Как избавится от корня под корнем

Как освободиться от иррациональности в знаменателе: способы, примеры, решения

При изучении преобразований иррационального выражения очень важным является вопрос о том, как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Целью этой статьи является объяснение этого действия на конкретных примерах задач. В первом пункте мы рассмотрим основные правила данного преобразования, а во втором – характерные примеры с подробными пояснениями.

Понятие освобождения от иррациональности в знаменателе

Начнем с пояснения, в чем вообще заключается смысл такого преобразования. Для этого вспомним следующие положения.

Об иррациональности в знаменателе дроби можно говорить в том случае, если там присутствует радикал, он же знак корня. Числа, которые записаны при помощи такого знака, часто относятся к числу иррациональных. Примерами могут быть 1 2 , — 2 x + 3 , x + y x — 2 · x · y + 1 , 11 7 — 5 . К дробям с иррациональными знаменателями также относятся те, что имеют там знаки корней различной степени (квадратный, кубический и т.д.), например, 3 4 3 , 1 x + x · y 4 + y . Избавляться от иррациональности следует для упрощения выражения и облегчения дальнейших вычислений. Сформулируем основное определение:

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби – значит преобразовать ее, заменив на тождественно равную дробь, в знаменателе которой не содержится корней и степеней.

Такое действие может называться освобождением или избавлением от иррациональности, смысл при этом остается тем же. Так, переход от 1 2 к 2 2 , т.е. к дроби с равным значением без знака корня в знаменателе и будет нужным нам действием. Приведем еще один пример: у нас есть дробь x x — y . Проведем необходимые преобразования и получим тождественно равную ей дробь x · x + y x — y , освободившись от иррациональности в знаменателе.

После формулировки определения мы можем переходить непосредственно к изучению последовательности действий, которые нужно выполнить для такого преобразования.

Основные действия для избавления от иррациональности в знаменателе дроби

Для освобождения от корней нужно провести два последовательных преобразования дроби: умножить обе части дроби на число, отличное от нуля, а затем преобразовать выражение, получившееся в знаменателе. Рассмотрим основные случаи.

В наиболее простом случае можно обойтись преобразованием знаменателя. Например, мы можем взять дробь со знаменателем, равным корню из 9 . Вычислив 9 , мы запишем в знаменателе 3 и избавимся таким образом от иррациональности.

Однако гораздо чаще приходится предварительно умножать числитель и знаменатель на такое число, которое потом позволит привести знаменатель к нужному виду (без корней). Так, если мы выполним умножение 1 x + 1 на x + 1 , мы получим дробь x + 1 x + 1 · x + 1 и сможем заменить выражение в ее знаменателе на x + 1 . Так мы преобразовали 1 x + 1 в x + 1 x + 1 , избавившись от иррациональности.

Иногда преобразования, которые нужно выполнить, бывают довольно специфическими. Разберем несколько наглядных примеров.

Как преобразовать выражение в знаменателе дроби

Как мы уже говорили, проще всего выполнить преобразование знаменателя.

Условие: освободите дробь 1 2 · 18 + 50 от иррациональности в знаменателе.

Решение

Для начала раскроем скобки и получим выражение 1 2 · 18 + 2 · 50 . Используя основные свойства корней, перейдем к выражению 1 2 · 18 + 2 · 50 . Вычисляем значения обоих выражений под корнями и получаем 1 36 + 100 . Здесь уже можно извлечь корни. В итоге у нас получилась дробь 1 6 + 10 , равная 1 16 . На этом преобразования можно закончить.

Запишем ход всего решения без комментариев:

1 2 · 18 + 50 = 1 2 · 18 + 2 · 50 = = 1 2 · 18 + 2 · 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

Ответ: 1 2 · 18 + 50 = 1 16 .

Условие: дана дробь 7 — x ( x + 1 ) 2 . Избавьтесь от иррациональности в знаменателе.

