Как избавиться от иррациональности 8 класс

Как избавиться от иррациональности

Иррациональностью в знаменателе (нижней части дроби) называют наличие корней в знаменателе.

Что такое иррациональность в знаменателе дроби

Рассмотрим на примерах ниже, в каких дробях в знаменателе есть иррациональность, а в каких её нет.

• √ 6

  2

  в знаменателе нет корней, значит иррациональности нет ;

• 5

  √ 6

  в знаменателе есть
  корень « √ 6 » — иррациональность в знаменателе есть .

• 4

  √ 7 − √ 3

  в знаменателе есть корни « √ 7 » и « √ 3 » — иррациональность есть .

• a + b

  √ c − 3

  в знаменателе есть
  корень « √ c − 3 » — иррациональность в знаменателе есть .

Избавиться от иррациональности в знаменателе означает убрать все корни из знаменателя.

Возникает логичный вопрос, как это можно сделать?

Чаще всего встречаются два вида примеров. Рассмотрим решение обоих видов.

Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе только один корень

На помощь приходит основное свойство дроби. Вспомним, что оно позволяет умножить и разделить дробь на одно и то же число, чтобы в конечном итоге дробь не изменилась.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе с одним корнем, нужно умножить и числитель, и знаменатель на корень из знаменателя.

По традиции разберемся на практике.

№ 366 (1) Колягин, Алимов 9 класс

Исключить иррациональность из знаменателя:

Зададим себе вопрос, на что нужно умножить « √ 5 » в знаменателе, чтобы избавиться от корня.

Ответ: на « √ 5 ». В самом деле, если квадратный корень умножить сам на себя получится число под корнем. Проверим.

√ 5 · √ 5 = √ 5 · 5 = √ 5 2 = 5

Используем основное свойство дроби, умножим и числитель, и знаменатель на « √ 5 », чтобы избавиться от корня в знаменателе.

3

√ 5

=

3 · √ 5

√ 5 · √ 5

=

3 · √ 5

√ 5 · 5

=

3 · √ 5

√ 5 2

=
=

3 · √ 5

5

Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе несколько корней

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе c несколькими корнями, нужно использовать формулы сокращённого умножения.

Разберемся по традиции на примере.

№ 366 (3) Колягин, Алимов 9 класс

Исключить иррациональность из знаменателя:

На что нужно умножить знаменатель « 2 − √ 3 » , чтобы убрать из него корень?

Теперь недостаточно умножить знаменатель на « √ 3 » , ведь в таком случае все равно остается квадратный корень.

(2 − √ 3 ) · √ 3 = 2 √ 3 − √ 3 · √ 3 =

Мы видим, что корень никуда не исчез. Нужно искать другие варианты решения.

Вспомним формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

Формула разности квадратов также работает в обратную сторону.

Представим, что « 2 − √ 3 » — это часть формулы.

Логично предположить, что в формуле « a » — это « 2 », « b » — « √ 3 ». Подставим вместо знаков « ? » числа.

(a + b)(a − b) = a 2 − b 2

(2 + √ 3 )(2 − √ 3 ) = 2 2 − √ 3 2 = 4 − 3 = 1

То есть, чтобы избавиться от иррациональности в дроби требуется умножить знаменатель « 2 − √ 3 »
на « 2 + √ 3 » и через формулу «Разность квадратов» убрать квадратные корни.

Не забываем, что по основному свойству дроби мы обязаны также умножить числитель на « 2 + √ 3 ».

1

2 − √ 3

=

1 · (2 + √ 3 )

(2 − √ 3 ) · ( 2 + √ 3 )

=
=

2 + √ 3

2 2 − √ 3 2

=

2 + √ 3

4 − 3

=

2 + √ 3

1

= 2 + √ 3

Примеры освобождения от иррациональности в знаменателе

№ 366 (2; 7) Колягин, Алимов 9 класс

Исключить иррациональность из знаменателя:

2)

2

√ 6

2

√ 6

=

2 · √ 6

√ 6 · √ 6

=

2 · √ 6

√ 6 · 6

=

2· √ 6

√ 6 2

=
=

2 · √ 6

6

Рассмотрим пример, когда в знаменателе несколько корней.

7)

√ 5 − √ 7

√ 5 + √ 7

=

Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

Умножим и числитель, и знаменатель на «( √ 5 − √ 7 )», чтобы использовать формулу сокращённого умножения в знаменателе и избавиться от корней.

√ 5 − √ 7

√ 5 + √ 7

=

( √ 5 − √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 )

( √ 5 + √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 )

=
=

( √ 5 − √ 7 ) 2

√ 5 2 − √ 7 2

= …

Используем в числителе (наверху в дроби) формулу «Квадрат разности».

