Как избавится от дробной степени

Перевод корней в степени и обратно: объяснение, примеры

Часто преобразование и упрощение математических выражений требует перехода от корней к степеням и наоборот. Данная статья рассказывает о том, как осуществлять перевод корня в степень и обратно. Рассматривается теория, практические примеры и наиболее распространенные ошибки.

Переход от степеней с дробными показателями к корням

Допустим, мы имеем число с показателем степени в виде обыкновенной дроби — a m n . Как записать такое выражение в виде корня?

Ответ вытекает из самого определения степени!

Положительное число a в степени m n — это корень степени n из числа a m .

При этом, обязательно должно выполнятся условие:

a > 0 ; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ .

Дробная степень числа нуль определяется аналогично, однако в этом случае число m принимается не целым, а натуральным, чтобы не возникло деления на 0 :

0 m n = 0 m n = 0 .

В соответствии с определением, степень a m n можно представить в виде корня a m n .

Например: 3 2 5 = 3 2 5 , 1 2 3 — 3 4 = 1 2 3 — 3 4 .

Однако, как уже было сказано, не следует забывать про условия: a > 0 ; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ .

Так, выражение — 8 1 3 нельзя представить в виде — 8 1 3 , так как запись — 8 1 3 попросту не имеет смысла — степень отрицательных чисел на определена.При этом, сам корень — 8 1 3 имеет смысл.

Переход от степеней с выражениями в основании и дробными показателями осуществляется аналогично на всей области допустимых значений (далее — ОДЗ) исходных выражений в основании степени.

Например, выражение x 2 + 2 x + 1 — 4 1 2 можно представить в виде квадратного корня x 2 + 2 x + 1 — 4 .Выражение в степени x 2 + x · y · z — z 3 — 7 3 переходит в выражение x 2 + x · y · z — z 3 — 7 3 для всех x , y , z из ОДЗ данного выражения.

Как представить корень в виде степени?

Обратная замена корней степенями, когда вместо выражения с корнем записывается выражения со степенью, также возможна. Просто перевернем равенство из предыдущего пункта и получим:

Опять же, переход очевиден для положительных чисел a . Например, 7 6 4 = 7 6 4 , или 2 7 — 5 3 = 2 7 — 5 3 .

Для отрицательных a корни имеют смысл. Например — 4 2 6 , — 2 3 . Однако, представить эти корни в виде степеней — 4 2 6 и — 2 1 3 нельзя.

Можно ли вообще преобразовать такие выражения со степенями? Да, если произвести некоторые предварительные преобразования. Рассмотрим, какие.

Используя свойства степеней, можно выполнить преобразования выражения — 4 2 6 .

— 4 2 6 = — 1 2 · 4 2 6 = 4 2 6 .

Так как 4 > 0 , можно записать:

В случае с корнем нечетной степени из отрицательного числа, можно записать:

— a 2 m + 1 = — a 2 m + 1 .

Тогда выражение — 2 3 примет вид:

— 2 3 = — 2 3 = — 2 1 3 .

Разберемся теперь, как корни, под которыми содержатся выражения, заменяются на степени, содержащие эти выражения в основании.

Обозначим буквой A некоторое выражение. Однако не будем спешить с представлением A m n в виде A m n . Поясним, что здесь имеется в виду. Например, выражение х — 3 2 3 , основываясь на равенстве из первого пункта, хочется представить в виде x — 3 2 3 . Такая замена возможна только при x — 3 ≥ 0 , а для остальных икс из ОДЗ она не подходит, так как для отрицательных a формула a m n = a m n не имеет смысла.

Таким образом, в рассмотренном примере преобразование вида A m n = A m n является преобразованием, сужающим ОДЗ, а из-за неаккуратного применения формулы A m n = A m n нередко возникают ошибки.

Чтобы правильно перейти от корня A m n к степени A m n , необходимо соблюдать несколько пунктов:

• В случае, если число m — целое и нечетное, а n — натуральное и четное, то формула A m n = A m n справедлива на всей ОДЗ переменных.
• Если m — целое и нечетное, а n — натуральное и нечетное,то выражение A m n можно заменить:
  — на A m n для всех значений переменных, при которых A ≥ 0 ;
  — на — — A m n для для всех значений переменных, при которых A 0 ;
• Если m — целое и четное, а n — любое натуральное число, то A m n можно заменить на A m n .

Сведем все эти правила в таблицу и приведем несколько примеров их использования.

Вернемся к выражению х — 3 2 3 . Здесь m = 2 — целое и четное число, а n = 3 — натуральное число. Значит, выражение х — 3 2 3 правильно будет записать в виде:

х — 3 2 3 = x — 3 2 3 .

Приведем еще один пример с корнями и степенями.

Пример. Перевод корня в степень

x + 5 — 3 5 = x + 5 — 3 5 , x > — 5 — — x — 5 — 3 5 , x — 5

Обоснуем результаты, приведенные в таблице. Если число m — целое и нечетное, а n — натуральное и четное, для всех переменных из ОДЗ в выражении A m n значение A положительно или неотрицательно (при m > 0 ). Именно поэтому A m n = A m n .

