В математике кроме натуральных, рациональных и вещественных чисел имеется ещё один вид, называемый комплексными числами. Такое множество принято обозначать символом $ \mathbb $.
Рассмотрим, что из себя представляет комплексное число. Запишем его таким образом: $ z = a + ib $, в котором мнимая единица $ i = \sqrt <-1>$, числа $ a,b \in \mathbb $ вещественные.
Если положить $ b = 0 $, то комплексное число превращается в вещественное. Таким образом, можно сделать вывод, что действительные числа это частный случай комплексных и записать это в виде подмножества $ \mathbb \subset \mathbb $. К слову говоря также возможно, что $ a = 0 $.
Принято записывать мнимую часть комплексного числа как $ Im(z) = b $, а действительную $ Re(z) = a $.
Введем понятие комплексно-сопряженных чисел. К каждому комплексному числу $ z = a+ib $ существует такое, что $ \overline = a-ib $, которое и называется сопряженным. Такие числа отличаются друг от друга только знаками между действительной и мнимой частью.
Формы
Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:
Алгебраическая $ z = a+ib $
Показательная $ z = |z|e^ $
Тригонометрическая $ z = |z|\cdot(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)) $
Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.
Изображение
Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:
Видим, что $ a,b \in \mathbb $ расположены на соответствующих осях плоскости.
Комплексное число $ z = a+ib $ представляется в виде вектора $ \overline $.
Аргумент обозначается $ \varphi $.
Модуль $ |z| $ равняется длине вектора $ \overline $ и находится по формуле $ |z| = \sqrt $
Аргумент комплексного числа $ \varphi $ нужно находить по различным формулам в зависимости от полуплоскости, в которой лежит само число.
Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:
$$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$
Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:
Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:
Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:
В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.
Решать будем по общей формуле, которую все выучили в 8 классе. Находим дискриминант $$ D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4\cdot 1 \cdot 2 = 4-8 = -4 $$
Источник
Деление комплексных чисел
Деление комплексных чисел можно производить в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Для каждой из них существует своя формула.
Формула
Формула деления в алгебраической форме
Чтобы разделить в алгебраической форме нужно числитель и знаменатель умножить на число, сопряженное к знаменателю. Тем самым избавляемся от комплексности в знаменателе:
Формула деления в тригонометрической форме
В этой форме необходимо разделить модули комплексных чисел и найти разность аргументов:
В данной форме делятся модули и в экспоненте вычисляется разность аргументов:
Примеры решений
Пример 1
Разделить два комплексных числа: $ z_1 = 3+i $ и $ z_2 = 2-3i $
Решение
Так как числа заданы в алгебраической форме, то и нужно применить соответствующую формулу.
Сопряженным комплексным числом к знаменателю будет $ \overline = 2+3i $. Домножим и разделим на него дробь, чтобы избавиться от комплексности в знаменателе:
Приводим подобные слагаемые:
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Так как требуется выполнить деление комплексных чисел в тригонометрической форме, то пользуемся соответствующей формулой. В ней нужно найти деление модулей и разность аргументов.
По формуле деления в показательной форме находим разность аргументов и частное модулей:
Источник
Комплексные числа
Калькулятор отображает комплексное число на комплексной плоскости, отображает число в различных формах, вычисляет модуль, главный аргумент и сопряженное число для заданного комплексного числа.
Начиная с 16 века математики столкнулись с необходимостью введения комплексных чисел, то есть чисел вида a+bi, где a,b — вещественные числа, i — мнимая единица — число, для которого выполняется равенство: i 2 =-1.
Интересно проследить, как менялось представление о комплексных числах с течением времени. Вот некоторые цитаты из древних трудов:
XVI век : Эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны. 1
XVII век : Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием. 2
XVIII век : Квадратные корни из отрицательных чисел не равны нулю, не меньше нуля и не больше нуля. Из сего видно, что квадратные корни из отрицательных чисел не могут находиться среди возможных чисел. Поэтому, нам не остается ничего другого, как признать их невозможными числами. Это ведет нас к понятию таких чисел, которые по своей природе невозможны и обычно называются мнимыми или воображаемыми, потому что их только в уме представить можно. 3
XIX век Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств. 4
Известно три способа записи комплексного числа z:
Алгебраическая запись комплексного числа
, где a и b — вещественные числа, i — мнимая единица. a — действительная часть, bi — мнимая часть.
Тригонометрическая запись комплексного числа
, где r — модуль комплексного числа:
, который соответствует расстоянию от точки на комплексной плоскости до начала координат, а φ — угол наклона вектора 0-z к оси действительных значений или аргумент комплексного числа.
Показательная запись комплексного числа
была введена Леонардом Эйлером для сокращения тригонометрической записи.
Источник
Комплексные числа — простое объяснение. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел
Комплексные числа (от латинского complexus — связь, сочетание) — это числа вида a+bi, где a, b — вещественные числа, i — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: i² = -1. Число a называется действительной частью комплексного числа, число b называется мнимой частью комплексного числа.
Комплексные числа не так сложны, как могло бы показаться. В начале они назывались невозможными числами. Также их еще называли мнимыми или воображаемыми, поскольку действительно чтобы их представить, требуется немного воображения. В данном обзоре постараемся в доступной форме с наглядными примерами разобраться с данными числами.
