Как избавится от тройной дроби

Сложные выражения с дробями. Порядок действий

Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции. Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?

В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия — в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:

1. Сначала выполняется возведение в степень — избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели;
2. Затем — деление и умножение;
3. Последним шагом выполняется сложение и вычитание.

Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется — все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.

Задача. Найдите значения выражений:

Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:

Теперь найдем значение второго выражения. Тут дробей с целой частью нет, но есть скобки, поэтому сначала выполняем сложение, и лишь затем — деление. Заметим, . Тогда:

Наконец, считаем третий пример. Здесь есть скобки и степень — их лучше считать отдельно. Учитывая, , имеем:

Обратите внимание на последний пример. Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно — знаменатель.

Можно решать по-другому. Если вспомнить определение степени, задача сведется к обычному умножению дробей:

Многоэтажные дроби

До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.

Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:

Здесь и далее мы будем называть эти дроби . Однако имейте в виду, что общепризнанного названия у них нет, и в разных учебниках могут встречаться другие определения.

Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:

Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной. Взгляните на примеры:

Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:

В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1. Получаем:

В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.

Специфика работы с многоэтажными дробями

В многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными. Взгляните:

Это выражение можно прочитать по-разному:

1. В числителе стоит отдельное число 7, а в знаменателе — дробь 12/5;
2. В числителе стоит дробь 7/12, а в знаменателе — отдельное число 5.

Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:

Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно — в несколько раз.

Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:

Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать правильно. Напоследок — пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:

Задача. Найдите значения выражений:

Итак, работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем выполним операции сложения и деления:

Аналогично поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные выкладки. Имеем:

Благодаря тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере мы намеренно оставили в форме дроби, чтобы выполнить деление.

Также отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым делом мы находили сумму, и лишь затем — частное.

Кто-то скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что важнее: скорость или надежность.

Источник

Нам не страшен артроз кистей рук: простая профилактика

Узловатые припухшие пальцы – такая неприятность ожидает тех, у кого развился и прогрессировал артроз кистей рук. По статистике, женщины страдают от этого заболевания в десять раз чаще мужчин. С помощью несложных профилактических действий можно максимально обезопасить себя от такого дефекта рук, с которым, к сожалению, не справится ни один косметологический метод.

С артрозом кистей вы не сможете нормально орудовать ножом и вилкой

Что такое артроз кисти

В суставе есть хрящевая ткань, которая по той или иной причине видоизменяется. На ней образуются дефектные участки. Они истончаются – появляются костные наросты остеофиты. Пальцы приобретают характерную неэстетичную бугристость, из-за которой становится трудно выполнять привычные действия, требующие мелкой моторики.

Ни артроз кистей, ни гонартроз не передаются по наследству: передается только предрасположенность к нему. Вы можете унаследовать особенности обмена веществ, характер тканей, эластичность и плотность суставных хрящей. Если у ваших близких родственников были предпосылки к лечению остеоартроза, задумайтесь: вы – в группе риска!

Что делать в молодости: простые рекомендации

Особенно подвержены артрозу кисти люди определенных профессий – пианисты, массажисты, офис-менеджеры и постоянно печатающие на клавиатуре. Если вы предполагаете возможность развития этой патологии, постарайтесь выбрать в молодости другую профессию.

• Избегайте травм пальцев и лучезапястного сустава. Они чаще всего провоцируют развитие дистрофических изменений.
• Особую осторожность проявляйте во время гололеда, ведь при падении человек интуитивно подставляет кисти рук.
• Не злоупотребляйте упражнениями с гантелями.

Берегите руки смолоду

Что делать после сорока

После сорока основной причиной коксартроза, гонартроза и артроза кисти становятся гормональные изменения. С наступлением менопаузы у женщин ситуация усугубляется, особенно в области пальцев. В организме снижается уровень эстрогенов – он начинает активно терять влагу, в том числе в суставе. Хрящи испытывают дефицит влаги, становятся ломкими и уязвимыми.

В этом возрасте особенно важно вести здоровый образ жизни – достаточно находиться на свежем воздухе, отказаться от вредных привычек. От стиля питания, поступления кислорода и витаминов зависит состояние суставов и хрящевой ткани.

Как делать профилактический массаж кистей

С помощью простых движений вы можете самостоятельно снимать напряжение и устранять мышечные спазмы в кистях рук. Массаж необходим, чтобы улучшить кровообращение и нормализовать в суставах обмен веществ.

• Сначала согрейте ладони, потерев их друг о друга.
• Растирайте большим и указательным пальцем одной руки поочередно каждый палец на второй руке: от основания к ногтю, а затем обратно.
• Обхватите палец рукой и выполняйте вращения, как будто натачиваете карандаш.
• Сгибайте и разгибайте пальцы в быстром темпе, не сжимая их в кулак, – 15-20 раз.

Массаж пальцев рук отнимает всего несколько минут

Как быть, если появились первые признаки артроза

Если у вас на пальцах появились «узелки», значит, болезнь развивается уже не первый год. Хорошо, если удастся обнаружить ее гораздо раньше, на стадии первых ноющих болей. Не оставляйте без внимания болезненность, которая усиливается ночью, небольшие отеки, даже если они не ограничивают движения в суставе.

На начальных стадиях артроза рекомендуют принимать защитные препараты – хондропротекторы. Хондроитин и глюкозамин в их составе улучшают регенерацию клеток хряща, увеличивают содержание гиалуроновой кислоты, делают хрящ более прочным и эластичным. Эти лекарства эффективны только на ранних стадиях, несмотря на то что их назначают и впоследствии в комплексной терапии.

