Чтобы избавиться от корня надо

Как избавиться от иррациональности

Иррациональностью в знаменателе (нижней части дроби) называют наличие корней в знаменателе.

Что такое иррациональность в знаменателе дроби

Рассмотрим на примерах ниже, в каких дробях в знаменателе есть иррациональность, а в каких её нет.

• √ 6

  2

  в знаменателе нет корней, значит иррациональности нет ;

• 5

  √ 6

  в знаменателе есть
  корень « √ 6 » — иррациональность в знаменателе есть .

• 4

  √ 7 − √ 3

  в знаменателе есть корни « √ 7 » и « √ 3 » — иррациональность есть .

• a + b

  √ c − 3

  в знаменателе есть
  корень « √ c − 3 » — иррациональность в знаменателе есть .

Избавиться от иррациональности в знаменателе означает убрать все корни из знаменателя.

Возникает логичный вопрос, как это можно сделать?

Чаще всего встречаются два вида примеров. Рассмотрим решение обоих видов.

Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе только один корень

На помощь приходит основное свойство дроби. Вспомним, что оно позволяет умножить и разделить дробь на одно и то же число, чтобы в конечном итоге дробь не изменилась.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе с одним корнем, нужно умножить и числитель, и знаменатель на корень из знаменателя.

По традиции разберемся на практике.

№ 366 (1) Колягин, Алимов 9 класс

Исключить иррациональность из знаменателя:

Зададим себе вопрос, на что нужно умножить « √ 5 » в знаменателе, чтобы избавиться от корня.

Ответ: на « √ 5 ». В самом деле, если квадратный корень умножить сам на себя получится число под корнем. Проверим.

√ 5 · √ 5 = √ 5 · 5 = √ 5 2 = 5

Используем основное свойство дроби, умножим и числитель, и знаменатель на « √ 5 », чтобы избавиться от корня в знаменателе.

3

√ 5

=

3 · √ 5

√ 5 · √ 5

=

3 · √ 5

√ 5 · 5

=

3 · √ 5

√ 5 2

=
=

3 · √ 5

5

Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе несколько корней

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе c несколькими корнями, нужно использовать формулы сокращённого умножения.

Разберемся по традиции на примере.

№ 366 (3) Колягин, Алимов 9 класс

Исключить иррациональность из знаменателя:

На что нужно умножить знаменатель « 2 − √ 3 » , чтобы убрать из него корень?

Теперь недостаточно умножить знаменатель на « √ 3 » , ведь в таком случае все равно остается квадратный корень.

(2 − √ 3 ) · √ 3 = 2 √ 3 − √ 3 · √ 3 =

Мы видим, что корень никуда не исчез. Нужно искать другие варианты решения.

Вспомним формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

Формула разности квадратов также работает в обратную сторону.

Представим, что « 2 − √ 3 » — это часть формулы.

Логично предположить, что в формуле « a » — это « 2 », « b » — « √ 3 ». Подставим вместо знаков « ? » числа.

(a + b)(a − b) = a 2 − b 2

(2 + √ 3 )(2 − √ 3 ) = 2 2 − √ 3 2 = 4 − 3 = 1

То есть, чтобы избавиться от иррациональности в дроби требуется умножить знаменатель « 2 − √ 3 »
на « 2 + √ 3 » и через формулу «Разность квадратов» убрать квадратные корни.

Не забываем, что по основному свойству дроби мы обязаны также умножить числитель на « 2 + √ 3 ».

1

2 − √ 3

=

1 · (2 + √ 3 )

(2 − √ 3 ) · ( 2 + √ 3 )

=
=

2 + √ 3

2 2 − √ 3 2

=

2 + √ 3

4 − 3

=

2 + √ 3

1

= 2 + √ 3

Примеры освобождения от иррациональности в знаменателе

№ 366 (2; 7) Колягин, Алимов 9 класс

Исключить иррациональность из знаменателя:

2)

2

√ 6

2

√ 6

=

2 · √ 6

√ 6 · √ 6

=

2 · √ 6

√ 6 · 6

=

2· √ 6

√ 6 2

=
=

2 · √ 6

6

Рассмотрим пример, когда в знаменателе несколько корней.

7)

√ 5 − √ 7

√ 5 + √ 7

=

Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

Умножим и числитель, и знаменатель на «( √ 5 − √ 7 )», чтобы использовать формулу сокращённого умножения в знаменателе и избавиться от корней.

√ 5 − √ 7

√ 5 + √ 7

=

( √ 5 − √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 )

( √ 5 + √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 )

=
=

( √ 5 − √ 7 ) 2

√ 5 2 − √ 7 2

= …

Используем в числителе (наверху в дроби) формулу «Квадрат разности».