Комплексные числа — простое объяснение
Для того, чтобы разобраться с комплексными числами, следует для начала рассмотреть множество действительных чисел. К этому множеству относятся целые числа, и дроби, и иррациональные числа. При этом каждой точке числовой прямой обязательно соответствует некоторое действительное число.
Рассмотрим две точки на прямой А = 1 и Б = 2. Сложим эти две точки. Их сумма эта третья точка В = 1+2 = 3.
Точки также можно перемножать. Посмотрим, например, как действует умножения на минус 2. Данное действие преобразует точку 1 в минус 2. Если мы снова умножим на минус 2, то нужно будет повторить аналогичное передвижение на прямой, поменять стороны относительно начала координат и удвоить расстояние до него. В результате получим 4.
Умножение на минус 1 устроено просто. Каждая точка переходит в симметричную ей относительно начала координат. Другими словами нужно сделать пол оборота (повернуть на 180°). Повторение умножения на минус 1 приводит в исходное положение. Умножение на минус 1 переводит 1 в минус 1. Если еще раз умножить на минус 1, мы вернемся обратно в 1.
На данном этапе можно выделить правило, что если умножить число на себя, результат всегда будет положительным. Другими словами минус 1 не имеет квадратного корня. Но только не в случае с комплексными числами.
В начале 19 века Робер Арган высказал следующую идею. Поскольку умножить на минус 1 означает повернуть на 180°, то квадратный корень из минус 1 означает повернуть на половину (90°). Если повернуть дважды на четверть оборота, вы сделаете пол оборота. Квадрат четверти оборота — это пол оборота (минус 1). То есть квадратный корень из минус 1 отвечает точке, в которую минус 1 переходит при повороте на 90°. Поскольку такое построение, выходящее за пределы горизонтальной прямой, выглядит странным, говорят, что такая точка, являющаяся квадратным корнем из минус 1 — это мнимое число. И в математике оно обозначается — i.
С выходом за пределы прямой, все последующие действия производятся легко. Можно отметить числа 2i, 3i и так далее. Каждой точке плоскости отвечает комплексное число. И наоборот — всякое комплексное число задает точку на плоскости.
Операции с комплексными числами
Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел. Например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше.
Сложение и вычитание комплексных чисел
Комплексные числа могут складываться и вычитаться как обычные.
Рассмотрим точку, обозначающую число 1+2i. Прибавим к нему число 3+1i. Можно сложить столбиком и получить 4+3i. Геометрически это обычное сложение векторов.
Разность комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, представляет собой комплексное число, действительная часть которого и коэффициент при мнимой части равны соответственно разности действительных частей и разности коэффициентов при мнимой части уменьшаемого и вычитаемого.
В общем виде вычитание комплексных чисел z1 = a+bi и z2 = c+di можно записать так: z1-z2 = (a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i.
Несколько примеров вычитания:
Умножение и деление комплексных чисел
Комплексные числа перемежаются точно также, как и действительные числа. Рассмотрим несколько примеров.
2×(1+1i) = 2+2i. Геометрически умножение на два выглядит как растягивание прямой с точкой на плоскости в два раза.
Умножать на i также не сложно. Известно, что i отвечает четверти оборота. Например, чтобы умножить 3+1i на i, достаточно повернуть точку на четверть оборота. Получаем -1+3i.
Умножим два комплексных числа 2+1,5i и -1+2,4i:
Сначала нужно умножить (-1+2,4 i) на два, затем на 1,5i. Далее складываются результаты. (2+1,5i)×(-1+2,4i) = 2(-1+2,4i)+1,5i(-1+2,4i) = -2+4,8i-1,5i+3,6×i×i. i в квадрате равно минус 1. Соответственно -2+4,8i-1,5i+3,6×i×i = -2+4,8i-1,5i-3,6 = -5,6+3,3i.
Частное комплексных чисел z1 = x1+y1i и z2 = x2+y2i в алгебраической форме находится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное число к знаменателю:
Рассмотрим пример деления -1+3i на 1+2i. Используя формулу для нахождения частного, получаем:
Комплексные числа — тригонометрическая форма
Казалось бы, плоскость двухмерная, так как для описания произвольной точки нужны два числа. На самом же деле можно обойтись одним числом. Для этого используется тригонометрическая форма представления. То есть z = a+bi можно представить как z = [z]×(cosφ+i×sinφ), где:
[z] — модуль комплексного числа. Это расстояние от соответствующей точки до начала координат на плоскости. Например, модуль 2 + 1,5i = 2,5.
φ (argz) — аргумент комплексного числа. Он находится измерением угла между осью абсцисс и прямой, соединяющей начало координат с точкой, отвечающей числу. Аргумент 2 + 1,5i = 36,8°.
По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: [z] = √(a²+b²). Данная формула справедлива для любых значений a и b.
Для нахождения аргумента (φ или argz) нужно воспользоваться следующими формулами:
Если a>0 (1-я и 4-я координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле argz = arctg(b/a).
Если a 0 (2-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле argz = π+arctg(b/a) .
Если a (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле argz = -π+arctg(b/a) .
Как видно, комплексные числа не так сложны, как могло бы показаться на первый взгляд. Ознакомившись с простым объяснением и методикой работы с ними, вы научитесь складывать, вычитать, умножать и делить комплексные числа. Также вы сможете переводить комплексные числа из алгебраической формы в тригонометрическую.
Видим, что $ a,b \in \mathbb 
