Как избавиться от логарифмической степени

Основные свойства логарифмов

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: log _a x и log _a y . Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ (4 · 9) = log₆ 36 = 2.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log₂ 48 − log₂ 3 = log₂ (48 : 3) = log₂ 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log₃ 135 − log₃ 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log₃ 135 − log₃ 5 = log₃ (135 : 5) = log₃ 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

1. log _a x n = n · log _a x ;
2. 
3. 

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Задача. Найдите значение выражения: log₇ 49 6 .

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log₇ 49 6 = 6 · log₇ 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

[Подпись к рисунку]

Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Имеем:

[Подпись к рисунку]

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log₂ 7. Поскольку log₂ 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дан логарифм log _a x . Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

[Подпись к рисунку]

В частности, если положить c = x , получим:

[Подпись к рисунку]

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Задача. Найдите значение выражения: log₅ 16 · log₂ 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log₅ 16 = log₅ 2 4 = 4log₅ 2; log₂ 25 = log₂ 5 2 = 2log₂ 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

[Подпись к рисунку]

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Задача. Найдите значение выражения: log₉ 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

[Подпись к рисунку]

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

[Подпись к рисунку]

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

1. n = log _a a n
2. 

В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: .

В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a ? Правильно: получится это самое число a . Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

Задача. Найдите значение выражения:

[Подпись к рисунку]

Заметим, что log₂₅ 64 = log₅ 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

[Подпись к рисунку]

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

1. log _a a = 1 — это . Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
2. log _a 1 = 0 — это . Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a 0 = 1 — это прямое следствие из определения.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

Источник

Как избавиться от логарифмов — математический — 2021

Ничто так не портит уравнение, как логарифмы. Они громоздки, трудны для манипуляции и немного загадочны для некоторых людей. К счастью, есть простой способ избавить ваше уравнение от этих надоедливых математических выражений. Все, что вам нужно сделать, это помнить, что логарифм является обратным показателю степени. Хотя основание логарифма может быть любым числом, наиболее распространенные основания, используемые в науке, это 10 и е, что является иррациональным числом, известным как число Эйлера. Чтобы отличить их, математики используют «log», когда основание равно 10, и «ln», когда основание равно e.

TL; DR (слишком долго; не читал)

Чтобы избавиться от уравнения логарифмов, возведите обе стороны к тому же показателю, что и основание логарифмов. В уравнениях со смешанными терминами соберите все логарифмы с одной стороны и сначала упростите.

Что такое логарифм?

Концепция логарифма проста, но это немного сложно выразить словами. Логарифм — это количество раз, которое вам нужно умножить число, чтобы получить другое число. Другой способ сказать, что логарифм — это степень, до которой определенное число, называемое основанием, должно быть поднято, чтобы получить другое число. Сила называется аргумент логарифма.

Например, log ₈ 2 = 64 просто означает, что повышение 8 до степени 2 дает 64. В уравнении log x = 100 основание понимается как 10, и вы можете легко решить для аргумента x, потому что он отвечает вопрос «10 поднял до какой силы равна 100?» Ответ 2.

Логарифм является обратным показателю степени. Уравнение log x = 100 — это другой способ записи 10 x = 100. Это соотношение позволяет удалить логарифмы из уравнения, подняв обе стороны до того же показателя, что и основание логарифма. Если уравнение содержит более одного логарифма, они должны иметь одну и ту же базу, чтобы это работало.

Примеры

В простейшем случае логарифм неизвестного числа равен другому числу: log x = y. Поднимите обе стороны до показателей 10, и вы получите 10 (log x) = 10 y . Поскольку 10 (log x) — это просто x, уравнение становится x = 10 y .

Когда все члены в уравнении являются логарифмами, возведение обеих сторон в степень дает стандартное алгебраическое выражение. Например, возведите log (x 2 — 1) = log (x + 1) до степени 10, и вы получите: x 2 — 1 = x + 1, что упрощается до x 2 — x — 2 = 0. Решения х = -2; х = 1

В уравнениях, которые содержат смесь логарифмов и других алгебраических терминов, важно собрать все логарифмы на одной стороне уравнения. Затем вы можете добавить или вычесть условия. Согласно закону логарифмов, верно следующее:

• log x + log y = log (xy)
• log x — log y = log (x ÷ y)

Вот процедура для решения уравнения со смешанными членами:

1. Начните с уравнения: например, log x = log (x — 2) + 3
2. Переставьте термины: log x — log (x — 2) = 3
3. Применим закон логарифмов: log (x / x-2) = 3
4. Поднимите обе стороны до степени 10: x ÷ (x — 2) = 3
5. Решите для х: х= 3

Расчет логарифмов

Логарифм — это математическая функция, тесно связанная с экспонентами. На самом деле логарифм является инверсией экспоненциальной функции. Общая форма — log_b (x), которая читает «log base b of x». Часто log без оснований подразумевает log 10 log_10, а ln ссылается на «натуральный log» log_e, где e — это .

