Как избавиться от иррационального числа

Как избавиться от иррациональности

Иррациональностью в знаменателе (нижней части дроби) называют наличие корней в знаменателе.

Что такое иррациональность в знаменателе дроби

Рассмотрим на примерах ниже, в каких дробях в знаменателе есть иррациональность, а в каких её нет.

• √ 6

  2

  в знаменателе нет корней, значит иррациональности нет ;

• 5

  √ 6

  в знаменателе есть
  корень « √ 6 » — иррациональность в знаменателе есть .

• 4

  √ 7 − √ 3

  в знаменателе есть корни « √ 7 » и « √ 3 » — иррациональность есть .

• a + b

  √ c − 3

  в знаменателе есть
  корень « √ c − 3 » — иррациональность в знаменателе есть .

Избавиться от иррациональности в знаменателе означает убрать все корни из знаменателя.

Возникает логичный вопрос, как это можно сделать?

Чаще всего встречаются два вида примеров. Рассмотрим решение обоих видов.

Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе только один корень

На помощь приходит основное свойство дроби. Вспомним, что оно позволяет умножить и разделить дробь на одно и то же число, чтобы в конечном итоге дробь не изменилась.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе с одним корнем, нужно умножить и числитель, и знаменатель на корень из знаменателя.

По традиции разберемся на практике.

№ 366 (1) Колягин, Алимов 9 класс

Исключить иррациональность из знаменателя:

Зададим себе вопрос, на что нужно умножить « √ 5 » в знаменателе, чтобы избавиться от корня.

Ответ: на « √ 5 ». В самом деле, если квадратный корень умножить сам на себя получится число под корнем. Проверим.

√ 5 · √ 5 = √ 5 · 5 = √ 5 2 = 5

Используем основное свойство дроби, умножим и числитель, и знаменатель на « √ 5 », чтобы избавиться от корня в знаменателе.

3

√ 5

=

3 · √ 5

√ 5 · √ 5

=

3 · √ 5

√ 5 · 5

=

3 · √ 5

√ 5 2

=
=

3 · √ 5

5

Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе несколько корней

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе c несколькими корнями, нужно использовать формулы сокращённого умножения.

Разберемся по традиции на примере.

№ 366 (3) Колягин, Алимов 9 класс

Исключить иррациональность из знаменателя:

На что нужно умножить знаменатель « 2 − √ 3 » , чтобы убрать из него корень?

Теперь недостаточно умножить знаменатель на « √ 3 » , ведь в таком случае все равно остается квадратный корень.

(2 − √ 3 ) · √ 3 = 2 √ 3 − √ 3 · √ 3 =

Мы видим, что корень никуда не исчез. Нужно искать другие варианты решения.

Вспомним формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

Формула разности квадратов также работает в обратную сторону.

Представим, что « 2 − √ 3 » — это часть формулы.

Логично предположить, что в формуле « a » — это « 2 », « b » — « √ 3 ». Подставим вместо знаков « ? » числа.

(a + b)(a − b) = a 2 − b 2

(2 + √ 3 )(2 − √ 3 ) = 2 2 − √ 3 2 = 4 − 3 = 1

То есть, чтобы избавиться от иррациональности в дроби требуется умножить знаменатель « 2 − √ 3 »
на « 2 + √ 3 » и через формулу «Разность квадратов» убрать квадратные корни.

Не забываем, что по основному свойству дроби мы обязаны также умножить числитель на « 2 + √ 3 ».

1

2 − √ 3

=

1 · (2 + √ 3 )

(2 − √ 3 ) · ( 2 + √ 3 )

=
=

2 + √ 3

2 2 − √ 3 2

=

2 + √ 3

4 − 3

=

2 + √ 3

1

= 2 + √ 3

Примеры освобождения от иррациональности в знаменателе

№ 366 (2; 7) Колягин, Алимов 9 класс

Исключить иррациональность из знаменателя:

2)

2

√ 6

2

√ 6

=

2 · √ 6

√ 6 · √ 6

=

2 · √ 6

√ 6 · 6

=

2· √ 6

√ 6 2

=
=

2 · √ 6

6

Рассмотрим пример, когда в знаменателе несколько корней.

