Избавиться от иррациональности это как

Для решения подобных примеров иногда нужно домножить 2 члена дробного выражения на разность между корнями, когда делитель представлен в виде суммы.

Если он выражен как разность составляющих, то следует умножить дробь на радикал из суммы аналогичных чисел. В примерах, которые содержат радикалы, имеющие различные показатели, вначале избавляются от одного корня, а затем от другого.

Использование средств преобразования

Способ приведения иррационального примера к рациональному виду зависит от нижней части с радикалом. Он может включать несколько подкоренных выражений. Если решение алгебраической задачи требует уничтожить иррациональность, тогда нужно освободить выражение от иррациональности в знаменателе. Используемый способ зависит от вида выражения, представляющего собой дробь, нижняя часть которой имеет:

• сумму или разницу квадратных корней;
• радикал 2-й степени;
• разницу либо сумму радикалов 3-й степени;
• иррациональное значение в виде корня n-й степени.

В последнем случае необходимо для избавления знаменателя дроби от иррациональности подобрать множитель, позволяющий извлечь целый корень. Подкоренное выражение, представленное как число в k-й степени, нужно привести к рациональному виду. Учитывая, что n>k, число под корнем возводят в степень n-k. При этом обе дробные части умножают на сопряженное выражение.

Пользуясь правилом преобразования выражений с радикалом, следует помнить о том, что нужно обязательно получить рациональное число. Приводить к таком виду можно разные примеры с корнями. Искомое число дают 2 корня, взятые в виде суммы и разности при умножении на сопряженное выражение с противоположным знаком.

Результат можно представить аналогичным способом, если числитель и знаменатель содержат не 2 корня, а сумму или разность числа и радикала. Зная, как избавляться от иррациональности в знаменателе дроби, на его вид нужно обратить внимание в первую очередь. Это позволит правильно упростить выражение и убрать корень.

Более сложные примеры могут потребовать возведения в степень иррационального знаменателя дроби. Замену дроби с иррациональным числителем либо знаменателем производят на тождественное ей дробное выражение. Оно содержит рациональный числитель или знаменатель, а действие является уничтожением иррациональности.

Для избавления знаменателя дроби от подкоренной части применяют формулы сокращенного умножения, или ФСУ. Умножая разность корней на их сумму, можно получить разность квадратов радикалов, которая будет рациональным числом.

Источник

Как избавиться от иррациональности

Иррациональностью в знаменателе (нижней части дроби) называют наличие корней в знаменателе.

Что такое иррациональность в знаменателе дроби

Рассмотрим на примерах ниже, в каких дробях в знаменателе есть иррациональность, а в каких её нет.

• √ 6

  2

  в знаменателе нет корней, значит иррациональности нет ;

• 5

  √ 6

  в знаменателе есть
  корень « √ 6 » — иррациональность в знаменателе есть .

• 4

  √ 7 − √ 3

  в знаменателе есть корни « √ 7 » и « √ 3 » — иррациональность есть .

• a + b

  √ c − 3

  в знаменателе есть
  корень « √ c − 3 » — иррациональность в знаменателе есть .

Избавиться от иррациональности в знаменателе означает убрать все корни из знаменателя.

Возникает логичный вопрос, как это можно сделать?

Чаще всего встречаются два вида примеров. Рассмотрим решение обоих видов.

Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе только один корень

На помощь приходит основное свойство дроби. Вспомним, что оно позволяет умножить и разделить дробь на одно и то же число, чтобы в конечном итоге дробь не изменилась.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе с одним корнем, нужно умножить и числитель, и знаменатель на корень из знаменателя.

По традиции разберемся на практике.

№ 366 (1) Колягин, Алимов 9 класс

Исключить иррациональность из знаменателя:

Зададим себе вопрос, на что нужно умножить « √ 5 » в знаменателе, чтобы избавиться от корня.

Ответ: на « √ 5 ». В самом деле, если квадратный корень умножить сам на себя получится число под корнем. Проверим.

√ 5 · √ 5 = √ 5 · 5 = √ 5 2 = 5

Используем основное свойство дроби, умножим и числитель, и знаменатель на « √ 5 », чтобы избавиться от корня в знаменателе.

=

=

=

=
=

Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе несколько корней

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе c несколькими корнями, нужно использовать формулы сокращённого умножения.

Разберемся по традиции на примере.

№ 366 (3) Колягин, Алимов 9 класс

Исключить иррациональность из знаменателя:

На что нужно умножить знаменатель « 2 − √ 3 » , чтобы убрать из него корень?

Теперь недостаточно умножить знаменатель на « √ 3 » , ведь в таком случае все равно остается квадратный корень.

(2 − √ 3 ) · √ 3 = 2 √ 3 − √ 3 · √ 3 =

Мы видим, что корень никуда не исчез. Нужно искать другие варианты решения.

