Что значит избавится от иррациональности

Для решения подобных примеров иногда нужно домножить 2 члена дробного выражения на разность между корнями, когда делитель представлен в виде суммы.

Если он выражен как разность составляющих, то следует умножить дробь на радикал из суммы аналогичных чисел. В примерах, которые содержат радикалы, имеющие различные показатели, вначале избавляются от одного корня, а затем от другого.

Использование средств преобразования

Способ приведения иррационального примера к рациональному виду зависит от нижней части с радикалом. Он может включать несколько подкоренных выражений. Если решение алгебраической задачи требует уничтожить иррациональность, тогда нужно освободить выражение от иррациональности в знаменателе. Используемый способ зависит от вида выражения, представляющего собой дробь, нижняя часть которой имеет:

• сумму или разницу квадратных корней;
• радикал 2-й степени;
• разницу либо сумму радикалов 3-й степени;
• иррациональное значение в виде корня n-й степени.

В последнем случае необходимо для избавления знаменателя дроби от иррациональности подобрать множитель, позволяющий извлечь целый корень. Подкоренное выражение, представленное как число в k-й степени, нужно привести к рациональному виду. Учитывая, что n>k, число под корнем возводят в степень n-k. При этом обе дробные части умножают на сопряженное выражение.

Пользуясь правилом преобразования выражений с радикалом, следует помнить о том, что нужно обязательно получить рациональное число. Приводить к таком виду можно разные примеры с корнями. Искомое число дают 2 корня, взятые в виде суммы и разности при умножении на сопряженное выражение с противоположным знаком.

Результат можно представить аналогичным способом, если числитель и знаменатель содержат не 2 корня, а сумму или разность числа и радикала. Зная, как избавляться от иррациональности в знаменателе дроби, на его вид нужно обратить внимание в первую очередь. Это позволит правильно упростить выражение и убрать корень.

Более сложные примеры могут потребовать возведения в степень иррационального знаменателя дроби. Замену дроби с иррациональным числителем либо знаменателем производят на тождественное ей дробное выражение. Оно содержит рациональный числитель или знаменатель, а действие является уничтожением иррациональности.

Для избавления знаменателя дроби от подкоренной части применяют формулы сокращенного умножения, или ФСУ. Умножая разность корней на их сумму, можно получить разность квадратов радикалов, которая будет рациональным числом.

Источник

Математика, которая мне нравится

Математика для школьников и студентов, обучение и образование

Тайна избавления от иррациональности

Данни Перич Кампана

Еще одна интересная книга для школьников, интересующихся математикой, к сожалению, не переведенная на русский язык, — это книга “Математические приключения Даниэля” (Las Aventuras Matemáticas de Daniel) чилийского учителя математики Данни Перича Кампаны (Danny Perich Campana), человека весьма неординарного и интересного. Он не только учит ребятишек, но и пишет песни, выкладывает в Интеренет различные обучающие материалы по математике. Их можно найти на youtube, и на сайте http://www.sectormatematica.cl/ (разумеется, все материалы на испанском языке).

Здесь выкладываю одну главу из книги Данни Перича. Мне она показалась довольно интересной и полезной для школьников. Чтобы было понятно, о чем идет речь, скажу, что Даниэль и Камила работают в школе, они учителя.

Тайна избавления от иррациональности

— Камила, у меня сейчас возникает много проблем, когда пытаюсь объяснить, для чего применяется то, что проходим на уроке, — сказал Даниэль.

— Не очень понимаю, о чем ты говоришь.

— Я о том, что есть во всех школьных учебниках и даже книгах университетского уровня. Меня все равно не оставляют сомнения: зачем нужно избавляться от иррациональности в знаменателе? И я терпеть не могу рассказывать то, чего не понимаю уже столько времени, — жаловался Даниэль.

— Я тоже не знаю, откуда это идет и зачем это нужно, но должно быть какое-то логическое объяснение этому.

— Как-то я прочитал в одном научном журнале, что избавление от иррациональности в знаменателе позволяет получить результат с большей точностью, но никогда больше не встречал этого и не уверен, что это так и есть.

— А почему бы нам это не проверить? — спросила Камила.

— Ты права, — согласился Даниэль. — Вместо того, чтобы жаловаться, нужно попытаться самим сделать выводы. Тогда помоги мне…

— Конечно, теперь мне самой это интересно.

— Мы должны взять какие-нибудь выражения и избавиться от иррациональности в знаменателе, потом заменить корень на его значение и найти результат выражения до избавления от иррациональности в знаменателе и после и посмотреть, изменится ли что-нибудь.

— Разумеется, — согласилась Камила. — Давай так и сделаем.

— Возьмем, например, выражение , — сказал Даниэль и взял лист бумаги, чтобы записывать происходящее. — Умножим числитель и знаменатель на и получим .

— Будет правильно и может помочь нам сделать выводы, если мы рассмотрим другие иррациональные выражения, равные данному, — предложила Камила.

— Согласен, — сказал Даниэль, — я поделю числитель и знаменатель на , а ты домножь их на .

— У меня получилось . А у тебя?

— У меня , — ответил Даниэль. — Теперь вычислим исходное выражение и полученные, заменяя на его значение со всеми десятичными знаками, которые дает калькулятор. Получим:

— Не вижу ничего особенного, — сказала Камила. — Я ожидала какого-либо различия, которое оправдало бы избавление от иррациональности.

— Как я тебе уже говорил, я когда-то читал об этом в связи с приближением. Что ты скажешь, если мы заменим на менее точное число, например, на ?

— Пробуем и смотрим, что получилось.

— И как ты думаешь, что мы получили? — спросил, улыбаясь, Даниэль.

— Чудо! — воскликнула Камила, и то, насколько она была счастлива, было видно по яркому блеску ее глаз.

— Итак, если брать приближенное значение , ближайшее к точному значению значение иррационального выражения получается, если избавиться от иррациональности в знаменателе и брать его в форме, которую обычно используем на уроках, или , сделал вывод Даниэль.

Источник