,1, 1 = log22, 1 = logi i, 1 = logxX, m 3 3 1 = logx-2(x — 2), 1 = logm2 m2; 10) 11 = log0,130,T, -З = log232, 11 = l0gi зTз, 1 = logx 3X, 1 = logx — 23 X — 2’ 3 = logm2 V™2; 12)10 = log010,110, 10 = log21024, 10 = log^^, 10 = logXx10, ’ 3 3 10 = logx-2(x — 2)10, 10 = log 2 m20. 2.95. 1) 2; 3) -3; 5) -0,5; 7) 0,4. 2.96. 2) 3; 4) ^y; 6) 27; 8) 43. 2.97. 1) -1; 3) 3; 5) 16; 7) 256. 16 2 2.98. 2) 1; 4) 0; 6) -3; 8) -9. 2.99. 1) 4; 3) -1; 5) -2; 7) 5; 9) 1,2. 2.100. 2) 0; 4) 1; 6) 5; 8) -0,125. 2.101. 1) 0; 3) 0,25; 5) -0,5; 7) 0,5. 2.102. 2) 1; 4) 0,75. 2.103. 1) 18; 3) 1; 5) 1; 7) 7; 9) 3,6. 2.104. 2) 16; 4) 36; 6) -V; 8) 27. 16 2.105. 1) 20; 3) 2,5; 5) 6^3; 7) 8; 9) 40 000. 2.106. 2) 1; 4) 0,5; 6) 2; 8) 2. 2.107. 1) 22; 3) 5; 5) 1; 7) 10; 9) |. 2.108. 2) 10; 4) 1; 6) 4T9; 8) 100. 2.109. 1) 4; 3) 1; 5) 2; 7) 5; 9) нет корней; 11) нет корней. 2.110. 2) log62; 4) -log212; 6) log0,864; 8) lg2. 2.111. 1) Да; 3) нет; 5) нет; 7) нет. 2.112. 2) 2 и 3; 4) -3 и -2; 6) 0 и 1. 2.113. 1) 1; 3) 2; 5) 2. 2.114. 2) 2; 4) -3; 6) 0,5. ,1. 2.115. 1) 13; 3) -3; 5) 0,5. 2.116. 2) 44log74; 4) ^3log511. 2.117. 1) 2; 3) -3; 5) -0,375. Правообладатель Народная асвета 271 2.118. 2) 0,8; 4) -3,5; 6) 2; 8) -0,5. 2.119. 1) 6; 3) 2; 5) 1; 7) 4; 9) -2. 2.120. 2) 1,5; 4) -2; 6) -2. 2.121. 1) 0,5; 3) 2; 5) 0,5; 7) 1,125. 2.122. 2) -0,25; 4) -2; 6) 1. 2.123. 1) -1; 3) -1; 5) 2. 2.124. 2) 1,5; 4) -1; 6) 2. 2.125. 1) log62; 3) log^9. 15 2.126. 2) Да; 4) да; 6) нет; 8) нет; 10) да; 12) нет. 2.127. 1) 1; 3) 5; 5) 8; 7) -21. 2.128. 2) 5; 4) 2; 6) 5. 2.129. 1) 10; 3) 6. 2.130. 2) 11; 4) 8. 2.131. 1) 4; 3) 1. 2.132. 2) 6; 4) 10. 2.133. 1) m + n; 3) 3m + 2n; 5) 2m + n. 2.134. 2) m+2. 2.135. 2.136. 2.137. 2.138. 2.139. 2.140. 2.141. 2.142. 2.143. 2.144. 2.145. 2.146. 2.147. 4 — n mn + m — 1′ 1) 2mn — 3m — n + 3. 3) mn + m- 1 ’ 2) 33,75; 4) 2^2; 6) -0,25. 1) 36; 3) 32; 5) 99. 2) 0,5; 4) 4; 6) 3; 8) 2. 1) (0; +TO); 3) (1; +^); 5) (-^; 3); 7) (-^; 0). 2) (-to; 0,5) U (2; +^); 4) (-0,5; 3); 6) (-to; 1 ju (i; +то^; 8) нет. 1) (-то; 0) и (0; +^); 3) (-^; 0) и (0; +^). 2) (-15; I); 4) (-“; -5) и (0; 2); 6) (-^; -3) и (1; 6); 8) (0; 16). 1) (-^; -2) и (0; +^); 3) (-^; -6) и (-3; -2 ) и (1; +то); 5) (-то; -4) и (1; +ТО). 