Вспомним формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

Формула разности квадратов также работает в обратную сторону.

Представим, что « 2 − √ 3 » — это часть формулы.

Логично предположить, что в формуле « a » — это « 2 », « b » — « √ 3 ». Подставим вместо знаков « ? » числа.

(a + b)(a − b) = a 2 − b 2

(2 + √ 3 )(2 − √ 3 ) = 2 2 − √ 3 2 = 4 − 3 = 1

То есть, чтобы избавиться от иррациональности в дроби требуется умножить знаменатель « 2 − √ 3 »
на « 2 + √ 3 » и через формулу «Разность квадратов» убрать квадратные корни.

Не забываем, что по основному свойству дроби мы обязаны также умножить числитель на « 2 + √ 3 ».

=

=
=

=

=

= 2 + √ 3

Примеры освобождения от иррациональности в знаменателе

№ 366 (2; 7) Колягин, Алимов 9 класс

Исключить иррациональность из знаменателя:

2)

=

=

=

=
=

Рассмотрим пример, когда в знаменателе несколько корней.

7)

=

Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

Умножим и числитель, и знаменатель на «( √ 5 − √ 7 )», чтобы использовать формулу сокращённого умножения в знаменателе и избавиться от корней.

=

=
=

= …

Используем в числителе (наверху в дроби) формулу «Квадрат разности».

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

=

=
=

=
=

=

=

=

=
= −

= …

=

=
=

=

=

=
=

=

=

= −

= −

=
= −

=
= − (6 − √ 35 ) = −6 + √ 35

№ 557 (5) Мерзляк 9 класс

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

5)

Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

Умножим и числитель, и знаменатель на « ( √ a + √ b ) », чтобы использовать формулу «Разность квадратов» в знаменателе и освободиться от корней.

Источник

5 способов побороть свою иррациональность

Теории и практики

Поведенческая экономика говорит: нас легко ввести в заблуждение, и мы постоянно поддаемся манипуляциям. Рассказываем, как обмануть свою иррациональную природу с пользой для себя и выгодой для кошелька.

Опасности выбора

Однажды, принимая дома друзей, поведенческий экономист Ричард Талер сделал занятное наблюдение. Пока готовился ужин, гостям в качестве закуски предложили кешью. У присутствовавших было три варианта действий: съесть немного орехов, чтобы не перебивать аппетит, совсем их не есть или насытиться до начала ужина.

Казалось бы, выбор очевиден: следует съесть несколько орехов или не есть вовсе, ведь впереди ждет трапеза. Однако вышло иначе: гости постепенно окружили вазу с кешью, орехи стремительно таяли. Когда стало ясно, что в таком темпе дело до ужина не дойдет, Талер поспешил унести тарелку на кухню, попутно не удержавшись от парочки кешью.

Классическая экономика учит, что увеличение выбора не может нам навредить, ведь от лишних вариантов можно отказаться за ненадобностью. Однако на деле возможность выбора совсем не выглядит нейтральной. Расширение выбора действий незаметно сместило приоритеты гостей Талера, хотя в долгосрочной перспективе это совершенно нерационально. Как только тарелка исчезла, гости лишились выбора и ужин был спасен.

Как не попасться: волевое ограничение выбора. Например, если вы стоите перед выбором поработать, чтобы сдать работу в срок, посмотреть сериал или утонуть в соцсетях, волевым ограничением может стать отключение интернета или нахождение в рабочей среде: нам сложнее бездельничать при свидетелях и в помещениях без дивана и еды.

Эффект приманки

Когда компания Williams-Sonoma впервые представила на рынке хлебопечку, это было похоже на катастрофу: никто не понимал, зачем печь хлеб дома, поэтому продажи были убийственно низкими. Тогда компания обратилась за помощью к маркетологам, и те нашли решение: выпустить еще одну хлебопечку, только больше и дороже в полтора раза.

Этот ход привел к тому, что домашний хлеб начал казаться покупателям чем-то очень привлекательным. Большая и дорогая хлебопечка стала приманкой, как бы разорвала вакуумный пузырь, в котором находился никому не известный товар. Покупателю все еще мало знакомы хлебопечки, но если он и предпочтет ее купить, то меньшего размера и за меньшую стоимость. И этого практичного знания достаточно, чтобы решиться на покупку. Маленькие недорогие хлебопечки стали живо разлетаться с полок магазинов.

Эффект приманки встречается часто. Когда нам предлагают несколько товаров одной категории, размышления о необходимости вещи незаметно сползают в сторону анализа выгоды покупки. Тем же эффектом славятся распродажи, после которых эйфория сменяется недоумением, что делать со всеми купленными вещами.

Как не попасться: всегда держать начеку своего внутреннего зануду, который спросит: «Чему я сейчас рад — отличной вещи или возможной выгоде?» Если второму, то велик шанс, что вы попались на удочку маркетологов.