Во втором варианте, когда m — целое, положительное и нечетное, а n — натуральное и нечетное, значения A m n разделяются. Для переменных из ОДЗ, при которых A неотрицательно, A m n = A m n = A m n . Для переменных, при которых A отрицательно, получаем A m n = — A m n = — 1 m · A m n = — A m n = — A m n = — A m n .

Аналогично рассмотрим и следующий случай, когда m — целое и четное, а n — любое натуральное число. Если значение A положительно или неотрицательно, то для таких значений переменных из ОДЗ A m n = A m n = A m n . Для отрицательных A получаем A m n = — A m n = — 1 m · A m n = A m n = A m n .

Таким образом, в третьем случае для всех переменных из ОДЗ можно записать A m n = A m n .

Источник

Дробная степень

Какими свойствами обладает степень с дробным показателем (дробная степень)? Как выполнить возведение числа в дробную степень?

1) Степенью числа a (a>0) с рациональным показателем r

где m — целое число, n — натуральное число (n>1), называется число

При a

Выполнить возведение в дробную степень:

Если показатель степени — десятичная дробь, нужно предварительно перевести ее в обыкновенную.

Смешанное число нужно предварительно перевести в неправильную дробь:

А как вычисляется отрицательная дробная степень?

Степень с отрицательным рациональным показателем также определена только для a>0:

При возведении обыкновенной дроби в степень с отрицательным показателем удобно использовать формулу:

Выполнить возведение в степень с отрицательным рациональным показателем:

Источник

Возведение в степень: правила, примеры

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с формулирования базовых определений.

Возведение в степень — это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова «вычисление значение степени» и «возведение в степень» означают одно и то же. Так, если в задаче стоит «Возведите число 0 , 5 в пятую степень», это следует понимать как «вычислите значение степени ( 0 , 5 ) 5 .

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Как возвести число в натуральную степень

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен a . Это можно записать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Условие: возведите — 2 в степень 4 .

Решение

Используя определение выше, запишем: ( − 2 ) 4 = ( − 2 ) · ( − 2 ) · ( − 2 ) · ( − 2 ) . Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16 .

Возьмем пример посложнее.

Вычислите значение 3 2 7 2

Решение

Данную запись можно переписать в виде 3 2 7 · 3 2 7 . Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Выполните возведение в квадрат числа π .

Решение

Для начала округлим его до сотых. Тогда π 2 ≈ ( 3 , 14 ) 2 = 9 , 8596 . Если же π ≈ 3 . 14159 , то мы получим более точный результат: π 2 ≈ ( 3 , 14159 ) 2 = 9 , 8695877281 .

Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени ( ln 6 ) 3 или преобразовать, если это возможно: 5 7 = 125 5 .

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Так, ( − 9 ) 1 = − 9 , а 7 3 , возведенное в первую степень, останется равно 7 3 .

Как возвести число в целую степень

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени — целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1 . Ранее мы уже поясняли, что 0 -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0 , и a 0 = 1 .

5 0 = 1 , ( — 2 , 56 ) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 — не определен.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1 a z , где а — любое число, а z — целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.

Возведите 2 в степень — 3 .

Решение

Используя определение выше, запишем: 2 — 3 = 1 2 3

Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим 8 : 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

Тогда ответ таков: 2 — 3 = 1 2 3 = 1 8

Возведите 1 , 43 в степень — 2 .

Решение

Переформулируем: 1 , 43 — 2 = 1 ( 1 , 43 ) 2

Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

В итоге у нас вышло ( 1 , 43 ) — 2 = 1 ( 1 , 43 ) 2 = 1 2 , 0449 . Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

Ответ: ( 1 , 43 ) — 2 = 10000 20449

Отдельный случай — возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a — 1 = 1 a 1 = 1 a .

Пример: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 — 1 = 13 9 6 4 — 1 = 1 6 4 .

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: a m n = a m n при любом положительном a , целом m и натуральном n .

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n -ной степени.

У нас есть равенство a m n = a m n , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде a m n = a n m . Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m / n , то сначала мы извлекаем корень n -ной степени из а , потом возводим результат в степень с целым показателем m .

Проиллюстрируем на примере.

Вычислите 8 — 2 3 .

Решение

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8 — 2 3 = 8 — 2 3

Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: 8 — 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8 — 2 3 = 8 — 2 3 = 8 3 — 2

После этого извлечем корень 8 3 — 2 = 2 3 3 — 2 = 2 — 2 и результат возведем в квадрат: 2 — 2 = 1 2 2 = 1 4

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

Возведите 44 , 89 в степень 2 , 5 .

Решение

Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь: 44 , 89 2 , 5 = 44 , 89 5 2 .

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501 , 25107

Ответ: 13 501 , 25107 .

Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями — довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0 m n можно придать такой смысл: если m n > 0 , то 0 m n = 0 m n = 0 ; если m n 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную — значения не имеет: 0 — 4 3 .

Как возвести число в иррациональную степень

Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a , то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:

Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367.

Решение

Ограничимся десятичным приближением a n = 1 , 17 . Проведем вычисления с использованием этого числа: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Если же взять, к примеру, приближение a n = 1 , 1743 , то ответ будет чуть точнее: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 , 1743 ≈ 2 , 256833 .

Источник