Как избавиться от кислоты

Как избавиться от кислоты. За определенный период времени большинство из нас накопили несколько отходов, которые имеют кислую природу. Не стоит избавляться от этих вещей, просто выливая их на землю, чтобы смыть следующим дождем. В большинстве случаев фактически закон запрещает распоряжаться этими продуктами в .

Как избавиться от хлорида кальция

Хлорид кальция — это соль кальция и хлора. Он используется в аквариумах с морской водой и на дорогах для таяния льда. Обычно это не опасно и может быть утилизировано в мусорном ведре или в канализацию.

Источник

Действия с логарифмами. Набиваем руку!

В данном уроке мы будем учиться работать с логарифмом на уже весьма и весьма приличном уровне. Поэтому для успешного решения примеров этого урока рекомендую погулять по ссылкам:

Почитайте, пока не поздно.) Почитали? Всё понятно! Отлично! Тогда движемся дальше.)

Теперь настал черёд завязывания более крепкой дружбы с логарифмами и, соответственно, решения серьёзных (в том числе сложных и нестандартных) примеров.

Чтобы не скакать из темы в тему, прежде всего я ещё разочек выпишу все основные свойства и формулы логарифмов. Вот они:

Это основной набор формул, необходимых для успешной работы с логарифмами практически на любом уровне сложности. Иногда в школе (и в некоторых продвинутых учебниках) дают больше формул, но в целом приведённого перечня для решения большей части примеров оказывается вполне достаточно. Эти формулы надо помнить! Но, ещё раз повторяю, не просто помнить, а уметь применять! Причём в обоих направлениях — как слева направо, так и справа налево. Вроде бы это всё и так понятно и очевидно, но… дальше всё поймёте.) Как надо помнить формулы, я вам вряд ли смогу подсказать, а вот как уметь применять — подробно расскажу и покажу в этом уроке.

Итак, продолжаем наши игры!

Все формулы. Все степени. Много дробей! Двоюродные и троюродные братья.

Ну что ж, теперь приступаем к работе со всеми формулами (кроме последней формулы перехода к новому основанию). Используем все свойства степеней и активно включаем в работу степени с отрицательными и дробными показателями. Поди сообрази, что, например,

Это уже не родные, а двоюродные и троюродные братья по степени получаются…)

Посему, если есть пробелы в степенях, то для начала милости прошу сюда:

Ну, а для тех, кто со степенями давно на «ты» — продолжаем.)

Пример 1

За что зацепиться? Хорошо, если сразу догадались, а если нет? Если нет, значит, перечитываем первый практический совет прошлого урока — переходим к обыкновенным дробям!

У нас в одну кучу намешаны десятичная дробь и смешанное число. Вот и перейдём к единообразию — к обычным дробям. А там, глядишь, и забрезжит свет в конце тоннеля…

Так, уже кое-чего проясняется: 49 с семёркой родня, а 100 — с десяткой:

Стало быть, по свойствам степеней можно записать:

Ну, вот и спасительный лучик света! Выносим двойку за логарифм и получаем:

Уже всё стало выглядеть гораздо симпатичнее. Всё бы ничего, только основание 7/10 и аргумент 10/7 у нас записаны кверху ногами. Что делать? Да свойства степеней вспомнить! На этот раз — с отрицательным показателем:

И снова выносим показатель степени (минус единицу) за знак логарифма, переворачиваем аргумент и получаем:

Готово дело.) Теперь пробуем самостоятельно:

А теперь вовлекаем в наш увлекательный процесс корни. То есть, не что иное, как… степени с дробными показателями. Да-да!