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

√ 5 − √ 7

√ 5 + √ 7

=

( √ 5 − √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 )

( √ 5 + √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 )

=
=

( √ 5 − √ 7 ) 2

√ 5 2 − √ 7 2

=
=

( √ 5 ) 2 − 2 · √ 5 · √ 7 + ( √ 7 ) 2

√ 5 2 − √ 7 2

=

=

5 − 2 √ 5 · 7 + 7

5 − 7

=

12 − 2 √ 35

− 2

=
= −

12 − 2 √ 35

2

= …

√ 5 − √ 7

√ 5 + √ 7

=

( √ 5 − √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 )

( √ 5 + √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 )

=
=

( √ 5 − √ 7 ) 2

√ 5 2 − √ 7 2

=

=

( √ 5 ) 2 − 2 · √ 5 · √ 7 + ( √ 7 ) 2

√ 5 2 − √ 7 2

=
=

5 − 2 √ 5 · 7 + 7

5 − 7

=

12 − 2 √ 35

− 2

=

= −

12 − 2 √ 35

2

= −

2 · (6 − √ 35 )

2

=
= −

2 (6 − √ 35 )

2

=
= − (6 − √ 35 ) = −6 + √ 35

№ 557 (5) Мерзляк 9 класс

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

5)

1

√ a − √ b

Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

Умножим и числитель, и знаменатель на « ( √ a + √ b ) », чтобы использовать формулу «Разность квадратов» в знаменателе и освободиться от корней.

Источник

Мешают пни на участке: как выкорчевать их вручную, разрушить огнем, водой и химией?

• 

Бывает, что при планировке участка не получается «обогнуть» стоящее на пути дерево. Правда, иногда его даже удается вписать в пространство, например, террасы или беседки, но чаще всего растущие не на месте и тем более старые засохшие деревья приходится удалять. Спилить ствол несложно, а каким способом можно избавиться от пня?

• 

Удаление пня дробильной машиной

Если участок еще не вполне освоен и на нем не разбиты цветники и газон, проще всего подогнать туда землеройную технику и решить проблему без каких-либо усилий со своей стороны. Когда же речь идет об уже благоустроенной территории, лучше пригласить профессиональных корчевателей, которые действуют мощной компактной фрезой, раздробляющей пень на глубину 20–30 см от поверхности земли. Такая операция означает локальное вмешательство в ландшафт и не наносит урона окружающему газону. В зависимости от удаленности объекта и сложности работы, данная услуга обойдется в сумму от 50 руб. за 1 см диаметра пня. Конечно, то же самое можно сделать и самостоятельно, но дробильная машина — дорогостоящий инструмент, и приобретать ее для разового использования нет смысла, правда, в некоторых фирмах есть возможность взять ее в аренду.

Еще один вариант, самый простой и дешевый, но далеко не самый лучший, — срезать пень бензопилой вровень с почвой. Однако этот пятачок земли останется бесполезным для какого-либо освоения — здесь не разобьешь грядку, оставшийся комель будет мешать при возведении садовых построек, прокладке дорожек и т. п. Так что проблемы такой подход не решит. Впрочем, искрошите древесный спил топором, засыпьте землей, и когда-нибудь (надо сказать, очень нескоро) он превратится в труху сам собой.

Чтобы полностью удалить пень своими силами, не прибегая к помощи спецтехники, можно использовать следующие методы: ручное корчевание, разрушение огнем, водой и химическое воздействие.

Пни, имеющие живописный вид и не создающие помех при планировке участка, способны послужить декоративным и даже прикладным целям. Например, выдолбив сердцевину, в них можно создать миниатюрную клумбочку, высадить здесь кустовое растение или даже древесный саженец. А «заразив» пень спорами вешенок или опят, можно превратить его в субстрат для грибниц

Ручное корчевание

Для начала пень нужно обкопать по кругу на расстояние минимум 80–100 см (чем толще ствол, тем шире круг), стараясь максимально оголить комель с корневищем. Вынимать землю между корней лопатой довольно сложно, поэтому, в случае легких грунтов, нередко практикуют ее вымывание струей воды под сильным напором, установив отводной желоб в сторону от ямы. Далее следует обрубить корни. Это самая трудоемкая часть работы (древесина здесь намного тверже, чем у ствола) и — внимание! — особенно опасная, так как у рубщика многократно возрастает риск попасть себе по ногам. Если корневище не слишком мощное и неглубокое, можно его и не подрубать — лебедка справится с ним и без этого, но длинные горизонтальные корни (а порой они достигают десятков метров) при выдергивании могут «потянуть за собой», например, стоящий поблизости забор, разрушить полотно дорожки, ограждение цветника и т. п. И потому желательно все же потратить на эту процедуру время и силы.

