Отрицательная степень числа
Степень с отрицательным показателем
Число с отрицательным показателем степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем.
| d -c = | 1 | ; 7 -5 = | 1 | ; a -5 = | 1 | . |
| d c | 7 5 | a 5 |
Чтобы разобраться, почему число в отрицательной степени равно дроби, надо вспомнить правило деления степеней с одинаковыми основаниями:
При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Следовательно, если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:
Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:
| a 5 | = | 1 | . |
| a 8 | a 3 |
| a -3 = | 1 | . |
| a 3 |
Пример 1. Замените дробь степенью с отрицательным показателем:
| 1 | . |
| x 2 |
| 1 | = x -2 . |
| x 2 |
Пример 2. Представьте в виде степени с отрицательным показателем:
| 1 | . |
| (m + n) 2 |
| 1 | = (m + n) -2 . |
| (m + n) 2 |
Действия над степенями с отрицательными показателями
При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:
При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя:
Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, надо возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно:
Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:
При возведении одной степени (положительной или отрицательной) в степень (положительную или отрицательную) показатели степеней перемножаются:
Источник
Отрицательные дроби
Отрицательные дроби — это дроби, числитель или знаменатель которых является отрицательным числом.
Отрицательные дроби могут быть записаны по-разному. Например, рассмотрим два частных:
каждое из них равно отрицательному числу
Каждое из данных частных можно записать в виде дроби, в которой дробная черта заменит знак деления:
| -2 : 7 | = | -2 | и | 2 : (-7) | = | 2 | . |
| 7 | -7 |
Следовательно, при записи отрицательных дробей знак минус можно ставить перед дробью, перед числителем или перед знаменателем:
| — | 2 | = | -2 | = | 2 | . |
| 7 | 7 | -7 |
Сложение и вычитание
Чтобы сложить две отрицательные дроби, надо сначала привести их к общему знаменателю, а затем сложить числители по правилам сложения рациональных чисел.
| — | 2 | + (- | 1 | ) | . |
| 5 | 4 |
Приведём дроби к общему знаменателю:
| — | 2 | + (- | 1 | ) = | -8 | + | -5 | . |
| 5 | 4 | 20 | 20 |
Теперь сложим числители дробей по правилам сложения рациональных чисел:
| -8 | + | -5 | = | -8 + (-5) | = | -13 | = | — | 13 | . |
| 20 | 20 | 20 | 20 | 20 |
| — | 2 | + (- | 1 | ) = | -8 | + | -5 | = |
| 5 | 4 | 20 | 20 |
| = | -8 + (-5) | = | -13 | = | — | 13 | . |
| 20 | 20 | 20 |
Для вычисления разности двух отрицательных дробей можно вычитание заменить сложением, взяв уменьшаемое со свои знаком, а вычитаемое с противоположным.
| — | 5 | — (- | 11 | ) = | — | 5 | + (+ | 11 | ) = |
| 12 | 12 | 12 | 12 |
| = | — | 5 | + | 11 | = | -5 + 11 | = | 6 | . |
| 12 | 12 | 12 | 12 |
Сложение и вычитание отрицательных дробей производится по правилам сложения обыкновенных дробей, то есть сначала идёт приведение к общему знаменателю, если это нужно, а затем производятся вычисления.
Умножение и деление
Чтобы найти произведение двух отрицательных дробей, надо знаки минус перенести или в числители, или в знаменатели, а затем перемножить дроби по правилу умножения дробей.
| — | 2 | · (- | 4 | ) = | -2 | · | -4 | = | -2 · (-4) | = | 8 | . |
| 3 | 5 | 3 | 5 | 3 · 5 | 15 |
Так как при умножении двух отрицательных чисел результат будет положительным, то данный пример можно решить сразу, отбросив оба минуса:
| — | 2 | · (- | 4 | ) = | 2 | · | 4 | = | 2 · 4 | = | 8 | . |
| 3 | 5 | 3 | 5 | 3 · 5 | 15 |
При умножении отрицательной дроби на положительную результат будет отрицательным.
| — | 2 | · | 4 | = | — | 2 · 4 | = | — | 8 | . |
| 3 | 5 | 3 · 5 | 15 |
К отрицательным дробям можно применять любые законы умножения. Поэтому предыдущий пример можно переписать так:
| 4 | · (- | 2 | ) = | — | 4 · 2 | = | — | 8 | . |
| 5 | 3 | 5 · 3 | 15 |
То есть при умножении положительной дроби на отрицательную результат будет отрицательным.
