Дробь — одна из форм представления числа в математике. Это запись, в которой a и b являются числами или выражениями. Есть два формата записи:
обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
десятичный вид — 0,5.
Над чертой принято писать делимое, которое является числителем. А под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.
Дроби бывают двух видов:
Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 — 0,2)/15.
Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x — y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например 3/7 и 31/45.
Неправильной — ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 21/4. Такое число является смешанным и читается, как пять целых одна четвертая, а записывается — 5 1\4.
Основные свойства дробей
1. Дробь не имеет значения, при условии, если делитель равен нулю.
2. Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
3. Равными называют a/b и c/d в том случае, если a * d = b * c.
4. Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Правило вычитания дробей
Вычитание — арифметическое действие, когда от одного числа отнимают другое.
Свойства вычитания:
Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть одно слагаемое, а после из результата вычесть другое слагаемое: a — (b + c) = (a — b) — c, a — (b + c) = (a — с) — b.
Скобки в выражении (a — b) — c не имеют значения и их можно опустить: (a — b) — c = a — b — c.
Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся: (a + b) — c = (a — c) + b, если a > c или а = с, (a + b) — c = (b — c) + a, если b > c или b = с.
Если из числа вычесть нуль, получится оно же: a — 0 = a.
Если из числа вычесть его само, получится нуль: a — a = 0.
Записывайтесь на наши дополнительные занятия по математике, для учеников с 1 по 11 классы!
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Для вычитания дробей с одинаковыми знаменателями нужно от числителя первой отнять числитель второй, а знаменатель оставить тот же.
Прежде, чем зафиксировать ответ, важно проверить возможность сокращения.
Рассмотрим это правило на примере:
Вычитание дробей с разными знаменателями
Как вычитать дроби с разными знаменателями? Для этого приводим их к общему знаменателю и гаходим разность числителей.
Рассмотрим пример, в котором нужно найти разность 2/9 и 1/15.
Как решаем:
Знаменатели разные, значит найдем наименьшее общее кратное (далее — НОК) для определения единого делителя. Для этого записываем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.
НОК (9, 15) = 3 * 3 * 5 = 45
Найдем дополнительные множители. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:
Полученные числа умножим на соответствующие дроби:
Перейдем к вычитанию заданных чисел:
Вычитание обыкновенной дроби из натурального числа
Для вычитания из обыкновенной дроби натурального числа необходимо это действие привести к вычитанию обыкновенных дробей.
Разберем для наглядности пример разности 3 и 6/7.
Как решаем:
Представим натуральное число в виде смешанного — займем единицу и переведем ее в неправильную дробь с тем же знаменателем, что у вычитаемой:
Ответ: две целых одна седьмая.
Вычитание натурального числа из обыкновенной дроби
Для вычитания натурального числа из обыкновенной дроби нужно последовать тому же алгоритму, что и в предыдущем примере. А именно: перевести натуральное число в вид дроби, привести все к единому знаменателю, найти разность.
Рассмотрим пример разности 3 из 83/21.
Как решаем:
А еще можно вот так:
Представим 83/21 в виде смешанной дроби, для этого разделим делитель на делимое:
3 * 20/21 — 3 = 20/21
Если урок в самом разгаре и посчитать нужно быстро — можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Вот несколько подходящих:
Прибавление и вычитание дробей — смежные темы: принципы и закономерности очень похожи. Чтобы закрепить знания, нужно решать примеры сложения дробей, как можно чаще.
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Записаться на марафон
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Источник
Вычитание обыкновенных дробей: правила, примеры, решения
Следующее действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, — вычитание. В рамках этого материала мы рассмотрим, как правильно вычислить разность дробей с одинаковыми и разными знаменателями, как вычесть дробь из натурального числа и наоборот. Все примеры будут проиллюстрированы задачами. Заранее уточним, что мы будем разбирать лишь случаи, когда разность дробей дает в итоге положительное число.