Решение

Ранее в статье, посвященной преобразованиям иррациональных выражений с применением свойств корней, мы упоминали, что при любом A и четных n мы можем заменить выражение A n n на | A | на всей области допустимых значений переменных. Следовательно, в нашем случае мы можем записать так: 7 — x x + 1 2 = 7 — x x + 1 . Таким способом мы освободились от иррациональности в знаменателе.

Ответ: 7 — x x + 1 2 = 7 — x x + 1 .

Избавление от иррациональности методом умножения на корень

Если в знаменателе дроби находится выражение вида A и само выражение A не имеет знаков корней, то мы можем освободиться от иррациональности, просто умножив обе части исходной дроби на A . Возможность этого действия определяется тем, что A на области допустимых значений не будет обращаться в 0 . После умножения в знаменателе окажется выражение вида A · A , которое легко избавить от корней: A · A = A 2 = A . Посмотрим, как правильно применять этот метод на практике.

Условие: даны дроби x 3 и — 1 x 2 + y — 4 . Избавьтесь от иррациональности в их знаменателях.

Решение

Выполним умножение первой дроби на корень второй степени из 3 . Получим следующее:

x 3 = x · 3 3 · 3 = x · 3 3 2 = x · 3 3

Во втором случае нам надо выполнить умножение на x 2 + y — 4 и преобразовать получившееся выражение в знаменателе:

— 1 x 2 + y — 4 = — 1 · x 2 + y — 4 x 2 + y — 4 · x 2 + y — 4 = = — x 2 + y — 4 x 2 + y — 4 2 = — x 2 + y — 4 x 2 + y — 4

Ответ: x 3 = x · 3 3 и — 1 x 2 + y — 4 = — x 2 + y — 4 x 2 + y — 4 .

Если же в знаменателе исходной дроби имеются выражения вида A n m или A m n (при условии натуральных m и n ), нам нужно выбрать такой множитель, чтобы получившееся выражение можно было преобразовать в A n n · k или A n · k n (при натуральном k ). После этого избавиться от иррациональности будет несложно. Разберем такой пример.

Условие: даны дроби 7 6 3 5 и x x 2 + 1 4 15 . Избавьтесь от иррациональности в знаменателях.

Решение

Нам нужно взять натуральное число, которое можно разделить на пять, при этом оно должно быть больше трех. Чтобы показатель 6 стал равен 5 , нам надо выполнить умножение на 6 2 5 . Следовательно, обе части исходной дроби нам придется умножить на 6 2 5 :

7 6 3 5 = 7 · 6 2 5 6 3 5 · 6 2 5 = 7 · 6 2 5 6 3 5 · 6 2 = 7 · 6 2 5 6 5 5 = = 7 · 6 2 5 6 = 7 · 36 5 6

Во втором случае нам потребуется число, большее 15 , которое можно разделить на 4 без остатка. Берем 16 . Чтобы получить такой показатель степени в знаменателе, нам надо взять в качестве множителя x 2 + 1 4 . Уточним, что значение этого выражения не будет 0 ни в каком случае. Вычисляем:

x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 · x 2 + 1 4 = = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4

Ответ: 7 6 3 5 = 7 · 36 5 6 и x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 .

Избавление от иррациональности методом умножения на сопряженное выражение

Следующий метод подойдет для тех случаев, когда в знаменателе исходной дроби стоят выражения a + b , a — b , a + b , a — b , a + b , a — b . В таких случаях нам надо взять в качестве множителя сопряженное выражение. Поясним смысл этого понятия.

Для первого выражения a + b сопряженным будет a — b , для второго a — b – a + b . Для a + b – a — b , для a — b – a + b , для a + b – a — b , а для a — b – a + b . Иначе говоря, сопряженное выражение – это такое выражение, в котором перед вторым слагаемым стоит противоположный знак.

Давайте рассмотрим, в чем именно заключается данный метод. Допустим, у нас есть произведение вида a — b · a + b . Оно может быть заменено разностью квадратов a — b · a + b = a 2 — b 2 , после чего мы переходим к выражению a − b , лишенному радикалов. Таким образом, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби с помощью умножения на сопряженное выражение. Возьмем пару наглядных примеров.