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

√ 5 − √ 7

√ 5 + √ 7

=

( √ 5 − √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 )

( √ 5 + √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 )

=
=

( √ 5 − √ 7 ) 2

√ 5 2 − √ 7 2

=
=

( √ 5 ) 2 − 2 · √ 5 · √ 7 + ( √ 7 ) 2

√ 5 2 − √ 7 2

=

=

5 − 2 √ 5 · 7 + 7

5 − 7

=

12 − 2 √ 35

− 2

=
= −

12 − 2 √ 35

2

= …

√ 5 − √ 7

√ 5 + √ 7

=

( √ 5 − √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 )

( √ 5 + √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 )

=
=

( √ 5 − √ 7 ) 2

√ 5 2 − √ 7 2

=

=

( √ 5 ) 2 − 2 · √ 5 · √ 7 + ( √ 7 ) 2

√ 5 2 − √ 7 2

=
=

5 − 2 √ 5 · 7 + 7

5 − 7

=

12 − 2 √ 35

− 2

=

= −

12 − 2 √ 35

2

= −

2 · (6 − √ 35 )

2

=
= −

2 (6 − √ 35 )

2

=
= − (6 − √ 35 ) = −6 + √ 35

№ 557 (5) Мерзляк 9 класс

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

5)

1

√ a − √ b

Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

Умножим и числитель, и знаменатель на « ( √ a + √ b ) », чтобы использовать формулу «Разность квадратов» в знаменателе и освободиться от корней.

Источник

Иррациональность дроби — как правильно избавиться от знака корня в знаменателе?

Определение иррациональности

Часто в задачах по математике можно встретить примеры, которые содержат иррациональность. Если условие направлено на избавление от нее, значит, нужно выполнить математические действия с рациональными числами. Иррациональны дроби, нижняя часть которых содержит подкоренное выражение.

Присутствие квадратного корня в математическом примере следует исключить, согласно правилу, требующему преобразования в рациональное число радикала. В результате действий он будет в числителе. Преобразованный пример, содержащий иррациональность, не теряет своего исходного значения.

Правила избавления от радикала

Придерживаясь общего правила замены подкоренной части тождественно равным выражением, можно освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Достаточно выполнить несложное действие умножения дроби на выражение, которое содержит знак радикала и сопряжено с нижней частью. Полученная в результате дробь не должна содержать подкоренной части.

Общее правило позволяет извлечь из знаменателя квадратный корень. Аналогично можно решать примеры, вычисляя радикал любой степени. Облегчить задачу поможет специальный онлайн-калькулятор. Рациональное число достаточно представить в виде произведения АВ, если это значение не имеет знака радикала. При этом А и В сопряжены между собой.

Например, чтобы представить корень кубический из дроби с числами 1 и 3 в верхней и нижней части, нужно выполнить следующие действия:

1. Вначале следует умножить 2 члена на 3 в квадрате.
2. Затем нужно числитель возвести в квадрат, а нижнюю часть представить как 3 в кубе.
3. После этого можно извлечь кубический корень, оставив радикал в числителе.
4. В результате полученное число будет иметь вид произведения 1/3 на кубический корень из 9.

Для решения подобных примеров иногда нужно домножить 2 члена дробного выражения на разность между корнями, когда делитель представлен в виде суммы.

Если он выражен как разность составляющих, то следует умножить дробь на радикал из суммы аналогичных чисел. В примерах, которые содержат радикалы, имеющие различные показатели, вначале избавляются от одного корня, а затем от другого.

Использование средств преобразования

Способ приведения иррационального примера к рациональному виду зависит от нижней части с радикалом. Он может включать несколько подкоренных выражений. Если решение алгебраической задачи требует уничтожить иррациональность, тогда нужно освободить выражение от иррациональности в знаменателе. Используемый способ зависит от вида выражения, представляющего собой дробь, нижняя часть которой имеет:

• сумму или разницу квадратных корней;
• радикал 2-й степени;
• разницу либо сумму радикалов 3-й степени;
• иррациональное значение в виде корня n-й степени.

В последнем случае необходимо для избавления знаменателя дроби от иррациональности подобрать множитель, позволяющий извлечь целый корень. Подкоренное выражение, представленное как число в k-й степени, нужно привести к рациональному виду. Учитывая, что n>k, число под корнем возводят в степень n-k. При этом обе дробные части умножают на сопряженное выражение.

Пользуясь правилом преобразования выражений с радикалом, следует помнить о том, что нужно обязательно получить рациональное число. Приводить к таком виду можно разные примеры с корнями. Искомое число дают 2 корня, взятые в виде суммы и разности при умножении на сопряженное выражение с противоположным знаком.

