Как избавиться от корня математика

Как избавиться от квадратного корня в уравнении — математический — 2021

Когда вы впервые узнали о квадратах чисел, таких как 3 2 , 5 2 и x 2 , вы, вероятно, узнали об обратной операции с квадратами, а также о квадратном корне. Эта обратная связь между квадратными числами и квадратными корнями важна, потому что на простом английском языке это означает, что одна операция отменяет влияние другой. Это означает, что если у вас есть уравнение с квадратными корнями, вы можете использовать операцию «возведения в квадрат» или экспоненты, чтобы удалить квадратные корни. Но есть некоторые правила о том, как это сделать, а также потенциальная ловушка ложных решений.

TL; DR (слишком долго; не читал)

Чтобы решить уравнение с квадратным корнем, сначала выделите квадратный корень с одной стороны уравнения. Затем возведите в квадрат обе стороны уравнения и продолжайте решение для переменной. Не забудьте проверить свою работу в конце.

Простой пример

Прежде чем рассмотреть некоторые потенциальные «ловушки» решения уравнения с квадратными корнями, рассмотрим простой пример: Решите уравнение √ x + 1 = 5 для x .

Изолировать квадратный корень

Используйте арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, чтобы выделить выражение квадратного корня на одной стороне уравнения. Например, если исходное уравнение было √ x + 1 = 5, вы бы вычли 1 из обеих частей уравнения, чтобы получить следующее:

Квадрат обе стороны уравнения

Возведение в квадрат обеих сторон уравнения устраняет знак квадратного корня. Это дает вам:

Или, как только упростили:

Вы удалили знак квадратного корня, и у вас есть значение для x, поэтому ваша работа здесь завершена. Но подождите, есть еще один шаг:

Проверь свою работу

Проверьте свою работу, подставив найденное вами значение x в исходное уравнение:

Поскольку это вернуло правильное утверждение (5 = 5, в отличие от неверного утверждения, такого как 3 = 4 или 2 = -2, решение, которое вы нашли на шаге 2, является действительным. В этом примере проверка вашей работы кажется тривиальной. Но этот метод Устранение радикалов может иногда создавать «ложные» ответы, которые не работают в исходном уравнении, поэтому лучше всегда иметь привычку проверять свои ответы, чтобы убедиться, что они возвращают действительный результат, начиная сейчас.

Немного более сложный пример

Что если у вас есть более сложное выражение под знаком радикала (квадратный корень)? Рассмотрим следующее уравнение. Вы все еще можете применить тот же процесс, который использовался в предыдущем примере, но это уравнение выдвигает на первый план пару правил, которым вы должны следовать.

Изолировать радикальное

Как и раньше, используйте операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, чтобы выделить выражение радикала на одной стороне уравнения. В этом случае вычитание 5 с обеих сторон дает вам:

Предупреждения

Обратите внимание, что вас просят изолировать квадратный корень (который предположительно содержит переменную, потому что, если бы она была константой вроде √9, вы могли бы просто решить ее на месте; √9 = 3). Вас не просят изолировать переменную. Этот шаг наступает позже, после того как вы удалили знак квадратного корня.

Квадрат обе стороны

Возведите в квадрат обе стороны уравнения, что дает вам следующее:

Что упрощает до:

Предупреждения

Обратите внимание, что вы должны поставить квадрат под знаком радикала, а не только в переменной.

Изолировать переменную

Теперь, когда вы удалили корень или квадратный корень из уравнения, вы можете изолировать переменную. Чтобы продолжить пример, добавив 4 к обеим сторонам уравнения, вы получите:

Проверь свою работу

Как и прежде, проверьте свою работу, подставив найденное вами значение y обратно в исходное уравнение. Это дает вам:

Что упрощает до:

Упрощение радикала дает вам:

29 = 29, верное утверждение, которое указывает на действительный результат.

Как оценить логарифмы с основанием квадратного корня

Логарифм числа идентифицирует степень, которую определенное число, называемое основанием, должно быть увеличено, чтобы произвести это число. В общем виде это выражается как log a (b) = x, где a — основание, x — мощность, на которую возводится основание, а b — значение, в котором логарифм .

Как оценить, используя кривую квадратного корня

Кривая квадратного корня — это метод повышения оценок всего класса, чтобы привести их в соответствие с ожиданиями. Его можно использовать для коррекции неожиданно сложных испытаний или, как правило, для сложных занятий.

Как получить ответ квадратного корня из квадратного корня на Ти-84

Чтобы найти квадратный корень с помощью моделей Texas Instruments TI-84, найдите символ квадратного корня. Эта вторая функция находится над клавишей x в квадрате на всех моделях. Нажмите вторую функциональную клавишу в левом верхнем углу клавиатуры и выберите клавишу х в квадрате. Введите значение, о котором идет речь, и нажмите Enter.

Источник

Как избавиться от иррациональности

Иррациональностью в знаменателе (нижней части дроби) называют наличие корней в знаменателе.