2) (-4; 5) и (5; +^); 4) (—|; 5^ и (5; +^); 6) (-^; -7) и (1; +то). 1) X Ф ^^ + 2nn, n е Z; 3) 2nn, n е Z; 5) (0; 1]. 2) Точка М. 1) а) 4; б) [0,5; 4]; в) [-0,5; 1]; г) промежуток возрастания [0,5; 4], промежутков убывания нет; д) (1; 0); е) (1; 4]; ж) [0,5; 1); 3) а) -I; б) (■1; 9j; Правообладатель Народная асвета 272 в) [-2; 1]; г) промежутков возрастания нет, промежуток убывания ^ -1; 9j; д) (1; 0); е) fl); ж) (1; 9]. 2.148. 2) i; 4) 3. 2.149. Например, 1) (2; 1), (4; 2), (8; 3); 3) (1; 0), (4; -1), (16; -2); 5) (-1; 0), (-2; 1), (-4; 2). 2.150. 2) а) (0; +^); б) R; в) (0; +^); г) нет; д) (0; 1); е) (1; +^); ж) 1; 4) а) (0; +“); б) R; в) нет; г) (0; +“); д) (1; +“); е) (0; 1); ж) 1; 6) а) (-“; 0); б) R; в) нет; г) (-“; 0); д) (-1; 0); е) (-“; -1); ж) -1. 2.151. 2.152. 2.153. 2.154. 2.155. 2.156. 2.157. 2.158. 2.159. 2.160. 2.161. 2.163. 2.168. 2.169. 2.171. 1) log3 8 > 0; 3) log11 > 0; 5) Ig 0,45 0; 9) log0,1 10 log18; 5) log2 3 > log2 1; 7) log4 7 > log5 7. 2 2 2) l^/S logo,1 0,6; 6) lg (cos 30°) > lg (tg 30°). 1) lg 4 + 3‘og 7 11 > lg 3 + 11‘og 7 3; 3) log23 + log32 > 2. 2) Да; 4) нет; 6) да; 8) нет; 10) нет. 1) Нет; 3) да; 5) нет; 7) да. 2) ^; 4) 5-6,7; 6) 1000|T0; 8) ^. 8 V9 1) t /2; 6) 4. 2.181. 1) 7; 3) 3; 5) 2. 2.182. 2) 64; 4) 4; 6) 0,2. 2.183. 1) 0,2; 25; 3) 0,1; 10 000; 5) 1; Vs. 2.184. 2) 1000; 4) -0,5; -32. 2.185. 1) 10; 3) 0,1; 100; 5) 0,1; 1000; 7) 0,0001; 10. 2.186. 2) Ф; 25; 4) 3; 9; 6) -5. 5 2.187. 1) 2; 3) нет корней; 5) нет корней; 7) 1. 2.188. 2) 2; 4) 5; 6) -1; 8) 6. 2.189. 1) 6; 3) ±7; 5) -11; 9; 7) 2; 9) 1000. 2.190. 2) 0; 4) -1; 6) 0; 8) ±4; 10) ±1. 2.191. 1) 1; log22,5; 3) -3; lg23000. 2.192. 2) log318; 4) -lg5; 6) -log25. 1) 10; 100; 3) 5; 25; 5) 0,1; 100; 7) ^33; 3. 2.193 2.194. 2) logii11; 4) log510; 6) logi,4175. 2.195. 1) 2nn, n e Z; 3) —^ + 2nn, n e Z; 5) n + 2nk, k e Z; arcctg2 + 2nn, n e Z. 1 2.196. 2.197. 1) a2, a > 0, a Ф 1; 3) 10a, a — любое. 2) 49. 2.198. 2) -1 1, то а2 + а + 2; 2) если а -1, то 1 -a 67. 1) ^^; 2) -0,55. 68. 1) -16; 2) 105. 69. 1) -1; 1; 2) -1; 3. 8 a +1 15 8 20. 20. 70. 1) cos а = —; tg а =———; ctg а = —-; 2) sin а =——-; tg а =——-; 17 ctg а = — -21. ^ 20 8 15 29 21 12 12 5 5 12 71. 1) cos а =-; sin а =—; 2) sin а =-; cos а =-. ^ 1Х 1^^ 1Х 13 72. 