Как найти разность дробей с одинаковыми знаменателями
Начнем сразу с наглядного примера: допустим, у нас есть яблоко, которое разделили на восемь частей. Оставим пять частей на тарелке и заберем две из них. Это действие можно записать так:
В итоге у нас осталось 3 восьмых доли, поскольку 5 − 2 = 3 . Получается, что 5 8 — 2 8 = 3 8 .
Благодаря этому простому примеру мы увидели, как именно работает правило вычитания для дробей, знаменатели которых одинаковы. Сформулируем его.
Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя одной вычесть числитель другой, а знаменатель оставить прежним. Это правило можно записать в виде a b — c b = a — c b .
Такую формулу мы будем использовать и в дальнейшем.
Возьмем конкретные примеры.
Вычтите из дроби 24 15 обыкновенную дробь 17 15 .
Решение
Мы видим, что эти дроби имеют одинаковые знаменатели. Поэтому все, что нам нужно сделать, – это вычесть 17 из 24 . Мы получаем 7 и дописываем к ней знаменатель, получаем 7 15 .
Наши подсчеты можно записать так: 24 15 — 17 15 = 24 — 17 15 = 7 15
Если необходимо, можно сократить сложную дробь или выделить целую часть из неправильной, чтобы считать было удобнее.
Найдите разность 37 12 — 15 12 .
Решение
Воспользуемся описанной выше формулой и подсчитаем: 37 12 — 15 12 = 37 — 15 12 = 22 12
Легко заметить, что числитель и знаменатель можно разделить на 2 (об этом мы уже говорили ранее, когда разбирали признаки делимости). Сократив ответ, получим 11 6 . Это неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть: 11 6 = 1 5 6 .
Как найти разность дробей с разными знаменателями
Такое математическое действие можно свести к тому, что мы уже описывали выше. Для этого просто приведем нужные дроби к одному знаменателю. Сформулируем определение:
Чтобы найти разность дробей, у которых разные знаменатели, необходимо привести их к одному знаменателю и найти разность числителей.
Рассмотрим на примере, как это делается.
Вычтите из 2 9 дробь 1 15 .
Решение
Знаменатели разные, и нужно привести их к наименьшему общему значению. В данном случае НОК равно 45 . Для первой дроби необходим дополнительный множитель 5 , а для второй – 3 .
У нас получились две дроби с одинаковым знаменателем, и теперь мы легко можем найти их разность по описанному ранее алгоритму: 10 45 — 3 45 = 10 — 3 45 = 7 45
Не стоит пренебрегать сокращением результата или выделением из него целой части, если это необходимо. В данном примере нам этого не нужно делать.
Найдите разность 19 9 — 7 36 .
Решение
Приведем указанные в условии дроби к наименьшему общему знаменателю 36 и получим соответственно 76 9 и 7 36 .
Считаем ответ: 76 36 — 7 36 = 76 — 7 36 = 69 36
Результат можно сократить на 3 и получить 23 12 . Числитель больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. Итоговый ответ — 1 11 12 .
Краткая запись всего решения — 19 9 — 7 36 = 1 11 12 .
Как вычесть из обыкновенной дроби натуральное число
Такое действие также легко свести к простому вычитанию обыкновенных дробей. Это можно сделать, представив натуральное число в виде дроби. Покажем на примере.
Найдите разность 83 21 – 3 .
Решение
3 – то же самое, что и 3 1 . Тогда можно подсчитать так: 83 21 — 3 = 20 21 .
Если в условии необходимо вычесть целое число из неправильной дроби, удобнее сначала выделить из нее целое, записав ее в виде смешанного числа. Тогда предыдущий пример можно решить иначе.
Из дроби 83 21 при выделении целой части получится 83 21 = 3 20 21 .
Теперь просто вычтем 3 из него: 3 20 21 — 3 = 20 21 .
Как вычесть обыкновенную дробь из натурального числа
Это действие делается аналогично предыдущему: мы переписываем натуральное число в виде дроби, приводим обе к единому знаменателю и находим разность. Проиллюстрируем это примером.