Когда есть лебедка на 3–4 т и прочная опора, к которой можно ее прикрепить (столб или толстое здоровое дерево), пень обвязывают металлическим тросом и, натягивая его рычагом и при необходимости подрубая еще целые корневые плети, выдергивают корягу из земли. Опять же при наличии условий для установки может быть использована рычажная таль — грузоподъемник с ручным приводом, подвешиваемый на горизонтальную балку.

• 

Когда воспользоваться лебедкой или талью невозможно, пень надо хорошо расшатать и выворачивать его, орудуя ломом как рычагом. Если коряга старая, можно попытаться расколоть ее и выкручивать из земли по частям.

Оставшиеся в яме обрубки глубоких корней будут постепенно перегнивать и вряд ли дадут новую поросль, а вот поверхностные жилы могут стать помехой, допустим, при строительных работах, и потому их откапывают, насколько это возможно, и вырезают.

Еще один вариант — использовать специальный захват Brush Grubber Xtreme для удаления пней, деревьев и кустарников.

Чтобы не ранить и не пошатнуть дерево, служащее опорой для лебедки, последнюю следует крепить широким тканым или кожаным ремнем, располагая его в нижней, более толстой части ствола

«Гляжусь в тебя, как в зеркало»

Если вы знаете, от дерева какой породы остался пень, то можно легко представить и тип его корневой системы, с которой вам предстоит иметь дело при корчевании. Этих типов три: мочковатая, растущая пучком, шаровидная, стержневая — с мощным срединным корнем, конусообразная, и поверхностная. При удалении целого дерева всё еще проще: корневище является как бы зеркальным отражением кроны, практически повторяющим ее размеры и форму.

Типы корневой системы некоторых древесных и кустарниковых растений

Огонь

Метод выжигания пня изнутри прост, не требует особых усилий и денежных затрат, но воспользоваться им можно только при определенных условиях. Во-первых, в этом месте ни под землей, ни в воздухе не должны пролегать никакие коммуникации (трубопроводы, ЛЭП и т. д.); а во-вторых — рядом не должны находиться постройки и ограждения, деревья и вообще ничего воспламеняющегося. Одним словом, необходима открытая площадка и обязательно безветренная погода. Размеры и состояние пня значения не имеют. Обратите внимание: мероприятие исключается, если почва на участке торфянистая.

Длинным сверлом по дереву в пне высверливают два максимально глубоких, сообщающихся канала: один вертикальный по центру, другой — под углом к нему. Затем заливают в центральное отверстие 100–200 г солярки или жидкости для розжига углей (это лучше, чем бензин, который быстро прогорит), опускают туда фитиль, сделанный из хлопчатобумажной ленты длиной около полуметра и пропитанный той же соляркой, и поджигают. Для лучшего горения нужно просверлить еще несколько боковых отверстий в нижней части пня и первое время поддерживать огонь. Дальше он будет работать сам. В зависимости от качества древесины — сырая и плотная или старая и трухлявая — пень выгорит в течение примерно 12–15 часов. Кстати, практикуют и такой вариант: просто регулярно разводят на спиле маленький костер, который медленно, но верно выжигает его до корней.

Важно: участок земли вокруг пня предварительно надо очистить от мусора и сухой травы, а в продолжение всей процедуры обеспечить в буквальном смысле неусыпный контроль над ней.

У выкорчеванных с целым корневищем, без разрушений пней порой оказывается весьма затейливая «внешность». Если они достаточно прочны и не имеют признаков биопоражений, такие коряги используют для изготовления различных поделок, деревянных скульптур и даже предметов садовой мебели — столиков, кресел и т. п.

Метод спорный, но те, кто хотят поэкспериментировать, вполне могут его испробовать. Нужно проделать в спиле побольше отверстий и под самые заморозки обильно пролить пень водой. Расчет в том, что, замерзая и оттаивая в течение зимы, напитавшая древесину вода будет разрушать ее изнутри, и весной (ну, или через пару лет, если, разумеется, повторять процедуру) пень превратится в труху или по крайней мере легко поддастся выкорчевке.

Химические средства

• 

Удаление пня с помощью мочевины

Этот способ «корчевания» подходит для людей терпеливых и тех, кому некуда спешить. В конце осени, так же как и в предыдущем случае, следует просверлить максимально крупным сверлом глубокие каналы по всей площади среза, заполнить их гранулами мочевины (карбамида), пролить водой и укутать пень полиэтиленовой пленкой. А дальше остается только ждать: возможно, к началу следующего сезона, а может быть, через год древесина утратит твердость, «размякнет», и пень с корнями будет легче извлечь из земли. Бояться применения мочевины не стоит, ведь это всего лишь азотное удобрение, и, проникнув в почву, оно не навредит растущим рядом растениям.

