Сложные выражения с дробями. Порядок действий
Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции. Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?
В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия — в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:
- Сначала выполняется возведение в степень — избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели;
- Затем — деление и умножение;
- Последним шагом выполняется сложение и вычитание.
Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется — все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.
Задача. Найдите значения выражений:
Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:
Теперь найдем значение второго выражения. Тут дробей с целой частью нет, но есть скобки, поэтому сначала выполняем сложение, и лишь затем — деление. Заметим, . Тогда:
Наконец, считаем третий пример. Здесь есть скобки и степень — их лучше считать отдельно. Учитывая, , имеем:
Обратите внимание на последний пример. Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно — знаменатель.
Можно решать по-другому. Если вспомнить определение степени, задача сведется к обычному умножению дробей:
Многоэтажные дроби
До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.
Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:
Здесь и далее мы будем называть эти дроби . Однако имейте в виду, что общепризнанного названия у них нет, и в разных учебниках могут встречаться другие определения.
Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:
Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной. Взгляните на примеры:
Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:
В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1. Получаем:
В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.
Специфика работы с многоэтажными дробями
В многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными. Взгляните:
Это выражение можно прочитать по-разному:
- В числителе стоит отдельное число 7, а в знаменателе — дробь 12/5;
- В числителе стоит дробь 7/12, а в знаменателе — отдельное число 5.
Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:
Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно — в несколько раз.
Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:
Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать правильно. Напоследок — пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:
Задача. Найдите значения выражений:
Итак, работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем выполним операции сложения и деления:
Аналогично поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные выкладки. Имеем:
Благодаря тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере мы намеренно оставили в форме дроби, чтобы выполнить деление.
Также отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым делом мы находили сумму, и лишь затем — частное.
Кто-то скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что важнее: скорость или надежность.
Источник
Памятка — карточка «Многоэтажные дроби» для учащихся 6-11 классов.
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Многоэтажные дроби 
В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:
Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:
Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления.
Будьте внимательны, здесь легко запутаться. Обратите внимание, например:
При делении единицы на любую дробь, результатом будет та же самая дробь, только перевернутая:
Если пример содержит только действия II ступени, то их удобно выполнить под одной дробной чертой.
При вычислениях многоэтажных дробей часто удобно числитель и знаменатель записать в виде натуральных чисел. Для этого надо:
1) Найти НОК знаменателей в выражении многоэтажной дроби;
2) числитель и знаменатель многоэтажной дроби умножить на НОК их знаменателей, в результате записать числитель и знаменатель дроби целыми числами;
3) выполнить действия над целыми числами.
Образец: переход к натуральным числам
= 
1) 
3) 
= 
= 
2) 
4) 
Пример (1) проще решить по действиям.
В примере (2) НОК находят устно, расставляют доп. множители, выполняют действия с натуральными числами по условию.
1. 1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
2. 1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
3. 1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
4. 1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
5. 1) 
2) 3 — 
3) 7 — 
4) 9 — 
5) 1 — 
6) 3 — 
7) 1 + 
6. 1) 1 + 
2) 1 + 
3) 
4) 
5) 
Источник