Найдите разность: 7 — 5 3 .
Решение
Сделаем 7 дробью 7 1 . Делаем вычитание и преобразуем конечный результат, выделяя из него целую часть: 7 — 5 3 = 5 1 3 .
Есть и другой способ произвести расчеты. Он обладает некоторыми преимуществами, которыми можно воспользоваться в тех случаях, если числители и знаменатели дробей в задаче – большие числа.
Если та дробь, которую нужно вычесть, является правильной, то натуральное число, из которого мы вычитаем, нужно представить в виде суммы двух чисел, одно из которых равно 1 . После этого нужно вычесть нужную дробь из единицы и получить ответ.
Вычислите разность 1 065 — 13 62 .
Решение
Дробь, которую нужно вычесть – правильная, ведь ее числитель меньше знаменателя. Поэтому нам нужно отнять единицу от 1065 и вычесть из нее нужную дробь: 1065 — 13 62 = ( 1064 + 1 ) — 13 62
Теперь нам нужно найти ответ. Используя свойства вычитания, полученное выражение можно записать как 1064 + 1 — 13 62 . Подсчитаем разность в скобках. Для этого единицу представим как дробь 1 1 .
Ответ тот же, но подсчеты, очевидно, более громоздкие.
Мы рассмотрели случай, когда нужно вычесть правильную дробь. Если она неправильная, мы заменяем ее смешанным числом и производим вычитание по знакомым правилам.
Вычислите разность 644 — 73 5 .
Решение
Вторая дробь – неправильная, и от нее надо отделить целую часть.
Те свойства, которыми обладает вычитание натуральных чисел, распространяются и на случаи вычитания обыкновенных дробей. Рассмотрим, как использовать их при решении примеров.
Найдите разность 24 4 — 3 2 — 5 6 .
Решение
Схожие примеры мы уже решали, когда разбирали вычитание суммы из числа, поэтому действуем по уже известному алгоритму. Сначала подсчитаем разность 25 4 — 3 2 , а потом отнимем от нее последнюю дробь:
Доля — это каждая равная часть, из суммы которых состоит целый предмет.
Для примера возьмем два мандарина. Когда мы их почистим, то получим в каждом мандарине разное количество долек или долей. В одном может быть 6, а в другом — целых 9. Размеры долей у каждого мандарина тоже разные.
У каждой доли есть свое название: оно зависит от количества долей в конкретном предмете. Если в мандарите шесть долей — каждая из них будет определяться, как одна шестая от целого.
Половина — одна вторая доля предмета или 1/2.
Треть — одна третья доля предмета или 1/3.
Четверть — одна четвертая доля предмета или 1/4.
Понятие доли можно применить не только к предметам, но и величинам. Так, например, картина занимает четверть стены — при этом ее ширина треть метра.
Чтобы быстрее запомнить соотношения частей и целого, можно использовать наглядную табличку:
Понятие дроби
Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которой можно представить число. Есть два формата записи:
обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
десятичный вид — 0,5.
Виды дробей:
Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 — 0,3)/5.
Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x — y). Значение дроби зависит от данных значений букв.
Какие еще бывают дроби:
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.
Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3\5.
Выделение целой части из неправильной дроби — это запись неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби. Например, 11/5 = 2 + 1/5.
Как устроена обыкновенная дробь
Обыкновенная дробь — это запись вида m/n, где m и n любые натуральные числа.
Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби. Иногда ставится не горизонтальная черта, а косая.
Числитель обыкновенной дроби m/n — это натуральное число m, которое стоит над чертой. Числитель это делимое — то, что мы делим.
Знаменатель обыкновенной дроби m/n — натуральное число n, которое стоит под чертой. Знаменатель это делитель — то, на сколько делим.
Черта между числителем и знаменателем — символ деления.
Равные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых справедливо равенство: a * d = b * c. Пример равных дробей: 1/2 и 2/4, так как 1 * 4 = 2 * 2.