Условие: избавьтесь от иррациональности в выражениях 3 7 — 3 и x — 5 — 2 .

Решение

В первом случае берем сопряженное выражение, равное 7 + 3 . Теперь производим умножение обеих частей исходной дроби на него:

3 7 — 3 = 3 · 7 + 3 7 — 3 · 7 + 3 = 3 · 7 + 3 7 2 — 3 2 = = 3 · 7 + 3 7 — 9 = 3 · 7 + 3 — 2 = — 3 · 7 + 3 2

Во втором случае нам понадобится выражение — 5 + 2 , которое является сопряженным выражению — 5 — 2 . Умножим на него числитель и знаменатель и получим:

x — 5 — 2 = x · — 5 + 2 — 5 — 2 · — 5 + 2 = = x · — 5 + 2 — 5 2 — 2 2 = x · — 5 + 2 5 — 2 = x · 2 — 5 3

Возможно также перед умножением выполнить преобразование: если мы вынесем из знаменателя сначала минус, считать будет удобнее:

x — 5 — 2 = — x 5 + 2 = — x · 5 — 2 5 + 2 · 5 — 2 = = — x · 5 — 2 5 2 — 2 2 = — x · 5 — 2 5 — 2 = — x · 5 — 2 3 = = x · 2 — 5 3

Ответ: 3 7 — 3 = — 3 · 7 + 3 2 и x — 5 — 2 = x · 2 — 5 3 .

Важно обратить внимание на то, чтобы выражение, полученное в итоге умножения, не обращалось в 0 ни при каких переменных из области допустимых значений для данного выражения.

Условие: дана дробь x x + 4 . Преобразуйте ее так, чтобы в знаменателе не было иррациональных выражений.

Решение

Начнем с нахождения области допустимых значений переменной x . Она определена условиями x ≥ 0 и x + 4 ≠ 0 . Из них можно сделать вывод, что нужная область представляет собой множество x ≥ 0 .

Сопряженное знаменателю выражение представляет собой x — 4 . Когда мы можем выполнить умножение на него? Только в том случае, если x — 4 ≠ 0 . На области допустимых значений это будет равносильно условию x≠16. В итоге мы получим следующее:

x x + 4 = x · x — 4 x + 4 · x — 4 = = x · x — 4 x 2 — 4 2 = x · x — 4 x — 16

Если x будет равен 16 , то мы получим:

x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

Следовательно, x x + 4 = x · x — 4 x — 16 при всех значениях x , принадлежащих области допустимых значений, за исключением 16 . При x = 16 получим x x + 4 = 2 .

Ответ: x x + 4 = x · x — 4 x — 16 , x ∈ [ 0 , 16 ) ∪ ( 16 , + ∞ ) 2 , x = 16 .

Преобразование дробей с иррациональностью в знаменателе с использованием формул суммы и разности кубов

В предыдущем пункте мы выполняли умножение на сопряженные выражения с тем, чтобы потом использовать формулу разности квадратов. Иногда для избавления от иррациональности в знаменателе полезно воспользоваться и другими формулами сокращенного умножения, например, разностью кубов a 3 − b 3 = ( a − b ) · ( a 2 + a · b + b 2 ) . Этой формулой удобно пользоваться, если в знаменателе исходной дроби стоят выражения с корнями третьей степени вида A 3 — B 3 , A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 . и т.д. Чтобы применить ее, нам нужно умножить знаменатель дроби на неполный квадрат суммы A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 или разность A 3 — B 3 . Точно также можно применить и формулу суммы a 3 + b 3 = ( а ) · ( a 2 − a · b + b 2 ) .

Условие: преобразуйте дроби 1 7 3 — 2 3 и 3 4 — 2 · x 3 + x 2 3 так, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.