Чтобы найти частное двух отрицательных дробей, надо знаки минус перенести или в числители, или в знаменатели, а затем произвести вычисления.
| — | 2 | : (- | 4 | ) = | -2 | : | -4 | = |
| 3 | 5 | 3 | 5 |
| = | -2 · 5 | = | -10 | = | 10 | . |
| 3 · (-4) | -12 | 12 |
Знак результата умножения или деления отрицательных дробей можно узнать по правилам знаков целых чисел.
Источник
Степень с отрицательным показателем
Что такое степень с отрицательным показателем (отрицательная степень)? Как выполнить возведение числа в отрицательную степень? Как возвести в отрицательную степень дробь?
В частности, число в степени минус один — это число, обратное данному:
Если n — целое число, то речь идет о степени с целым отрицательным показателем и равенство верно для любого a, отличного от нуля (т.е. при a≠0).
Если n — дробное число, то речь идет о степени с рациональным показателем:
(m — целое число, n — натуральное число). Степень с дробным показателем определена только для положительных a (a>0).
Дробь в степени с отрицательным показателем равна обратному этой дроби числу в степени с показателем, противоположным данному:
Другими словами, чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо эту дробь «перевернуть»(числитель и знаменатель поменять местами) и изменить знак в показателе степени.
Дробь в минус первой степени — это «перевернутая» дробь.
Рассмотрим примеры возведения чисел в степень с отрицательным показателем.
Для ускорения вычислений используем таблицу степеней.
Чтобы возвести в отрицательную степень смешанное число, надо сначала перевести его в неправильную дробь:
Возведем числа в степень с дробным отрицательным показателем:
При возведении в отрицательную степень десятичной дроби можно сначала перевести ее в обыкновенную и, если возможно, сократить:
Если в показателе степени стоит десятичная дробь, нужно перевести ее в обыкновенную:
Возведение в степень с отрицательным показателем в алгебре встречается достаточно часто, поэтому важно вовремя усвоить эту тему.
14 комментариев
Спасибо! врубился) жаль, что в школе не учился(
Что ж, учиться никогда не поздно). Но всё же лучше вовремя.
Забавно, что за время работы встречал множество коллег, кому приходилось на внутренних курсах разжёвывать какие вещи начального уровня и все сокрушались: «Что же я в школе-то (институте) не учил это? Это же так просто, понятно, полезно и ИНТЕРЕСНО. »
А вся проблема в том, что ни в школе, ни в институте перед тем, как что-то начать рассказывать не проводят красочные, завлекательные, познавательные, весёлые и игровые презентации будущего курса, чтобы было понятно, а где же то, что будем скоро изучать, применяется в жизни? Каким профессиям и в каких житейских ситуациях это может быть полезно?
Учат каким-то абстрактным формулам вместо того, чтобы рассказать, что это пригодится на кухне, при разделе земли, при строительстве сарая на даче, при стрельбе из пушки, при запуске спутника и т. д.
При разбавлении спирта водой, в конце концов! :))
Ведь часто женщины встают в ступор от элементарной задачи:
В рецепте указано «1 ст. ложка 3 %-го уксуса», а у неё на кухне только 9 % или («О, БОЖЕ! Крах! Провал!») вообще уксусная эссенция! А по сути та же кислота, но в концентрации 70 %…
Вообще-то знание и умение решать примеры с отрицательной степенью никак не поможет в задаче с разными процентами уксуса. Просто заговор против большинства людей))
Источник