Эффект неприятия потерь

В США долгое время была популярна банковская услуга обязательных ежемесячных взносов на счет, который можно было активировать только в декабре — для покупки подарков на Рождество. Зная, как декабрь ударяет по карману, американцы откладывали в течение года небольшие суммы при всем очевидном неудобстве счета, к которому нет доступа, кроме одного месяца в году.

Услуга должна была бороться с эффектом неприятия потерь, с которым мы сталкиваемся, когда отказываемся от страховки или накопительных счетов. Его еще называют эффектом чрезмерного оптимизма, ведь нам кажется, что в будущем все само как-нибудь разрешится. Даже пенсия в старости.

Все дело в том, что потери воспринимаются нами чувствительно, даже если они впоследствии должны принести нам прибыль. Потеря тысячи рублей оставит впечатление несоизмеримо более сильное, чем ее спонтанное получение.

Как не попасться: научиться относиться к потерям как к финансовой привычке. Первая в жизни трата денег на съемное жилье воспринимается трагично, однако потом к ней приходится относиться как к естественному и предсказуемому. Так же можно воспринимать и ежемесячные сбережения.

Потеря чувствительности к тратам

Профессор психологии Макс Базерман проводил со многими своими студентами следующий эксперимент. Студенты участвуют в необычном аукционе, на котором продается 20-долларовая купюра, но с небольшой оговоркой: человек, назвавший наибольшую цену, получает эти 20 долларов, но заплатить за нее придется и тому, кто назначил чуть меньшую цену и оказался вторым.

Очевидно, что нет никакого смысла называть сумму больше себестоимости купюры и чем выше будет ставка, тем больше придется потерять. Но практически каждый раз, когда Базерман проводил этот эксперимент, цена переваливала за 20 долларов, а однажды поднялась до 407, так что обоим последним студентам пришлось заплатить больше 200 долларов.

Почему студенты не могли вовремя остановиться? Это объясняет теория перспектив Канемана — Тверски. Наше восприятие денег определяется не простой суммой, а тем, с чем мы эту сумму сравниваем. Ставка на аукционе могла повышаться каждый раз лишь на доллар, и по сравнению с растущей суммой он казался все менее ощутимой тратой. Так мы теряем чувствительность к потерям.

Нечто похожее происходит, когда мы покупаем дорогую вещь и нам предлагают к ней какой-нибудь аксессуар. Возможно, вы бы не стали покупать чехол для телефона просто так, но по сравнению с самим телефоном его цена кажется незначительной — почему бы не взять.

Как не попасться: в следующий раз, когда продавец предложит к купленной вещи дополнительные товары, попробуйте представить себе, что вы находитесь дома и выбираете их в . Кстати, если под рукой интернет, можно сразу сравнить цены.

Разрыв между горячим и холодным состоянием

Пообещать себе больше не брать кредиты — и снова их набрать; решиться бросить курить — и вечером же сорваться; поставить будильник на 7 утра — и в сонном состоянии отложить его на час.

Это происходит постоянно. Последние исследования в области нейроэкономики подтверждают теорию двух систем мышления, когда в нас уживаются сразу два «я» — дальновидный Планировщик и близорукий Деятель. Планировщик отвечает за благополучие и продуманность будущего, а Деятель поддается соблазнам и поступает в соответствии со своими текущими желаниями. Волевой и рациональный Планировщик находится в холодном состоянии, ведь только в таком мы можем думать о будущем, а горячий Деятель принимает решения в возбуждении, о чем потом Планировщику приходится сильно жалеть.

Как не попасться: помогает третье «я» — внутренний Изобретатель. Можно спрятать будильник на другой конец комнаты, чтобы Деятелю пришлось вылезти из кровати. Азартный игроман может попросить внести себя в черный список казино, чтобы нерадивый Деятель снова не забрел в игорный дом. А еще можно вести раздельные счета — чтобы деньги на платежи, еду и развлечения были разделены между собой. Для этого можно создать разные цифровые карты, счета или по старинке копилки.

Поведенческая экономика продолжает исследовать иррациональное поведение человека — и делает в этом серьезные открытия. 9 ноября в пространстве InLiberty стартует тренинг Алексея Белянина «Хорошее решение» — о том, как избежать вредных и необдуманных решений.

Литература

Amos Tversky, Daniel Kahneman. Loss aversion in riskless choice: A reference-dependent model // Quarterly Journal of Economics. — 1991.

Дэн Ариели. Поведенческая экономика. Почему люди ведут себя иррационально и как заработать на этом. 2012.

Ричард Талер, Касс Санстейн. Nudge. Архитектура выбора. 2017.

Camerer, C .F. (2007). Neuroeconomics: Using neuroscience to make economic predictions. The Economic Journal.

Источник