Решение

Для первой дроби нам нужно воспользоваться методом умножения обеих частей на неполный квадрат суммы 7 3 и 2 3 , поскольку потом мы сможем выполнить преобразование с помощью формулы разности кубов:

1 7 3 — 2 3 = 1 · 7 3 2 + 7 3 · 2 3 + 2 3 2 7 3 — 2 3 · 7 3 2 + 7 3 · 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 · 2 3 + 2 3 2 7 3 3 — 2 3 3 = 7 2 3 + 7 · 2 3 + 2 2 3 7 — 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

Во второй дроби представим знаменатель как 2 2 — 2 · x 3 + x 3 2 . В этом выражении виден неполный квадрат разности 2 и x 3 , значит, мы можем умножить обе части дроби на сумму 2 + x 3 и воспользоваться формулой суммы кубов. Для этого должно быть соблюдено условие 2 + x 3 ≠ 0 , равносильное x 3 ≠ — 2 и x ≠ − 8 :

3 4 — 2 · x 3 + x 2 3 = 3 2 2 — 2 · x 3 + x 3 2 = = 3 · 2 + x 3 2 2 — 2 · x 3 + x 3 2 · 2 + x 3 = 6 + 3 · x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 · x 3 8 + x

Подставим в дробь — 8 и найдем значение:

3 4 — 2 · 8 3 + 8 2 3 = 3 4 — 2 · 2 + 4 = 3 4

Подведем итоги. При всех x , входящих в область значений исходной дроби (множество R ), за исключением — 8 , мы получим 3 4 — 2 · x 3 + x 2 3 = 6 + 3 · x 3 8 + x . Если x = 8 , то 3 4 — 2 · x 3 + x 2 3 = 3 4 .

Ответ: 3 4 — 2 · x 3 + x 2 3 = 6 + 3 · x 3 8 + x , x ≠ 8 3 4 , x = — 8 .

Последовательное применение различных способов преобразования

Часто на практике встречаются более сложные примеры, когда мы не можем освободиться от иррациональности в знаменателе с помощью всего одного метода. Для них нужно последовательно выполнять несколько преобразований или подбирать нестандартные решения. Возьмем одну такую задачу.

Условие: преобразуйте 5 7 4 — 2 4 , чтобы избавиться от знаков корней в знаменателе.

Решение

Выполним умножение обеих частей исходной дроби на сопряженное выражение 7 4 + 2 4 с ненулевым значением. Получим следующее:

5 7 4 — 2 4 = 5 · 7 4 + 2 4 7 4 — 2 4 · 7 4 + 2 4 = = 5 · 7 4 + 2 4 7 4 2 — 2 4 2 = 5 · 7 4 + 2 4 7 — 2

А теперь применим тот же способ еще раз:

5 · 7 4 + 2 4 7 — 2 = 5 · 7 4 + 2 4 · 7 + 2 7 — 2 · 7 + 2 = = 5 · 7 4 + 2 4 · 7 + 2 7 2 — 2 2 = 5 · 7 4 + 7 4 · 7 + 2 7 — 2 = = 5 · 7 4 + 2 4 · 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2

Ответ: 5 7 4 — 2 4 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2 .

Источник

Как вынести из-под корня

Вынесение множителя из-под знака корня — это извлечение корня из одного из множителей (числа или буквы), которые находятся под корнем.

Говорят: «Число « 25 » вынесли из-под знака корня».

Рассмотрим подробнее пример вынесения множителя из-под знака корня.

№ 15 .1 (в) Мордкович 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

Извлечь квадратный корень из « √ 5 » целым числом не получится, поэтому нам остается только извлечь квадратный корень из « √ 16 ».

Обязательно выучите таблицу квадратов чисел от « 1 » до « 15 » и таблицу часто используемых квадратных корней.

Вспомним, чему равен квадрат числа четыре?

Решение примера выше записываем следующим образом.

√ 16 · 5 = √ 16 · √ 5 = 4 · √ 5

Действие выше называют вынесением множителя из-под знака корня. Говорят: «Число « 16 » вынесли из-под знака корня, получив число « 4 ».