Пример 2

Надеюсь, вы не забыли, что lg — это просто логарифм по основанию 10? Или десятичный логарифм? Пример достаточно простой, без заморочек. Надо всего лишь вспомнить, что корень кубический из 7000 — это 7000 1/3 . С семёркой — аналогично. А дальше по формуле разности логарифмов да по формуле деления степеней. Получим:

Вот так вот. Здесь мы снова перешли к обычным дробям. Но не от десятичных дробей или смешанных чисел, а от корней. В этом безобидном примере вполне можно было бы и без дробей обойтись, работать напрямую с корнями, но в более сложных примерах корни могут вконец запутать. Как, например, вот в таком примерчике:

Пример 3

С чего начать? И тройка есть, и девятка. Правда, три в квадрате — это и будет девятка… Но в примере ещё и корни разных степеней смешались в кучу — квадратный и кубический! Ужас… Но паниковать и сдаваться рано. Перейдём-ка от корней к степеням с дробными показателями! Распишем девятку как 3 2 . А там, того гляди, всё и наладится.)

Верные мысли! Итак, по свойствам степеней для основания и для аргумента мы можем записать:

Вот всё и прояснилось.) Оба числа — и основание, и аргумент — оказались… родственниками! По тройке.) Только совсем уж дальними. Даже не троюродными, а десятиюродными братьями: основание — это три в степени 3/2, а аргумент — та же тройка, но в степени 7/3… Тем не менее факт остаётся фактом — родство по степени (хоть и очень дальнее) установлено. Вот и все формулы и свойства заработали! Выносим наши дробные показатели из за знак логарифма и аккуратно считаем:

Вот так. Здесь уже, конечно, немножко повозиться со степенями пришлось. А что делать… Так что не стесняемся переходить от корней к дробям! И всё получится. Обязательно.)

Вот вам и очередные практические советы:

При наличии дробей в примере, переходим от дробей к степеням с отрицательными показателями.

При наличии корней переходим от корней к степеням с дробными показателями.

Что ж, пришла пора разгрызть и какой-нибудь особо крепкий орешек. Как, например, вот такой примерчик:

Пример 4

Опять же, с чего начинать? Если имеете хоть малейшее представление — флаг вам в руки. Вперёд и с песнями, как говорится.) Если понятия не имеете — подключаем зелёные практические советы и размышляем синим цветом. Примерно так:

«Ух, наворотили… Кошмар! Напролом явно не решается, надо сначала как-то преобразовывать пример. Но — как? Будем вспоминать практические советы.

1. Если в одном примере смешались в кучу разные типы дробей, то переходим к обыкновенным дробям.

Где здесь дроби? Дробей не видно. Ладно, этот пункт пока пропустим. Что там у нас ещё есть? Вот это:

2. Степени популярных чисел надо знать. В лицо! При наличии в примере разных чисел пытаемся найти «братьев по степени».

Так, кое-какая зацепочка уже появилась… 121 — это 11 в квадрате. Ещё можно расписать 125 как 5 в кубе и 9 как 3 в квадрате, но 5 и 3 — никакие не братья и не сёстры по степени. Пригодится или нет — пока непонятно, но к сведению примем. Поехали дальше.)

3. Любую степень можно записать множителем перед логарифмом. И наоборот — любой числовой коэффициент можно спрятать внутрь логарифма. Если он мешает, конечно.

Коэффициентов в нашем примере нет, логарифмы и так чистые. Отметаем этот совет. Что у нас там ещё припасено?

4. Всегда прикидываем, нельзя исходное выражение преобразовать под какую-нибудь готовую формулу?

Вот и прикидываем: на что похож внешний вид нашего примера? Ну же? Ну, конечно! На самую первую формулу — основное логарифмическое тождество! Единственная формула, где логарифм тусуется в показателе степени.

С ним мы пока что ни разу не работали. Что ж, поработаем! Попробуем преобразовать наш пример под эту формулу: других вариантов как-то выкрутиться у нас просто нет!

Но в формуле в показателе стоит один логарифм! А у нас — сумма. Что нам мешает сложить логарифмы по соответствующей формуле суммы? Основания мешают! Они… они — разные! Ну-ка, может, ещё не все практические советы у нас использованы? Вспоминаем:

5. При наличии дробей в примере, переходим от дробей к степеням с отрицательными показателями. При наличии корней переходим от корней к степеням с дробными показателями.

Так, ну дробей в нашем примере нету, это видно. А вот корень в основании — преобразуем. Вот так:

А во втором логарифме в основании тоже стоит 11, только в квадрате… Уже кое-какие проблески! Выпишу-ка я показатель отдельно, дабы не запутаться… С учётом наших размышлений.)