Улучшить приток крови и ускорить обмен веществ помогает парафинотерапия. Косметический парафин нагревает проблемные участки. Если вы уже ощущаете в кисти дискомфорт, обеспечьте ей достаточную физическую активность. В бездействии хрящ будет разрушаться быстрее. С этой целью можно сжимать и разжимать резиновый мяч или эспандер, лепить из глины или пластилина.

Полчаса лепки в день – и вы с легкостью укрепите мышцы кисти!

Как понять, что у вас артроз кисти

Заболевание проходит несколько этапов. Чтобы обнаружить его как можно раньше, необходимо знать признаки каждого из них:

1 стадия – бывают периодические ноющие боли в ночное время, вы почувствуете напряжение в мышцах, возможно, заметите небольшие отеки. Пальцы двигаются без затруднений.

2 стадия – боль беспокоит и ночью, и днем, особенно после нагрузки на пальцы. При движениях появляется хруст. Мышцы пораженных пальцев начинают атрофироваться и увеличиваться в объеме. Образуются костные наросты – узелки Гебердена.

3 стадия – пораженные пальцы уже сильно ограничены в подвижности. Поверхностный слой межфаланговых суставов полностью разрушен, остеофиты сливаются в единое целое, боль присутствует постоянно.

Артроз и артрит кистей рук имеют много общих признаков, но это совершенно разные заболевания. В чем их отличия? Комментарий известного доктора, профессора Бубновского:

Тактика лечения

На ранних стадиях вам предложат консервативное лечение, которое снизит болезненность и расширит подвижность пальцев. Некоторые методы физиотерапии при артрозе улучшат кровоснабжение и восстановят обмен веществ, активизируют регенерацию тканей и снизят болевой синдром. Практикуют также такие техники:

• остеопатия и мануальная терапия – для укрепления мышц, улучшения подвижности, восстановления околосуставного кровотока;
• рефлексотерапия – способствует снятию воспаления и отечности, улучшает работу поврежденных межфаланговых суставов;
• гирудотерапия – способна заменить сразу несколько лекарственных препаратов;
• лечебная физкультура – расслабляет мышцы и укрепляет мускулатуру.

Приостановить прогрессирование артроза помогают внутрисуставные инъекции протеза синовиальной жидкости «Нолтрекс». Принцип действия прост: гель попадает внутрь суставов и берет на себя функции недостающей смазки, раздвигает тонкие хрящевые поверхности и питает их. Трение хрящей прекращается, они больше не разрушаются от механического воздействия, а человек не испытывает боли.

Если ортопед рекомендует внутрисуставные инъекции, значит, еще не все потеряно

Кисти рук нуждаются в бережном уходе, и дело не только в правильном выборе крема или косметологических процедур. Ухаживать нужно и за межфаланговыми суставами, ведь от них зависит то, насколько уверенной и точной будет наша мелкая моторика. Регулярно разминайте пальцы, делайте упражнения, берегите руки от травм и переохлаждений – тогда риск развития артроза будет значительно ниже.

Источник

Калькулятор дробей

Как перевести смешанную дробь в обыкновенную

Для того, чтобы перевести смешанную дробь в обыкновенную, необходимо к числителю дроби прибавить произведение целой части и знаменателя: i n d = i · d + n d

5 3 4 = 5 · 4 + 3 4 = 23 4

Как перевести обыкновенную дробь в смешанную

Для того, чтобы перевести обыкновенную дробь в смешанную, необходимо:

1. Поделить числитель дроби на её знаменатель
2. Результат от деления будет являться целой частью
3. Остаток отделения будет являться числителем

Как перевести обыкновенную дробь в десятичную

Для того, чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно разделить её числитель на знаменатель.

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную или смешанную

Для того, чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, необходимо:

1. Записать дробь в виде десятичная дробь 1
2. Умножать числитель и знаменатель на 10 до тех пор, пока числитель не станет целым числом.
3. Найти наибольший общий делитель и сократить дробь.

Например, переведем 0.36 в обыкновенную дробь:

1. Записываем дробь в виде: 0.36 1
2. Умножаем на 10 два раза, получим 36 100
3. Сокращаем дробь 36 100 = 9 25

Как перевести дробь в проценты

Для того, чтобы перевести обыкновенную или смешанную дробь в проценты, необходимо перевести её в десятичную дробь и умножить на 100.

Как перевести проценты в дробь

Для того, чтобы перевести проценты в дробь, необходимо получить из процентов десятичную дробь (разделив на 100), затем полученную десятичную дробь перевести в обыкновенную.

Сложение дробей

Алгоритм действий при сложении двух дробей такой:

1. Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
2. Привести дроби к общему знаменателю. Для этого нужно числитель и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель и знаменатель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби.
3. Выполнить сложение дробей путем сложения их числителей.
4. Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
5. Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.

Вычитание дробей

Алгоритм действий при вычитании двух дробей:

1. Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
2. Привести дроби к общему знаменателю. Для этого нужно числитель и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель и знаменатель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби.
3. Вычесть одну дробь из другой, путем вычитания числителя второй дроби из числителя первой.
4. Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
5. Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.

Умножение дробей

Алгоритм действий при умножении двух дробей:

1. Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
2. Умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби и знаменатель первой дроби на знаменатель второй.
3. Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
4. Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.

Деление дробей

Алгоритм действий при делении двух дробей:

1. Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
2. Чтобы произвести деление дробей, нужно преобразовать вторую дробь, поменяв местами её числитель и знаменатель, а затем произвести умножение дробей.
3. Умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби и знаменатель первой дроби на знаменатель второй.
4. Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
5. Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.

Источник