Выносить из-под знака корня можно, только если все действия под знаком корня — умножение .

Примеры правильного и неправильного вынесения из-под знака корня:

• √ 144 · 2 = √ 144 · √ 2 = 12 √ 2 (верно) . Под знаком квадратного корня только действие умножения;
• √ 16 + 5 ≠ 4 + √ 5 (неверно) . Нельзя выносить « 16 » из-под знака корня, так как под знаком корня сложение ;
• √ 25 − 3 ≠ 5 − √ 3 (неверно) . Нельзя выносить из-под знака корня « 25 », так как под знаком корня вычитание ;
• √ 16 ·2 + 3 ≠ 4 √ 2 + 3 (неверно) . Нельзя выносить « 16 » из-под знака корня, так как под знаком корня есть сложение (должно быть только умножение ).

Как вынести множитель из корня с одним числом

Рассмотрим пример, когда под корнем только одно число и по условию задания требуется вынести множитель из-под знака корня.

№ 524 (1) Мерзляк 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

Извлечь целое число из квадратного корня « √ 8 » нельзя, так как нет такого целого числа, которое в квадрате давало бы « 8 ».

Обязательно выучите таблицу квадратов чисел от « 1 » до « 15 » и таблицу часто используемых квадратных корней.

Подумаем, на какие множители можно разложить число « 8 », чтобы была возможность вынести один из множителей из-под знака корня. Вспоминаем таблицу умножения.

Число « 8 » — это произведение
« 8 = 4 · 2 ». Теперь можем вынести « 4 » из-под знака корня.

√ 8 = √ 4 · 2 = √ 4 · √ 2 = 2 √ 2

Разберем другие примеры вынесения множителя из-под знака квадратного корня

№ 524 (4) Мерзляк 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

Зададим себе вопрос: «На какие множители нужно разложить « 54 », чтобы была возможность вынести один из множителей из-под знака квадратного корня?».

Видим число « 9 ». Подходит, так как « √ 9 = 3 ».

Завершим решение примера вынесением из-под знака корня числа « 9 ».

√ 54 = √ 9 · 6 = 3 √ 6

Извлечь « √ 6 » целым числом невозможно. Поэтому ответ оставляем в таком виде.

№ 524 (5) Мерзляк 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

В примерах с числами, которые делятся на « 10, 100, 1000… » и так далее, стоит сразу попробовать разложить число на « 10, 100, 1000… » и второй множитель.

То есть число « 490 » можно разложить на « 490 = 49 · 10 ». Из « 49 » можно извлечь квадратный корень.

Теперь можно вынести « 49 » из-под знака корня.

√ 490 = √ 49 · 10 = 7 √ 10

№ 524 (6) Мерзляк 8 класс

№ 524 (8) Мерзляк 8 класс

√ 108 = √ 54 · 2 = √ 9 · 6 · 2 =

= 3 √ 6 · 2 = 3 √ 12 = 3 √ 4 · 3 =

№ 526 (6) Мерзляк 8 класс

0,4 · √ 250 = 0,4 · √ 25 · 10 =

Завершим пример, умножив десятичную дробь « 0,4 » на « 5 » по правилу умножения десятичной дроби на число.

0,4 · √ 250 = 0,4 · √ 25 · 10 =

= 0,4 · 5 √ 10 = 2 √ 10

№ 526 (8) Мерзляк 8 класс

4

9

· √ 63 =

4

9

· √ 9 · 7 =

4

9

· 3 √ 7 = …
Умножим дробь «

4

9

» на число « 3 », которое вынесли из-под знака квадратного корня. Используем правило умножения обыкновенной дроби на число.

4

9

· √ 63 =

4

9

· √ 9 · 7 =

4

9

· 3 √ 7 =

=

4 · 3

9

· √ 7 =

4 · 3

9 3

· √ 7 =

=

4

3

· √ 7 = …

Чтобы дать окончательный ответ, выделим целую часть неправильной дроби «

4

3

».