Уже лучше. Теперь выносим показатели степеней из оснований перед логарифмами (не забыть бы перевернуть…):

Великолепно! Основания логарифмов выровнялись! Только вот новая беда… Коэффициенты появились… Хотелось бы сложить логарифмы, ан нет, не канает… Так стоп! Чего же я туплю-то! Можно же их по другой формуле спрятать вовнутрь!

Ну вот. Уже идеально для формулы сложения! Только внутри логарифмов что-то несусветное стало твориться. Не беда, перейдём к маленьким числам: зря, что ли, мы 125 и 9 в виде степеней пятёрки и тройки расписывали?

Пока всё чин-чинарём. Теперь, по правилам действий со степенями, можно записать:

Вот, практически, и всё. Досчитываем наш показатель по формуле сложения логарифмов:

Пример становится всё лучше и лучше! Возвращаемся к нашему исходному примеру, вставляем в него наш преобразованный показатель и получаем ответ!

Йес. Ничего себе, примерчик, однако ж…»

Вот такой пример. Запутанный, да, я не спорю. И зачем я так детально его разобрал? С практическими советами, мыслями… Мог бы и в пару строк уложиться… Дело в том, что разбор одного конкретного примера — занятие бесполезное. Не попадётся он. А вот разъяснить на конкретном примере, как именно надо выкручиваться в любом (да-да, любом!) задании — совсем другое дело!

Главное в этом разборе — подход. Мы применяем весь наш арсенал инструментов к конкретному примеру. Пробуем поочерёдно все инструменты, как ключики к замку. Что-то срабатывает, а что-то нет. Это не страшно и не смертельно. Не подошло — пробуем что-то другое! Что-то обязательно подойдёт! Сложные и запутанные задания именно так и решаются. И никак иначе.)

Конечно, с опытом всё будет делаться гораздо короче и какие-то шаги будут в уме делаться и вообще пропускаться. За ненадобностью. Тут практика рулит. Тренироваться и решать надо. Используя изложенный здесь подход. И тогда всё получится. Обязательно!

Формула перехода к новому основанию. Немного приколов… И немного формул сокращённого умножения.

Поднимаемся ещё на ступень повыше. Запускаем теперь в дело самую последнюю формулу из нашего списка — это формула перехода к новому основанию. Вот она:

В чём суть этой формулы, когда она применяется и как именно она работает? Объясняю по пунктам.

Формула эта применяется, когда основания логарифмов — разные. Но не просто разные, а ещё и не родственные по степени! Которые друг в друга через простую степень не превращаются. Скажем, 2 и 3. Или 5 и 7. Заметьте, что нам уже встречались разные основания у логарифмов в одном и том же примере, но там или всё и так славненько срасталось, или переход был через степени. Например, если основания логарифмов 1/125 и 25, то можно догадаться, что это родня! По пятёрке. Ибо 1/125 = 5 -3 , а 25 = 5 2 . Не так очевидно, конечно, но и мы уже всё-таки на серьёзном уровне с вами. А дальше дело техники: выносим показатели за логарифмы и — вперёд.

Но если основания не родственные, а без выравнивания оснований в примере никак, то выход только один — работать по этой формуле.

Запомнить её очень легко. По шагам:

1) Слева пишем логарифм, основание которого нам не нравится. Справа рисуем черту дроби.

2) В числитель пишем логарифм числа b, но уже по новому основанию k. Какому именно основанию? А какому угодно! В том-то весь и фокус! Естественно, тому, которое нам удобнее. Кроме единицы, разумеется.)

3) В знаменатель пишем логарифм старого основания a по тому же новому основанию k.

Обратите внимание на саму структуру формулы: слева в основании буквы k вообще нет! В этом-то и вся фишка! Это означает, что новому логарифму мы можем выбрать какое угодно основание. Обычно выбирают то, которое нам удобно в конкретном примере. Если, скажем, в примере куча логарифмов по основанию 3 и затесался один по основанию 7, то его и менять будем. На тройку.

А в знаменатель пишем логарифм старого основания. Так уже математика требует. В результате логарифм со старым основанием исчезает из примера. Вот и всё. Вот и вся суть формулы перехода. Ну что, посмотрим на формулу перехода в действии?