Натриевая и калийная селитра — это тоже удобрения, но, в отличие от мочевины, в высокой концентрации они токсичны для почвы и окружающих посадок. Так что если в непосредственной близости (1–1,5 м) от предназначенного к удалению пня произрастают овощные, зеленные или плодово-ягодные культуры, то от такой химии следует отказаться.

Соли азотной кислоты оказывают на древесину действие, противоположное действию карбамида. Они не размягчают, а, наоборот, высушивают, «выжигают» корневище вплоть до самых глубоких и мелких отростков, облегчая удаление пня. Используют же их аналогичным образом. Что касается расхода материала, то, например, в пень диаметром до 15 см необходимо заложить порядка 2 кг препарата (та же норма применима и к мочевине).

Если грунт на участке не торфяной, сухую корягу, да еще пропитанную стимулирующей горение натриевой или калийной селитрой, проще сжечь на месте, чем корчевать, а после заделать золу в почву, перекопав ее вместе с подсыпанной чистой землей.

Каналы, куда внесены химические реагенты, можно плотно заткнуть пробками, вырезанными из ветки подходящего диаметра или слепленными из глины. В этом случае укрытие пленкой не потребуется

• 

Удаление пня с помощью поваренной соли

Обычная поваренная соль (хлорид натрия) в плане воздействия на почву и растения — очень «злобная химия», способная извести даже пень. Одно условие — дерево должно быть свежесрубленным, на старую корягу, где уже нет соков, она не повлияет. «Засаливают» пни крупной солью через такие же отверстия, в которые вносят селитру, смачивают, укрывают их пленкой и оставляют на год-полтора. За это время соль разъест и «состарит» молодую крепкую древесину, и пень можно будет удалить, не прилагая особых усилий, или сжечь.

Упорные и неленивые садоводы практикуют и такой способ: регулярно, в течение всего дачного сезона обильно солят пень, проливая его водой, а также неизменно проводят эту процедуру после каждого дождя. Отметим только, что одним сезоном дело тут явно не обходится.

Важно знать, что, просочившись в почву в больших концентрациях, соль сделает этот участок земли непригодным для выращивания культурных растений как минимум на несколько лет. Зато и поросль от оставшихся корней здесь гарантированно не появится.

Медный или железный купорос из-за его высокой токсичности для почвы и растений рекомендуется применять только для удаления пней от зараженных деревьев. Даже огонь не решает эту проблему, поскольку мелкие и глубокие корешки могут уцелеть и дать новые побеги, которые продолжат распространять заболевания. Особенно живучи в этом отношении дички, упорно прорастающие из остатков периферийных корней после сжигания корневища и тем более после ручной корчевки. Вообще, с уничтожением «больных» пней тянуть нельзя, они представляют серьезную опасность для здоровых деревьев и кустарников — и плодовых, и декоративных.

Купорос, штатно применяемый как фунгицидное и инсектицидное средство для борьбы с любыми возбудителями болезней ствола и корней, в больших количествах уже не лечит, а «умертвляет» древесину вместе с вредоносными микроорганизмами и насекомыми. Эффективной в этом плане может быть и натриевая, калийная, а также аммиачная селитра. Принцип использования купороса аналогичен описанному выше.

Химическое «корчевание» оптимально, если нужно избавиться от пня, находящегося очень близко к дому. Извлечение мощного корневища механическим способом может вызвать подвижки грунта и образование пустот в основании постройки, что чревато деформацией и даже повреждением конструкции

• 

Гербициды — средство радикальное, но с побочным эффектом. Ими обрабатывают только свежие спилы, также внося препарат в почву под корни — с дождевой водой вещество проникнет вглубь древесины и начнет свое разрушительное действие. Если дерево спилено под зиму, пень оборачивают пленкой. А уже весной он, скорее всего, поддастся корчеванию «без всякого сопротивления». Молодая поросль от переживших потраву корней на этом месте точно не появится (таковых попросту не будет), впрочем, как и другая растительность. Через какое-то время оголенный пятачок, конечно, зарастет, но сажать здесь что-либо, употребляемое в пищу, еще долго не стоит (как правило, в инструкции к препарату производитель указывает, за какой срок он разлагается в земле).

Подписывайтесь на наш канал в Яндекс Дзен, чтобы ничего не пропустить!

Источник