7)

√ 5 − √ 7

√ 5 + √ 7

=

Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

Умножим и числитель, и знаменатель на «( √ 5 − √ 7 )», чтобы использовать формулу сокращённого умножения в знаменателе и избавиться от корней.

√ 5 − √ 7

√ 5 + √ 7

=

( √ 5 − √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 )

( √ 5 + √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 )

=
=

( √ 5 − √ 7 ) 2

√ 5 2 − √ 7 2

= …

Используем в числителе (наверху в дроби) формулу «Квадрат разности».

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

√ 5 − √ 7

√ 5 + √ 7

=

( √ 5 − √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 )

( √ 5 + √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 )

=
=

( √ 5 − √ 7 ) 2

√ 5 2 − √ 7 2

=
=

( √ 5 ) 2 − 2 · √ 5 · √ 7 + ( √ 7 ) 2

√ 5 2 − √ 7 2

=

=

5 − 2 √ 5 · 7 + 7

5 − 7

=

12 − 2 √ 35

− 2

=
= −

12 − 2 √ 35

2

= …

√ 5 − √ 7

√ 5 + √ 7

=

( √ 5 − √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 )

( √ 5 + √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 )

=
=

( √ 5 − √ 7 ) 2

√ 5 2 − √ 7 2

=

=

( √ 5 ) 2 − 2 · √ 5 · √ 7 + ( √ 7 ) 2

√ 5 2 − √ 7 2

=
=

5 − 2 √ 5 · 7 + 7

5 − 7

=

12 − 2 √ 35

− 2

=

= −

12 − 2 √ 35

2

= −

2 · (6 − √ 35 )

2

=
= −

2 (6 − √ 35 )

2

=
= − (6 − √ 35 ) = −6 + √ 35

№ 557 (5) Мерзляк 9 класс

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

5)

1

√ a − √ b

Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

Умножим и числитель, и знаменатель на « ( √ a + √ b ) », чтобы использовать формулу «Разность квадратов» в знаменателе и освободиться от корней.

Источник

Математика, которая мне нравится

Математика для школьников и студентов, обучение и образование

Тайна избавления от иррациональности

Данни Перич Кампана

Еще одна интересная книга для школьников, интересующихся математикой, к сожалению, не переведенная на русский язык, — это книга “Математические приключения Даниэля” (Las Aventuras Matemáticas de Daniel) чилийского учителя математики Данни Перича Кампаны (Danny Perich Campana), человека весьма неординарного и интересного. Он не только учит ребятишек, но и пишет песни, выкладывает в Интеренет различные обучающие материалы по математике. Их можно найти на youtube, и на сайте http://www.sectormatematica.cl/ (разумеется, все материалы на испанском языке).

Здесь выкладываю одну главу из книги Данни Перича. Мне она показалась довольно интересной и полезной для школьников. Чтобы было понятно, о чем идет речь, скажу, что Даниэль и Камила работают в школе, они учителя.

Тайна избавления от иррациональности

— Камила, у меня сейчас возникает много проблем, когда пытаюсь объяснить, для чего применяется то, что проходим на уроке, — сказал Даниэль.

— Не очень понимаю, о чем ты говоришь.

— Я о том, что есть во всех школьных учебниках и даже книгах университетского уровня. Меня все равно не оставляют сомнения: зачем нужно избавляться от иррациональности в знаменателе? И я терпеть не могу рассказывать то, чего не понимаю уже столько времени, — жаловался Даниэль.

— Я тоже не знаю, откуда это идет и зачем это нужно, но должно быть какое-то логическое объяснение этому.

— Как-то я прочитал в одном научном журнале, что избавление от иррациональности в знаменателе позволяет получить результат с большей точностью, но никогда больше не встречал этого и не уверен, что это так и есть.

— А почему бы нам это не проверить? — спросила Камила.