Пример 5

Что тут можно увидеть? Ну, во-первых, разные основания. Причём не родственные: из четвёрки пятёрку простым возведением в степень никак не получить. Во-вторых, наблюдаем произведение логарифмов. Такой формулы в наших свойствах нету. Не путаем с логарифмом произведения! Или с суммой логарифмов… Что же делать? Первым делом перейдём к одному основанию. Что-то же делать всё равно надо! К какому основанию пойдём? Ну, ясное дело, что не к 30 или 1,234. У нас на выбор два варианта — либо к четвёрке, либо к пятёрке. В данном примере абсолютно без разницы, к чему переходить. Давайте к четвёрке пойдём: всё-таки число поменьше.) Итак, первый логарифм не трогаем (у него и так основание четыре), а вот второй логарифм превращаем по формуле перехода в дробь:

Всё. Логарифм по основанию 5 из примера благополучно исчез, и в основаниях остались только четвёрки. Вставляем полученную дробь в наш пример, упрощаем и считаем:

Вот так. Откуда же я узнал, что надо переходить к другому основанию? Ведь я мог и что-то ещё замутить. Скажем, log₅16 расписать как

и дальше как-то ещё выкручиваться. Да. Можно. Но с богатым опытом приходит уже так называемое математическое чутьё на формулы и преобразования.) Когда в уме наперёд уже умеешь просчитывать, к чему может привести тот или иной манёвр и не идёшь по заведомо негодному пути.

Вот вам очередной практический совет на данную тему.

Если перед вами сложное логарифмическое выражение, в котором основания логарифмов разные, то первым делом пробуем сделать их одинаковыми. Или через степени или по формуле перехода. Очень часто этот манёвр срабатывает проясняет дальнейшую ситуацию.

А теперь рассмотрим один фокус на формулу перехода, который частенько любят проделывать составители примеров. По-другому эту фишку даже и не назовёшь. Настолько элементарна, а в тупик может поставить даже отличника!

Пример 6

Основания уже одинаковые, но формулы деления логарифмов не существует, да… Можно, конечно, сообразить, что 125 = 5 3 и старым добрым способом, но что делать, если внутри логарифмов сидит что-нибудь более навороченное? Вот и впадают в ступор…

Здесь же достаточно всего лишь разглядеть формулу перехода к новому основанию. Вернее, не просто формулу, а её правую часть! И, если запустить эту формулу справа налево, то сразу получим:

И все дела! Да-да! Это ответ.)

Частенько эту фишку применяют с какими-нибудь совершенно дикими основаниями. На испуг берут, типа.) Как, например, вот такое задание:

Пример 7

В основании число «пи», как тут не испугаться… Однако, если догадаться, что наша ужасная дробь — всего лишь правая часть формулы перехода к новому основанию и сработать справа налево, то получим всего-навсего:

Вот и всё. И нету больше никакого «пи».) А уж сложить парочку логарифмов с одинаковыми основаниями — пустяшное дело. Не пример, а одно удовольствие:

Вот такой вот приёмчик. Теперь, надеюсь, не растеряетесь, в случае чего.)

Рассмотрим ещё одну распространённую фишку с формулой перехода. Вернее, её частный случай.

Что произойдёт, если за новое основание мы возьмём аргумент логарифма? Давайте посмотрим!

Во как! Оказывается, если поменять местами a и b, то наш новый логарифм станет всего лишь обратным к старому! Весьма и весьма полезная формулка. Имеет смысл запомнить.) Решим примерчик и на эту тему:

Пример 8

Что делать будем? Скобки раскрывать? Можно, конечно, но пример явно намекает на более элегантное преобразование. Перейдём в логарифме по основанию 40 к основанию 2. Двойка чем-то привлекательнее, чем сорок, не находите?) Поскольку в аргументе логарифма стоит также двойка, то при переходе к основанию 2 достаточно просто перевернуть этот логарифм. И все дела.)

И что дальше? Куда пристегнуть тройку? А дальше новый фокус! Дело всё в том, что мы не можем напрямую сложить логарифм и число. Но зато логарифмы между собой — запросто! Как выкрутимся? А сделаем-ка из тройки… логарифм! Да-да! Для этого сначала выберем ему основание. Вариантов выбора много, но я предлагаю выбрать 2. Думаю, возражений не будет?)