1) 3(^/5 — 5); 2) 4(7 — ^7) 10 21 73. 1) —; 2) + I5. ‘ 1^^ \3 74. —^; 2) -1 75. 1) -2; 2) — 1sin16а. 76. 1) ^!^^2cos2а; 2) ^cos2а. ^2 ^2 77. 1) 1; 2) 1. 82. 1) -; 2) -1,5. ; 16 ’ ^ ’ 83. 1) -27; 2) 2. ^ 9Х ^9 84. 1) 19; 2) — 85. 1) 1,75; 2) 1,5. 86. 1) -sin2 а; 2) sin а — cos а. 87. 1) xy-,!(1 — x2)(1 — y2); 2) xy + y](1 — x2)(1 — y2). 88. 1) Xy 1-X 2 1+X ; 2) 2X 1+X 2 Правообладатель Народная асвета 278 93. 1) ^2; 2) 94. 1) 0; 2) 13 _24 25’ 85 95. 1) Да; 2) да. 96. 1) 4; 2) 27; 3) 16; 4) 25. 97. 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) 2. 98. 1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 10. 99. 1) 6; 2) VZ; 3) 9; 4) 49. 100. 1) 1; 2) 1. 101. 1) i; 2) ‘2 ’2 102. 1) -5; 2) -8. 1 103. 1) ; 2) :-8|’ |x — 5| 104. 1) 0; 2) 0. 105. 1) -1; 2) 106. 1) 4ш + п; 2) 3т + п. 107. 1) 5т5; 2) 3т4. 108. 1) 0; 2) 0. 109. 1) 1; 2) 1. 110. 1) -1; 2) -0,04. 111. 1) 3; 2) 1. 112. 1) 2; 2) 0,3. 113. 1) ±1,75; 2) ±3,/3′ 114. 1) ——; 0; 2) -8; 0; 8. ^ 343 ’ _______ 115. 1) 1; 9; 2) -0,6; -0,2; 3) -2 ^3 W3; 4) -W2; -2. 116. 1) -2; 2) -1. 117. 1) Нет корней; 2) 4; 3) 1

3^; 4) -2 ^2. 118. 1) 1; 1,5; 2) -3; 0. 119. 1) 2; 2) 2; 62. 120. -6. 2 121. 1) -1; 5; 2) нет корней; 3) —; 1; 4) нет корней. 122. 1) -0,5; 2) -2; 3; 3) ±3; 4) 0; 1. 123. 1) 4; 2) 0; 3 ; 3) -2; ^2; W2; 4) -2; 1 ^3; V3. 124. 1) ^/2; 2) -1; Правообладатель Народная асвета 279 125. 126. 127. 128. 129. 130. 131. 132. 133. 134. 135. 136. 137. 138. 1) (2; 3), (3; 2); 2) (2; 4), (4; 2); 3) (2; 0), (4; 3); 4) (2; 3), ^42; sj. 1) (-4; -1), (-4; 1), (4; -1) (4; 1); 2) (-3; -2), (3; 2). 1) (-213; 163), (-1; -2), (1; 2), (2|1; — 1б3); 2) (-5; 1), (-4,6; 2,2), (4,6; -2,2), (5; -1). 1) 8; 2) 2. 1) X 3. 1) 0 12. 1) 1 17. 1) -9 9; 2) X 2; 2) -2 0; 2) -j7 4; 2) X 7. ^2 2^ 22 1) -23 2; 3) нет решений; 4) 0 6; 2) X 3 142 4 143, 144, 145, 146. 147. 1) -1; -; 2) -2; -1; 0; 1. 3 1) 2; 3; 577^; 2) -3; 2; 3) -1; 12; 4) 2; 3; . 1) (1; 2), (2; 1); 2) (1; 1); 3) (—|; ii), (2; -3); 4) (0; 1), (1; 1). 1) (-1; 2), (1; -2); 2) (-1; -1), (1; 1); 3) (-1; 5), (1; -5), (^3[; ^/5J, ; V5); 4) (-3; -6), (3; 6), (-У6; W6), ^/6; V6). 1) (7; 5); 2) (8; -4). 1) a > -5, a Ф 3; 2) a = -5, a = 3; 3) a 32. 149. 150. 151. 