Результат можно представить аналогичным способом, если числитель и знаменатель содержат не 2 корня, а сумму или разность числа и радикала. Зная, как избавляться от иррациональности в знаменателе дроби, на его вид нужно обратить внимание в первую очередь. Это позволит правильно упростить выражение и убрать корень.

Более сложные примеры могут потребовать возведения в степень иррационального знаменателя дроби. Замену дроби с иррациональным числителем либо знаменателем производят на тождественное ей дробное выражение. Оно содержит рациональный числитель или знаменатель, а действие является уничтожением иррациональности.

Для избавления знаменателя дроби от подкоренной части применяют формулы сокращенного умножения, или ФСУ. Умножая разность корней на их сумму, можно получить разность квадратов радикалов, которая будет рациональным числом.

Источник

«Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби»
план-конспект урока по алгебре (8 класс) по теме

Материал содержит подробный конспект урока и презентацию к нему.

Скачать:

Вложение	Размер
urok_algebry_8_klass.zip	102.98 КБ

Как сдать ЕГЭ на 80+ баллов?

Репетиторы Учи.Дома помогут подготовиться к ЕГЭ. Приходите на бесплатный пробный урок, на котором репетиторы определят ваш уровень подготовки и составят индивидуальный план обучения.

Бесплатно, онлайн, 40 минут

Предварительный просмотр:

Тема урока : «Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби»

Цели урока : 1.Учебные:

Изучить правило освобождения от иррациональности в знаменателе дроби.

Научить учащихся применять его на практике.

Организация класса: Класс делится на группы. В каждой групп распределяются роли:

Оборудование: карточки с заданиями, ответами. Листы настроений, презентация к уроку.

1. Устная работа. Девиз: «Повторение – мать учения »

• Что называют арифметическим квадратным корнем из числа а?

• Как найти квадратный корень из произведения, дроби?

• При каком а выражение имеет смысл?

1. Повторяем определение квадратного корня и его свойства.

Каждая группа выполняет задание, учитывая возможности членов группы. После выполнения делается проверка.

Какие алгебраические формулы вы применяли? (формула разности квадратов)

1. . Девиз : « Книга – книгой, а мозгами двигай»

Задания в группах: Подбери недостающий множитель так , чтобы результат не содержал знака квадратного корня.

1. Работа над новым материалом.

Что проще вычислить?

Почему верно равенство?

Задача. Преобразовать алгебраическое выражение к такому виду, чтобы знаменатель дроби не содержал знаков квадратных корней:

Используем основное свойство дроби, то есть подбираем такой множитель, чтобы при умножении на него в знаменателе дроби не оказалось квадратных корней.

Если знаменатель алгебраической дроби содержит знак квадратного корня, то говорят, что в знаменателе содержится иррациональность. Преобразование выражения к такому виду, чтобы в знаменателе дроби не оказалось знаков квадратных корней, называют освобождением от иррациональности в знаменателе. (включить примеры из электронного ресурса)

Алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби:

1. Разложить знаменатель дроби на множители.
2. Если знаменатель имеет вид или содержит множитель , то числитель и знаменатель следует умножить на . Если знаменатель имеет вид , то числитель и знаменатель дроби надо умножить на выражение, сопряженное знаменателю.
3. преобразовать числитель и знаменатель дроби , если возможно, то сократить полученную дробь.

Выражения вида и называются сопряженными.

Используя алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби решить следующие задания.

Задание 1. Освободите выражение от иррациональности в знаменателе .

Умение освобождаться от иррациональности в знаменателе во многих случаях облегчает тождественные преобразования выражений.

• Мартышка – апельсинов продавщица,
• Приехав как – то раз к себе на дачу,
• Нашла там с радикалами задачу.
• Но сосчитать не в силах стройный ряд,
• Разбрасывать их стала все подряд.
• И молвила: « Что толку в той задаче
• Коль из нее не слепишь новой дачи!»
• Мы верим все же, что мартышки мненье –
• Не истинно для тех, кто знает толк ученье
• И просим вас, девчонки и мальчишки,
• Решить задачу на хвосте мартышки .

7. Подведение итогов урока:

— Что понимают под освобождением от иррациональности в знаменателе дроби?

— Для чего нужно уметь освобождаться от иррациональности в знаменателе дроби?

— Каким алгоритмом мы можем для этого воспользоваться?

8. Задание на дом:

• П.19
• 1 уровень: №432,433,
• 2 уровень: №434,436,505(а,в)
• Творческое задание: №511

Источник