4

9

· √ 63 =

4

9

· √ 9 · 7 =

4

9

· 3 √ 7 =

=

4 · 3

9

· √ 7 =

4 · 3

9 3

· √ 7 =

4

3

· √ 7 =

= 1

1

3

· √ 7

Как вынести десятичную дробь из-под знака корня

В уроке «Как извлечь квадратный корень из дроби» мы разбирали, каким образом извлечь квадратный корень из десятичной дроби. Например, извлечение квадратного корня из десятичной дроби « √ 0,25 ».

√ 0,25 = 0,5 , так как
0,5 2 = 0,5 · 0,5 = 0,25

Тот же самый метод используется при вынесении десятичной дроби из-под знака корня.

№ 524 (10) Мерзляк 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

Разложим десятичную дробь на произведение множителей, чтобы потом была возможность вынести один из множителей из-под знака корня.

Подберем десятичную дробь, на которую делится « 0,48 », из которой потом можно извлечь квадратный корень.

Например, « 0,16 ». Десятичная дробь « 0,48 » делится на « 0,16 » нацело.

Извлечь квадратный корень из « √ 0,16 » по правилу нахождения квадратного корня из десятичной дроби.

Завершим пример вынесением « 0,16 » из-под знака корня.

Примеры вынесения десятичной дроби из-под знака квадратного корня

№ 524 (9) Мерзляк 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

№ 526 (7) Мерзляк 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

−2 · √ 0,18 = −2 · √ 0,09 · 2 =

= −2 · 0,3 √ 2 = −0,6 √ 2

Как вынести букву из-под знака корня

При вынесении из-под знака квадратного корня множителя в степени (буквы или числа) степень делится на « 2 ».

• √ a 2 = a
  

  2

  2

  = a 1 = a , гдe a ≥ 0

• √ y 4 = y
  

  4

  2

  = y 2 , гдe y ≥ 0

• √ 12 4 = 12
  

  4

  2

  = 12 2 = 144

• √ x 6 = x
  

  6

  2

  = x 3 , гдe x ≥ 0

Рассмотрим примеры вынесения буквы в степени из-под корня.

№ 347 (2, 4) Колягин (Алимов) 8 класс

Вынести множитель из-под знака корня (буквами обозначены положительные числа).

2) √ 2x 2 = x

2

2

√ 2 = x √ 2

4) √ 3a 6 = a

6

2

√ 3 = a 3 √ 3

В более сложных примерах требуется вынести и числовой множитель, и букву в степени из-под корня.

№ 348 (2) Колягин (Алимов) 8 класс

Вынести множитель из-под знака корня (буквами обозначены положительные числа).

Вначале отдельно вынесем буквенный множитель из-под корня.

√ 75a 2 = a

2

2

· √ 75 = a √ 75 = …

Теперь разложим число « 75 » на множители, один из которых можно вынести из-под знака квадратного корня.

Число « 75 » явно делится на « 5 ». Проверим, можно ли число « 75 » разложить на квадрат числа « 5 2 = 25 ».

Завершим пример, вынеся число « 25 » из-под знака корня.

√ 75a 2 = a

2

2

· √ 75 = a √ 75 =

= a √ 25 · 3 = 5a √ 3

№ 549 (2) Мерзляк 8 класс

Не всегда удается сразу вынести букву в степени из-под знака корня. В данном примере степень « 9 » не делится нацело на « 2 ».

Вспомним из урока «Свойства степени» правило произведение степеней с одинаковым основанием.

Свойство работает и в обратную сторону.

Вернемся к нашему примеру. Разложим « y 9 » на множители со степенями так, чтобы одна из степеней нацело делилась на « 2 ». Представим степень « 9 » как сумму чисел « 9 = 6 + 3 ».

Используем свойство произведения степеней с одинаковым основанием в обратную сторону и разложим « у » на множители.

Источник