Неравные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых равенство: a * d = b * c не является верным.
Как устроена десятичная дробь
В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:
Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.
Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.
Свойства дробей
Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной. Формула выглядит так:
где a, b, k — натуральные числа.
Основные свойства
Дробь не имеет значения, при условии, если делитель равен нулю.
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — нет.
Две дроби a/b и c/d называются равными, если a * d = b * c.
Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:
Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, то целая часть равна нулю.
Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в обыкновенном виде.
Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби. То есть 1 цифра — делитель 10, 4 цифры — делитель 10000.
У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайтесь!
Действия с дробями
С дробями можно выполнять те же действия, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. А еще дроби можно сокращать и сравнивать между собой. Давайте попробуем.
Сравнение дробей
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
Сравним 1/5 и 4/5. Как рассуждаем:
В обеих дробях знаменатель равен 5.
В первой дроби числитель равен 1, во второй дроби равен 4.
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю. А после приведения дробей к общему знаменателю, можно применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример. Сравнить 2/7 и 1/14.
Приведем дроби к общему знаменателю:
Сравним дроби с одинаковыми знаменателями:
Важно запомнить: любая неправильная дробь больше любой правильной. Потому что неправильная дробь всегда больше или равна 1, а правильная дробь всегда меньше 1.
Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:
привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ);
сравнить полученные дроби.
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:
Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей, которое станет их общим знаменателем.
Разделить общий знаменатель на знаменатель данных дробей, то есть найти для каждой дроби дополнительный множитель.
Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
Сокращение дробей
Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число. Сократить дробь значит сделать ее короче и проще для восприятия. Например, дробь 1/3 выглядит намного проще и красивее, чем 27/81.
Сокращение дроби выглядит так: зачеркивают числитель и знаменатель, а рядом записывают результаты деления числителя и знаменателя на одно и то же число.
В этом примере делим обе части дроби на двойку.
Можно никуда не спешить и сокращать дроби последовательно, в несколько действий.
Сложение и вычитание дробей
При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель.
Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь и выделить целую часть.
При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями нужно найти наименьший общий знаменатель, сложить или вычесть полученные дроби (используем предыдущее правило).
Найдем наименьшее общее кратное для определения единого делителя.
Для этого запишем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.
НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90
Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:
Полученные числа запишем справа сверху над числителем.
Воспользуемся одним из основных свойств дробей: перемножим делимое и делитель на дополнительный множитель. После умножения делитель должен быть равен наименьшему общему кратному, которое мы ранее высчитывали. Затем можно перейти к сложению.
Проверим полученный результат:
если делимое больше делителя, нужно преобразовать в смешанное число;
если есть что сократить, нужно выполнить сокращение.
Ход решения одной строкой:
Сложение или вычитание смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:
Сложить целые части.
Сложить дробные части.
Необходимо приводить к общему, если знаменатели разные. Для этого воспользуемся знаниями из предыдущего примера.
Суммировать полученные результаты.
Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.
Умножение и деление дробей
Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:
Не забываем про сокращение. Это может облегчить вычисления.
Чтобы умножить два смешанных числа, надо:
преобразовать смешанные дроби в неправильные;
перемножить числители и знаменатели дробей;
сократить полученную дробь;
если получилась неправильная дробь, преобразовать в смешанную.
Чтобы разделить дробь на дробь нужно выполнить следующую последовательность действий:
числитель первой умножить на знаменатель второй, результат произведения записать в числитель новой дроби;
знаменатель первой умножить на числитель второй, результат произведения записать в знаменатель новой дроби.
Другими словами это правило звучит так: чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую умножить на обратную от второй.
Числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.
Как делить дроби с разными знаменателями? На самом деле одинаковые или разные знаменатели у дробей — неважно, потому что все дроби делятся по правилу, описанному выше.
Для деления смешанных чисел необходимо:
представить числа в виде неправильных дробей;
разделить то, что получилось друг на друга.
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Записаться на марафон
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
где a, b, k — натуральные числа.