Что такое иррациональность в знаменателе дроби

Рассмотрим на примерах ниже, в каких дробях в знаменателе есть иррациональность, а в каких её нет.

• √ 6

  2

  в знаменателе нет корней, значит иррациональности нет ;

• 5

  √ 6

  в знаменателе есть
  корень « √ 6 » — иррациональность в знаменателе есть .

• 4

  √ 7 − √ 3

  в знаменателе есть корни « √ 7 » и « √ 3 » — иррациональность есть .

• a + b

  √ c − 3

  в знаменателе есть
  корень « √ c − 3 » — иррациональность в знаменателе есть .

Избавиться от иррациональности в знаменателе означает убрать все корни из знаменателя.

Возникает логичный вопрос, как это можно сделать?

Чаще всего встречаются два вида примеров. Рассмотрим решение обоих видов.

Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе только один корень

На помощь приходит основное свойство дроби. Вспомним, что оно позволяет умножить и разделить дробь на одно и то же число, чтобы в конечном итоге дробь не изменилась.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе с одним корнем, нужно умножить и числитель, и знаменатель на корень из знаменателя.

По традиции разберемся на практике.

№ 366 (1) Колягин, Алимов 9 класс

Исключить иррациональность из знаменателя:

Зададим себе вопрос, на что нужно умножить « √ 5 » в знаменателе, чтобы избавиться от корня.

Ответ: на « √ 5 ». В самом деле, если квадратный корень умножить сам на себя получится число под корнем. Проверим.

√ 5 · √ 5 = √ 5 · 5 = √ 5 2 = 5

Используем основное свойство дроби, умножим и числитель, и знаменатель на « √ 5 », чтобы избавиться от корня в знаменателе.

3

√ 5

=

3 · √ 5

√ 5 · √ 5

=

3 · √ 5

√ 5 · 5

=

3 · √ 5

√ 5 2

=
=

3 · √ 5

5

Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе несколько корней

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе c несколькими корнями, нужно использовать формулы сокращённого умножения.

Разберемся по традиции на примере.

№ 366 (3) Колягин, Алимов 9 класс

Исключить иррациональность из знаменателя:

На что нужно умножить знаменатель « 2 − √ 3 » , чтобы убрать из него корень?

Теперь недостаточно умножить знаменатель на « √ 3 » , ведь в таком случае все равно остается квадратный корень.

(2 − √ 3 ) · √ 3 = 2 √ 3 − √ 3 · √ 3 =

Мы видим, что корень никуда не исчез. Нужно искать другие варианты решения.

Вспомним формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

Формула разности квадратов также работает в обратную сторону.

Представим, что « 2 − √ 3 » — это часть формулы.

Логично предположить, что в формуле « a » — это « 2 », « b » — « √ 3 ». Подставим вместо знаков « ? » числа.

(a + b)(a − b) = a 2 − b 2

(2 + √ 3 )(2 − √ 3 ) = 2 2 − √ 3 2 = 4 − 3 = 1

То есть, чтобы избавиться от иррациональности в дроби требуется умножить знаменатель « 2 − √ 3 »
на « 2 + √ 3 » и через формулу «Разность квадратов» убрать квадратные корни.

Не забываем, что по основному свойству дроби мы обязаны также умножить числитель на « 2 + √ 3 ».

1

2 − √ 3

=

1 · (2 + √ 3 )

(2 − √ 3 ) · ( 2 + √ 3 )

=
=

2 + √ 3

2 2 − √ 3 2

=

2 + √ 3

4 − 3

=

2 + √ 3

1

= 2 + √ 3

Примеры освобождения от иррациональности в знаменателе

№ 366 (2; 7) Колягин, Алимов 9 класс

Исключить иррациональность из знаменателя:

2)

2

√ 6

2

√ 6

=

2 · √ 6

√ 6 · √ 6

=

2 · √ 6

√ 6 · 6

=

2· √ 6

√ 6 2

=
=

2 · √ 6

6

Рассмотрим пример, когда в знаменателе несколько корней.

7)

√ 5 − √ 7

√ 5 + √ 7

=

Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

Умножим и числитель, и знаменатель на «( √ 5 − √ 7 )», чтобы использовать формулу сокращённого умножения в знаменателе и избавиться от корней.

√ 5 − √ 7

√ 5 + √ 7

=

( √ 5 − √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 )

( √ 5 + √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 )

=
=

( √ 5 − √ 7 ) 2

√ 5 2 − √ 7 2

= …

Используем в числителе (наверху в дроби) формулу «Квадрат разности».