А дальше пишем вот такое простое равенство:

Всё легко и просто: тройка уходит показателем в степень нашего выбранного основания. Сама цепочка превращений выглядит вот так:

1) Вместо тройки пишем степень с выбранным основанием 2 и показателем, равным этой самой тройке.

2) Берём логарифм от этой степени по тому же самому основанию 2.

Конечно, можно было бы и сразу тройку на логарифм заменить, благо здесь числа совсем простые, но лучше запомнить эту простую цепочку. А то придётся где-нибудь, к примеру, превращать в логарифм по основанию 11 число 1/7… А по цепочке всё совсем элементарно:

Просекли фишку? Тогда возвращаемся к нашим баранам и дорешиваем:

Да… Кто бы мог подумать.)

Конечно, в числовых выражениях этот приёмчик с превращением числа в логарифм достаточно экзотичен. Но вот в логарифмических уравнениях и неравенствах он применяется на полную катушку! Имейте его в виду.)

Заметьте, что обычно мы стараемся поступать наоборот — упрощать всякие ужасы типа дробей, корней, синусов да логарифмов. Доводить их, по возможности, до конечного числа. А тут — наоборот, из числа делаем логарифм. Что хотим, то и творим! Так что математика — на самом деле весьма и весьма творческая наука! Во многом даже искусство.)

При необходимости любое число можно превратить в логарифм по любому основанию (кроме единицы, конечно).

Осталось разобраться с совсем уж хардкорными примерами. Где и так пробуешь и сяк, но не упрощается он никак! На такие примеры есть своё особое секретное оружие.) Срабатывает безотказно. Если уметь грамотно им пользоваться, конечно. Как вам такой примерчик!

Пример 9

За что зацепиться? Все основания уже одинаковые (семёрка), но это особо не спасает. Кстати, обращаю ваше внимание на весьма и весьма частый косяк. В числителе стоят квадраты логарифмов. Именно самих логарифмов, а не их аргументов! Это означает, что вынести двойки из логарифмов наружу мы не имеем права! Не там двойки стоят… Стало быть, уже привычных нам логарифмических формул, готовых к употреблению, нету. Что же делать?

Спокойно! Без паники! Никто и никогда не может гарантировать, что сразу влёт всё решится.) К сожалению…

Чтобы расправиться с этим злым примером, забудем на минутку про логарифмы и плавненько переместимся в седьмой класс. Формулы сокращённого умножения не забыли, надеюсь? А теперь внимательно присматриваемся к нашему примеру. Что ещё, кроме логарифмов, в нём можно увидеть? Разность… Разность ква… Ну, конечно! Разность квадратов! Такая родная и до боли знакомая формула:

Правда, в применении к логарифмам. Ну и что из этого? Ведь в формуле под буковками a и b может скрываться всё что угодно — и логарифмы, и синусы, и степени — любые выражения! Формула всё равно сработает!

Итак, заменяем наш числитель на произведение скобок по формуле разности квадратов:

Вот и всё встало на свои места! И все формулы заработали! Решать пример стало одно удовольствие.)

В первых скобках (разность) получается:

Во вторых скобках (сумма) будет:

Вставляем в пример наши промежуточные результаты, сокращаем и получаем:

Простенько и со вкусом.) Здесь-то всё ясно. Но в тревожной боевой обстановке ЕГЭ подобный пример может и в ступор вогнать. Дело всё в том, что большинство учеников подсознательно пытаются решить пример в том формате, в котором он задан. Например, если задан пример на логарифмы, то мы с головой погружены в логарифмы и варимся только в них, а вынырнуть на поверхность да оглядеться вокруг — не можем. С тригонометрией аналогично — решаем пример только в рамках тригонометрии. И, в случае чего, не можем напрячься и выскочить из этих жёстких рамок… А надо уметь! Хотя бы иногда.)

Посему очередной по счёту практический совет:

Замороченные примеры проверяем на алгебру седьмого класса — разложение на множители, формулы сокращённого умножения и т.п.

Ещё из той же оперы для самостоятельного решения:

Ну что, поздравляю! Вот мы и набрались достаточного количества знаний для уверенной работы с логарифмами практически на любом уровне сложности! Дальше путь только один — решать примеры! Как можно больше.) И особо рекомендую не пренебрегать зелёными советами. Они не зря даются в материале.) Их надо помнить и им надо следовать.) И тогда не логарифмы будут командовать вами, а вы — логарифмами.)

Источник