152. 1) 1,5; 2) 6. ±2. -4. ±1. Правообладатель Народная асвета 280 153 154. 155. 156. 157. 158. 159. 160. 161. 2 162. 163. 164. 165. 166. 167. 168. 169. 170. 171. 172. 173. 174. 175. 176. 177. 178. 179. 180. 181. 182. 183. 184. 4 7 1) X =——, если а ф 6; нет корней, если а = 6; 2) х =——, если а ф -7; a — 6 нет корней, если a = -7; 3) х = a — 3 ; 4) х = -2^+ 1. 1) -k; -9k; 2) -2k; 3; 3) k + 1; 2k — 3; 4) k — 2; 3k + 2. a+7 1) a + 1 + yj2a + 1 ; 2) -2a + 3 ±\1 -12a + 9 1) 4 ; 2) . 4a a 1) a ф 0; 2) a ф 0; 3) a ф 3; 4) a ф -2. 1) a = -7,5; a = -3; 3) нет таких значений а; 4) нет таких значений а. 1) -2 0; 2) 0 3. 1) -1 5. 17 31. 2 5. 25. 52. 2 км/ч. 60 км. 240 км. 8 ч, 12 ч. 20 ч, 32 ч. 6 ч, 1 8 ч. 14 дн., 11 дн. 175 кг, 450 кг. Вытекает 3000 см3 в минуту, поступает 2250 см3 в минуту. 90 лет, 20 лет. Выполнено 40 заданий, списано 25 заданий. 150 г 15-процентного раствора, 450 г — 35-процентного. 127,5 кг сплава, который содержит 60 % олова, 42,5 кг сплава, который содержит 80 % олова. 192 г. 66 книг и 54 книги. 45 и 23. 2463. 4; 6; 11. На 25 %. 36 ч, 18 ч, 8 ч. 15 ч. Правообладатель Народная асвета 281 185. 186. 187. 188. 189. 190. 191. 39— км. 12 60 км/ч, 90 км/ч, 900 км. 2 км/ч. 1) -0,5; 2) 2; 3) -5; 0,4; 4) 3; 1) -5; 2) -4. 1) 5; 2) 3; 3) -6; 4) -8. 1) 0; 25; 2) 0; 16; 3) 7; 4) 8. 7. 1) 1; 2) 5; 3) 3; 4) — ^1; 1; 5) ^5; 6) 2,5. 192. 193. 1) [-2,5; 20); 2) [-240; 10]; 3) [11; +^); 4) (-37; +^). 194. 1) 195. 1) (1; 25), (25; 1); 2) (9; 16), (16; 9). 196. ^; 1 .16 . ; 2) —; 4 .16 . ; 3) (-4; -1]; 4) (0,5; +^). ■)(|; 5); 2) (4; 4 197. 198. 199. 200. 201. 202. 203. 204. 205. 1) 6; 2) 10. 1) 7; 8; 2) 2; 3) 4; 4) 2. 1) -27; 1; 2) 19; 84; 3) ±7; 4) ±5. 1) 5; 2) ^^; 5; 3) -6; 2; 4) -3; 10. 127 1) [3; 3,5] и [4; 8]; 2) <-4>и [-2,5; -1]; 3) [2,5; 3]; 4) нет решений. 1) (-21,5; 2,5); 2) (31; ,| J. 1) (1; 4); 2) (9; 4). 1) (-1; -27); (27; 1); 2) (1; 8); (8; 1). И(36; 9); 2) (16; |). ,) (-5; ЮХ (|; il); 2) (-1; -2), (i; -1). 206. 207. 1) Нет корней, если а 0; 2) нет корней, если а > 0; X = а2 — 1, если а \ I 1 \П П «7 \ I П . ^7 Q \ I П nn ‘7 6) (-1) —\—, n e Z; 7) ±—+ nn, n e Z; 8) ±—\-, n e Z. 214. 1) n + nk, k e Z; n + nn, n e Z; 2) (-1)n ^ , n e Z; 3) n , n e Z; 4) ± — + nk, k e Z; ± — + nn, n e Z; 5) nn, n e Z; 6) — + , n e Z. 215. 