— Ты права, — согласился Даниэль. — Вместо того, чтобы жаловаться, нужно попытаться самим сделать выводы. Тогда помоги мне…

— Конечно, теперь мне самой это интересно.

— Мы должны взять какие-нибудь выражения и избавиться от иррациональности в знаменателе, потом заменить корень на его значение и найти результат выражения до избавления от иррациональности в знаменателе и после и посмотреть, изменится ли что-нибудь.

— Разумеется, — согласилась Камила. — Давай так и сделаем.

— Возьмем, например, выражение , — сказал Даниэль и взял лист бумаги, чтобы записывать происходящее. — Умножим числитель и знаменатель на и получим .

— Будет правильно и может помочь нам сделать выводы, если мы рассмотрим другие иррациональные выражения, равные данному, — предложила Камила.

— Согласен, — сказал Даниэль, — я поделю числитель и знаменатель на , а ты домножь их на .

— У меня получилось . А у тебя?

— У меня , — ответил Даниэль. — Теперь вычислим исходное выражение и полученные, заменяя на его значение со всеми десятичными знаками, которые дает калькулятор. Получим:

— Не вижу ничего особенного, — сказала Камила. — Я ожидала какого-либо различия, которое оправдало бы избавление от иррациональности.

— Как я тебе уже говорил, я когда-то читал об этом в связи с приближением. Что ты скажешь, если мы заменим на менее точное число, например, на ?

— Пробуем и смотрим, что получилось.

— И как ты думаешь, что мы получили? — спросил, улыбаясь, Даниэль.

— Чудо! — воскликнула Камила, и то, насколько она была счастлива, было видно по яркому блеску ее глаз.

— Итак, если брать приближенное значение , ближайшее к точному значению значение иррационального выражения получается, если избавиться от иррациональности в знаменателе и брать его в форме, которую обычно используем на уроках, или , сделал вывод Даниэль.

Источник

Иррациональность в знаменателе

Если дробь содержит корень в знаменателе, то мы говорим об иррациональности в знаменателе дроби. Часто бывает необходимо освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. То есть заменить исходную дробь, содержащую иррациональность в знаменателе на тождественно равную ей дробь, которая иррациональность не содержит. Как это сделать?

Общее правило такое: нужно числитель и знаменатель дроби умножить на выражение, сопряженное знаменателю дроби.

Выражение А называется сопряженным иррациональному выражению В, если произведение АВ не содержит знака корня, то есть произведение АВ является рациональным числом.

Рассмотрим примеры сопряженных выражений.

1. Иррациональное выражение В содержит квадратный корень.

Возможны два случая:

a) . В этом случае :

Например, чтобы исключить иррациональность из знаменателя в дроби , нужно числитель и знаменатель дроби умножить на , получим

Внимание! Обязательно умножаем на выражение, сопряженное знаменателю и числитель, и знаменатель дроби — только в этом случае мы получим дробь, тождественно равную исходной.

б) , =0;

b>=0, a<>b»/>

В этом случае сопряженным выражением будет дополняющее до разности квадратов:

Для выражения сопряженным будет :

Соответственно, для выражения сопряженным будет :

Например, исключим иррациональность из знаменателя дроби

Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на

Получим:

2. Иррациональное выражение В содержит корень n-й степени:

В этом случае сопряженное выражение :

Пример: исключим иррациональность из знаменателя дроби

Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение . Получим:

3. Иррациональное выражение В является одним из множителей в разложении на множители разности или суммы кубов. В этом случае сопряженным ему выражением будет второй множитель:

Исключим иррациональность из знаменателя дроби:

Рассмотрим пример упрощения выражения, содержащего иррациональность в знаменателе дроби.

Найти значение выражения:

Внимание! Если нужно упростить выражение, содержащее иррациональность в знаменателе, то первым делом исключаем иррациональность из знаменателя, даже если кажется, что без этого можно обойтись.

Итак, исключим иррациональность из знаменателя первой и второй дроби:

Подставим полученные выражения в исходное:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник