Как избавиться от разности корней

Пределы с иррациональностями. Вторая часть.

Нам понадобится несколько формул, которые я запишу ниже:

Так как $\lim_\left(\sqrt[3]<5x-12>-\sqrt[3]\right)=0$ и $\lim_(16-x^2)=0$, то мы имеем дело с неопределённостью вида $\frac<0><0>$. Чтобы избавиться от иррациональности, вызвавшей эту неопределенность, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое к числителю. Формула №1 здесь уже не поможет, ибо домножение на $\sqrt[3]<5x-12>+\sqrt[3]$ приведёт к такому результату:

Как видите, такое домножение не избавит нас от разности корней, вызывающей неопределённость $\frac<0><0>$. Нужно домножить на иное выражение. Это выражение должно быть таким, чтобы после домножения на него исчезла разность кубических корней. А кубический корень может «убрать» только третья степень, посему нужно использовать формулу №2. Подставив в правую часть этой формулы $a=\sqrt[3]<5x-12>$, $b=\sqrt[3]$, получим:

Итак, после домножения на

разность кубических корней исчезла. Именно это выражение будет сопряжённым к выражению $\sqrt[3]<5x-12>-\sqrt[3]$. Вернемся к нашему пределу и осуществим умножение числителя и знаменателя на выражение, сопряжённое числителю $\sqrt[3]<5x-12>-\sqrt[3]$:

Задача практически решена. Осталось лишь учесть, что $16-x^2==-(x-4)(x+4)$ (см. формулу №1). Кроме того $4x-16=4(x-4)$, поэтому последний предел перепишем в такой форме:

Рассмотрим ещё один пример (пример №5) в данной части, где применим формулу №4. Принципиально схема решения ничем не отличается от предыдущих примеров, – разве что сопряжённое выражение будет иметь иную структуру. Кстати, стоит отметить, что в типовых расчётах и контрольных работах часто встречаются задачи, когда, например, в числителе размещены выражения с кубическим корнем, а в знаменателе – с корнем квадратным. В этом случае приходится домножать и числитель и знаменатель на различные сопряжённые выражения. Например, для при вычислении предела $\lim_\frac<\sqrt[3]-2><\sqrt-3>$, содержащего неопределённость вида $\frac<0><0>$, домножение будет иметь вид:

Все преобразования, применённые выше, уже были рассмотрены ранее, поэтому полагаю, особых неясностей здесь нет. Впрочем, если решение вашего аналогичного примера вызывает вопросы, прошу отписать об этом на форум.

Так как $\lim_(\sqrt[4]<5x+6>-2)=0$ и $\lim_(x^3-8)=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $\frac<0><0>$. Для раскрытия оной неопределённости используем формулу №4. Сопряжённое выражение к числителю имеет вид

Домножая числитель и знаменатель дроби $\frac<\sqrt[4]<5x+6>-2>$ на указанное выше сопряжённое выражение будем иметь:

Так как $5x-10=5\cdot(x-2)$ и $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$ (см. формулу №2), то:

Так как $\lim_(\sqrt[5]<3x-5>-1)=0$ и $\lim_(\sqrt[3]<3x-5>-1)=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $\frac<0><0>$. В таких ситуациях, когда выражения под корнями одинаковы, можно использовать способ замены. Требуется заменить выражение под корнем (т.е. $3x-5$), введя некоторую новую переменную. Однако простое использование новой буквы ничего не даст. Представьте, что мы просто заменили выражение $3x-5$ буквой $t$. Тогда дробь, стоящая под пределом, станет такой: $\frac<\sqrt[5]-1><\sqrt[3]-1>$. Иррациональность никуда не исчезла, – лишь несколько видоизменилась, что нисколько не облегчило задачу.

Здесь уместно вспомнить, что корень может убрать лишь степень. Но какую именно степень использовать? Вопрос не тривиален, ведь у нас два корня. Один корень пятого, а другой – третьего порядка. Степень должна быть такой, чтобы одновременно убрать оба корня! Нам нужно натуральное число, которое одновременно делилось бы на $3$ и на $5$. Таких чисел бесконечное множество, но наименьшее из них – число $15$. Его называют наименьшим общим кратным чисел $3$ и $5$. И замена должна быть такой: $t^<15>=3x-5$. Посмотрите, что такая замена сделает с корнями:

Корни исчезли, остались лишь степени. И дробь $\frac<\sqrt[5]<3x-5>-1><\sqrt[3]<3x-5>-1>$ станет такой:

Однако это ещё не всё. Переменная $x\to 2$, но к чему стремится переменная $t$? Рассудим так: если $t^<15>=3x-5$, то $t=\sqrt[15]<3x-5>$. Так как $x\to 2$, то $<(3x-5)>\to 1$, $\sqrt[15]<3x-5>\to 1$, посему $t\to 1$. Теперь можем вернуться к нашему пределу:

Корни исчезли, – но неопределённость $\frac<0><0>$ осталась. Чтобы убрать её, нужно учесть, что при $t=1$ имеем $t^3-1=1^3-1=0$ и $t^5-1=1^5-1=0$. Из сказанного следует, что $t=1$ — корень многочленов $t^3-1$ и $t^5-1$. Следовательно, оные многочлены делятся на $t-1$. Разделим многочлен $t^5-1$ на $t-1$ с помощью схемы Горнера:

Результаты применения схемы Горнера можно записать так: $t^5-1=(t-1)(t^4+t^3+t^2+t+1)$. К многочлену $t^3-1$ можно также применить схему Горнера, но лучше использовать формулу №2: $t^3-1=t^3-1^3=(t-1)(t^2+t+1)$. Вернёмся к рассматриваемому пределу:

Источник

Пределы с корнями: примеры решений

Среди задач на решение пределов попадаются пределы с корнями. В результате подстановки значения $ x $ в функцию получаются неопределенности трёх видов:

Перед тем, как приступить к решению определите тип своей задачи

Тип 1 $ \bigg [\frac<0> <0>\bigg ] $

Для того, чтобы раскрывать такие неопределенности необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное к выражению содержащему корень.

Подставляем $ x \to 4 $ в подпределельную функцию:

Получаем неопределенность $ [\frac<0><0>] $. Домножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное к нему, так как он содержит корень: $ 4+\sqrt $

Используя формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $ приведем предел к следующему виду:

Раскрываем скобки в знаменателе и упрощаем его:

Сокращам функцию в пределе на $ x-4 $, имеем:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Тип 2 $ \bigg [\frac<\infty> <\infty>\bigg ] $

Пределы с корнем такого типа, когда $ x \to \infty $ вычислять нужно по-другому в отличии от предыдущего случая. Необходимо определить старшие степени выражений числителя и знаменателя. Затем вынести самую старшую из двух степеней за скобки и сократить.

Вставляем $ x \to \infty $ в предел и получаем $ [\frac<\infty><\infty>] $. Определяем, что в числителе старшая степень это $ x^2 $, а в знаменателе $ \sqrt $. Выносим их за скобки:

Теперь выполняем сокращение:

Снова подставляем $ x \to \infty $ в предел, имеем:

Тип 3 $ \bigg [\infty-\infty \bigg ] $

Этот вид пределов часто попадается в дополнительных заданиях на экзамене. Ведь часто студенты не правильно вычисляют пределы такого типа. Как решать пределы с корнями данного вида? Всё просто. Необходимо умножить и разделить функцию, стоящую в пределе, на выражение сопряженное к ней.

При $ x \to \infty $ в пределе видим:

После домножения и разделения на сопряженное имеем предел:

Упростим числитель, используя формулу разности квадратов: $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $

После раскрытия скобок и упрощения получаем:

Далее выносим $ x $ за скобки и сокращаем:

Снова подставляем $ x \to \infty $ в предел и вычисляем его:

Источник

Решение пределов с корнями

Методы решений

Для вычисления пределов с корнями, применяются приемы и методы, аналогичные методам вычисления пределов с многочленами (см. «Решение пределов с дробями из многочленов»). При этом возможны следующие дополнительные приемы, специфичные для функций с корнями:
1) убрать корни с помощью подстановки, применяя теорему о пределе сложной функции; Примеры ⇓
2) разделить числитель и знаменатель на x s (в случае неопределенности вида ∞/∞ при x → ∞ ), где s – некоторое подобранное число; Пример ⇓
3) выразить бесконечно малые функции, содержащие корни, через бесконечно малые линейные функции, используя приведенные ниже формулы (то же самое в случае разности бесконечно больших функций); Примеры ⇓
4) иногда удобно бесконечно малую функцию преобразовать в сумму или разность бесконечно малых функций, пределы от которых легко находятся. Пример ⇓

В последних двух случаях применяются следующие формулы:
;
;
;
. . . . . . . .
.
Например:
;
;
.

Эти же формулы применяют и для раскрытия разности бесконечно больших функций: .

Примеры решений

Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих примеров.
Найти предел последовательности:
решение ⇓ ;
найти следующие пределы функций с корнями:
⇓ , ⇓ , ⇓ , ⇓ , ⇓ .

Решение подстановкой

Пример 1

Подставим . Тогда .
При . Мы имеем неопределенность вида .

Замечаем, что от корня можно освободится, если сделать подстановку . Отсюда ; при .
Тогда функцию за знаком предела можно представить как сложную:
,
где , .

Далее необходимо применить теорему о пределе сложной функции. Для ее применения должны выполняться два условия:
1) должны существовать пределы , ;
2) должна существовать такая проколотая окрестность точки , на которой значения функции не равны .

В нашем случае функция непрерывна на всей области определения . Поэтому
.
Предел функции мы вычислим позже.

Рассмотрим условие 2). Оно является важным, если функция не является непрерывной в точке . В нашем случае не определена при . Поэтому, если бы в любой проколотой окрестности точки , существовали такие точки , для которых , то сложная функция была бы не определена в этих точках и поэтому не имела бы предела. Однако, если существует такая окрестность точки , на которой функция строго монотонна, то условие 2) выполняется автоматически. В нашем случае, строго возрастает на всей области определения. Поэтому второе условие выполнено. В самом деле, поскольку строго монотонна, то она может принимать значение только в одной точке. Это точка , которая не принадлежит ни одной проколотой окрестности точки . А если это была бы другая точка, то мы могли бы сузить проколотую окрестность, чтобы эта точка оказалась за ее пределами.

Теперь вычисляем второй предел:
.

Он не содержит корней. То есть мы свели задачу к пределу от разности дробей многочленов. Применяем методы, изложенные на странице «Решение пределов с дробями из многочленов».

Разложим знаменатель на множители и приводим дроби к общему знаменателю:
;

.
Делим числитель и знаменатель на . При имеем:
.
Находим предел:
.

Пример 2

Все примеры ⇑ Найти предел последовательности:
.

Преобразуем элемент заданной последовательности, воспользовавшись свойствами корней:
.

Далее, если мы найдем предел функции
,
то согласно определению предела функции по Гейне, искомый предел заданной последовательности будет равняться этому пределу: , поскольку при .

Находим предел отношения многочленов, выделяя и сокращая в числителе и знаменателе множитель :

.

Неопределенность ∞ / ∞

Пример 3

Все примеры ⇑ Найти предел отношения корней:
.

Здесь, при числитель и знаменатель стремятся к . У нас неопределенность вида . Для ее раскрытия, последовательно выносим бесконечно большую часть в числителе и знаменателе за скобки. При имеем:

;

;
;

;
.

Линеаризация бесконечно малых (больших) функций

Пример 4

Все примеры ⇑ Найти предел дроби с корнями:
.

Подставим в числитель и знаменатель:
;
.
Числитель и знаменатель обращаются в нуль. Мы имеем неопределенность вида 0/0 .
Для ее раскрытия, линеаризуем бесконечно малые функции, используя формулу:
(П4.1) .

Делим числитель и знаменатель на и находим предел:

.
Здесь , .

Пример 5

Подставим в числитель и знаменатель:
;
.
Мы имеем неопределенность вида 0/0 .

Чтобы упростить вычисления, здесь удобно представить бесконечно малые функции в числителе и знаменателе в виде сумм и разностей других бесконечно малых функций:
(П5.1) .

Применим формулу:
.
Подставим :
.
Отсюда
, где .
Заметим, что .

Применим формулу:
.
Подставим :
.
Отсюда
, где .
Заметим, что .

Применим формулу:
.
Подставим :

.
Отсюда
, где .
.

Наконец, применим формулу:
.
Подставим :

.
Отсюда
, где .
.

Подставляем полученные выражения в (П5.1):
.
Делим числитель и знаменатель на x . В результате мы освобождаемся от неопределенности и находим предел непрерывной функции:

.

Можно было записать и так:

.
После чего вычислить пределы:
.

Пример 6

Все примеры ⇑ Найти предел функции с корнями при x стремящемся к бесконечности:
.

Поскольку, при , и , то мы имеем неопределенность вида +∞ – (+∞) .

Применим формулу:
(П6.1) .
Подставим :

.
Отсюда, при имеем:
(П6.2) .

В числителе опять неопределенность +∞ – (+∞) . Применяем формулу (П6.1) еще раз. Подставим :

.
Отсюда
.

Подставим в (П6.2):
,
где .
Теперь у нас неопределенность вида ∞/∞ . Для раскрытия этой неопределенности, преобразуем знаменатель. Выделим бесконечно большую часть и вынесем ее за скобки. При имеем:
;

;
;

;
;
.

Делим числитель и знаменатель в функции на . При имеем:
.
Находим предел.
При , ,

.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин. Сборник задач по высшей математики. Том 1. Москва, 1957.
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.
Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Москва, 1997.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 02-02-2019 Изменено: 06-02-2019

Источник