1) (±- + 2nn; +- + — + 2nn], n e Z; 2) [(-1)n- + nn; n + (-1)n+‘ — — m\ \3 3^ / \3 3/ n e Z; 3) (-1)—-+———n; (-1) — ^ —+——n , k e Z, n e Z; 12 4 2 12 4 2 4) ((-1)k n + nk; ±n + 2nnj, k e Z, n e Z 216. 1) -— + nk, k e Z; -— + 2nn, n e Z; 2nm, m e Z; 2) — + nk, k e Z; — + 2nn, n e Z; 2nm, m e Z. 217. 1) — + nk, k e Z; n + nm, m e Z; 2) ±^ + nn, n e Z ’2 4 ^ ^ 12 2 218. 1) -— + 2nn, n e Z; 2) nn, n e Z; 4. ’ 2 ^ 3 219. 1) n + nk, k e Z; arctg 2 + nn, n e Z; 2) n + 2nn, n e Z; 3) -arctg3 + nk, k e Z; arctg 2 + nn, n e Z; 4) (-1)narcsini2 -4log^/3 j + nn, n e Z. 220. 1) 2; 2) 2; 3) -1; 4) -1; 5) 1; 6) -7) i; 8) -2; 4. 221. 1) (-1)n arcsin a + nn, n e Z, если I a I 1; 2) ± arccos (a + 1) + 2nn, n e Z, если -2 0; 3) ± 1(n — arccos a) + nn, n e Z, если I a I 1; 4) ± 1arccos(4a — 3) + ПП, n e Z, если ^ 1. Правообладатель Народная асвета 283 222. 1) ^(-1)* П + пк\ n + nnk e Z, n e Z; 2) ^n + 2nk; ±arccos^-1 j + 2%^ k e Z, n e Z. 223. 1) ^ 1 ^(-1)k arcsin(a2 + a) + (-1)n arcsin(a2 — a) + nk + nn’j; 1 ^(-1)k arcsin(a2 + a) + (-1)n +1 arcsin(a2 — a) + %k — j, k e Z, n e Z; 2) ■1arccos(-a) + nn; ■З^ — 3^^ arccos(-a) — nn |, n e Z. 224. 1) Нет корней; 2) нет корней; 3) + 2nn, n e Z; 4) (-1)n — + nn, n e Z; 3 6 5) i3; 6) 53; 7) 3; 8) 1. ; 31 ^49’ ’ ‘ ’ 8 10 225. 1) 3; 2) -4; 3) -2; 4) -7; 5) 7; 103 — 79; 6) i1; 103 — 89. 3 5 5 226. 1) (0; -2); 2) (-2; 3); 3) (2; 1), (logs 7; log7 9); 4) (2; 2). 227. 1) (10 2; 10 2), (100; 0,1); 2) (4; 4). 228. 1) (-^; -1) U (1; +^); 2) [-3; 3]; 3) [1; +^); 4) ^-^; 4j; 5) (-^; 1); 6) [0; 1]; 7) (-7; -3) U (2; +^); 8) (-^; -9) U (-5; 2). 229. 1) [16; +^); 2) [27; +^); 3) (^3; ,| J; 4) [1; -З); 5) (-^; -4); 6) (-^; -9). 230. 1) (-^; -9) U ^-|; 3^; 2) ^0; ■|j U (2; 4); 3) (1; 2) U (8; +^); 4) (1; 2) U (6; +^). 231. 1) 0; logi,5 3; 2) log0,4 2; 3) 2; 4) 2. 232. 1) 2; -log3 6; 2)-2; log5 10; 3) 4; 2; 4) -1; 8. 8 16 233. 1) 5; 2; 2) 9; 3; 3) 43 — 1; 16; 4) 34 — 1; 21. 234. 1) 3; 2) 9. 235. 1) -n + 2nn, n e Z; 2) n + 2nn, n e Z. ’4 ’6 236. 1) a -6; 2) x = — a9, если a 30. 238. 1) (16; 256); 2) (4; 16). 239. 1) (2; 7); 2) (2; 6). 240. 1) (2; +^); 2) x 1. 242’1) <-ib'; TT) " - 3) " (l; +“); 2) 0; 2) а

Источник