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

√ 5 − √ 7

√ 5 + √ 7

=

( √ 5 − √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 )

( √ 5 + √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 )

=
=

( √ 5 − √ 7 ) 2

√ 5 2 − √ 7 2

=
=

( √ 5 ) 2 − 2 · √ 5 · √ 7 + ( √ 7 ) 2

√ 5 2 − √ 7 2

=

=

5 − 2 √ 5 · 7 + 7

5 − 7

=

12 − 2 √ 35

− 2

=
= −

12 − 2 √ 35

2

= …

√ 5 − √ 7

√ 5 + √ 7

=

( √ 5 − √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 )

( √ 5 + √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 )

=
=

( √ 5 − √ 7 ) 2

√ 5 2 − √ 7 2

=

=

( √ 5 ) 2 − 2 · √ 5 · √ 7 + ( √ 7 ) 2

√ 5 2 − √ 7 2

=
=

5 − 2 √ 5 · 7 + 7

5 − 7

=

12 − 2 √ 35

− 2

=

= −

12 − 2 √ 35

2

= −

2 · (6 − √ 35 )

2

=
= −

2 (6 − √ 35 )

2

=
= − (6 − √ 35 ) = −6 + √ 35

№ 557 (5) Мерзляк 9 класс

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

5)

1

√ a − √ b

Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

Умножим и числитель, и знаменатель на « ( √ a + √ b ) », чтобы использовать формулу «Разность квадратов» в знаменателе и освободиться от корней.

Источник

Иррациональность дроби — как правильно избавиться от знака корня в знаменателе?

Определение иррациональности

Часто в задачах по математике можно встретить примеры, которые содержат иррациональность. Если условие направлено на избавление от нее, значит, нужно выполнить математические действия с рациональными числами. Иррациональны дроби, нижняя часть которых содержит подкоренное выражение.

Присутствие квадратного корня в математическом примере следует исключить, согласно правилу, требующему преобразования в рациональное число радикала. В результате действий он будет в числителе. Преобразованный пример, содержащий иррациональность, не теряет своего исходного значения.

Правила избавления от радикала

Придерживаясь общего правила замены подкоренной части тождественно равным выражением, можно освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Достаточно выполнить несложное действие умножения дроби на выражение, которое содержит знак радикала и сопряжено с нижней частью. Полученная в результате дробь не должна содержать подкоренной части.

Общее правило позволяет извлечь из знаменателя квадратный корень. Аналогично можно решать примеры, вычисляя радикал любой степени. Облегчить задачу поможет специальный онлайн-калькулятор. Рациональное число достаточно представить в виде произведения АВ, если это значение не имеет знака радикала. При этом А и В сопряжены между собой.

Например, чтобы представить корень кубический из дроби с числами 1 и 3 в верхней и нижней части, нужно выполнить следующие действия:

1. Вначале следует умножить 2 члена на 3 в квадрате.
2. Затем нужно числитель возвести в квадрат, а нижнюю часть представить как 3 в кубе.
3. После этого можно извлечь кубический корень, оставив радикал в числителе.
4. В результате полученное число будет иметь вид произведения 1/3 на кубический корень из 9.

Для решения подобных примеров иногда нужно домножить 2 члена дробного выражения на разность между корнями, когда делитель представлен в виде суммы.

Если он выражен как разность составляющих, то следует умножить дробь на радикал из суммы аналогичных чисел. В примерах, которые содержат радикалы, имеющие различные показатели, вначале избавляются от одного корня, а затем от другого.

Использование средств преобразования

Способ приведения иррационального примера к рациональному виду зависит от нижней части с радикалом. Он может включать несколько подкоренных выражений. Если решение алгебраической задачи требует уничтожить иррациональность, тогда нужно освободить выражение от иррациональности в знаменателе. Используемый способ зависит от вида выражения, представляющего собой дробь, нижняя часть которой имеет:

• сумму или разницу квадратных корней;
• радикал 2-й степени;
• разницу либо сумму радикалов 3-й степени;
• иррациональное значение в виде корня n-й степени.

В последнем случае необходимо для избавления знаменателя дроби от иррациональности подобрать множитель, позволяющий извлечь целый корень. Подкоренное выражение, представленное как число в k-й степени, нужно привести к рациональному виду. Учитывая, что n>k, число под корнем возводят в степень n-k. При этом обе дробные части умножают на сопряженное выражение.

Пользуясь правилом преобразования выражений с радикалом, следует помнить о том, что нужно обязательно получить рациональное число. Приводить к таком виду можно разные примеры с корнями. Искомое число дают 2 корня, взятые в виде суммы и разности при умножении на сопряженное выражение с противоположным знаком.

Результат можно представить аналогичным способом, если числитель и знаменатель содержат не 2 корня, а сумму или разность числа и радикала. Зная, как избавляться от иррациональности в знаменателе дроби, на его вид нужно обратить внимание в первую очередь. Это позволит правильно упростить выражение и убрать корень.

Более сложные примеры могут потребовать возведения в степень иррационального знаменателя дроби. Замену дроби с иррациональным числителем либо знаменателем производят на тождественное ей дробное выражение. Оно содержит рациональный числитель или знаменатель, а действие является уничтожением иррациональности.

Для избавления знаменателя дроби от подкоренной части применяют формулы сокращенного умножения, или ФСУ. Умножая разность корней на их сумму, можно получить разность квадратов радикалов, которая будет рациональным числом.

Источник