Как избавиться от знаменателя дроби примеры

Как решать дробные уравнения?

Итак, друзья, продолжаем осваивать решение основных типов алгебраических уравнений. Мы с вами уже хорошо (надеюсь) знаем, как именно надо решать линейные и квадратные уравнения. Осталось разобрать ещё одним основным типом уравнений — дробными уравнениями.

Иногда их называют более научно и солидно — дробные рациональные уравнения. Или дробно-рациональные уравнения. Это сути не меняет.)

Дробные уравнения — незаменимая вещь во многих других темах математики. Особенно — в текстовых задачах. Но для успешного их решения жизненно необходимо ориентироваться в трёх смежных темах:

1. Дроби и действия с дробями и дробными выражениями.

3. Решение линейных и квадратных уравнений.

Без этих трёх китов браться за решение дробных уравнений слишком уж самонадеянно, я бы сказал. Почему? Да потому, что непонимание, как, скажем, работать с дробями (сокращать, приводить к общему знаменателю и т.д.) автоматически будет приводить к полному провалу и в дробных уравнениях. Намёк понятен?)

Так что тем, у кого проблемы хотя бы по одной из вышеперечисленных тем — настоятельно рекомендую освежить их в памяти, да и по ссылочкам пройтись.

Что такое дробное уравнение? Примеры.

Дробное уравнение, как следует непосредственно из названия, — это уравнение, в котором есть дроби. Обязательно. Причём (важно!) не просто дроби, а дроби, у которых есть икс в знаменателе. Хотя бы в одном.

Например, вот такое уравнение:

И так далее.) Напоминаю, что, если в знаменателях сидят только числа, то такие уравнения к дробным не относятся. Либо это линейные уравнения, либо квадратные.

Это линейное уравнение, хотя тут тоже есть дроби. Почему? Да потому, что знаменатели дробей — четвёрка и пятёрка. Т.е. просто числа. И ни один из знаменателей не содержит иксов.

Или такое уравнение:

Это обычное квадратное уравнение, несмотря на двойку в знаменателе. Опять же, по причине того, что двойка — не икс, и деления на неизвестное в дроби нету.

В общем, вы поняли.

Как решать дробные уравнения? Убираем дроби!

Как это ни странно, дробные уравнения в большинстве своём решаются довольно просто. По чётким и несложным правилам. Каким же именно образом?

Первым делом надо избавиться от дробей! Это ключевой шаг в решении любого дробного уравнения, который должен быть освоен идеально. Ибо после того, как все дроби исчезли, уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное. А дальше мы уже с вами знаем, что делать.)

Но… Как же нам избавиться от дробей?! Легко! Применяя всё те же старые добрые тождественные преобразования! В чём же суть?

Вникаем. Нам надо помножить обе части уравнения на одно и то же выражение. Но не на какое попало, а на такое, чтобы все знаменатели посокращались! Одним махом.) Ибо дальше, без знаменателей, жизнь становится гораздо проще и приятнее.)

Это только на конкретном примере показать можно. Итак, решаем первое уравнение из нашего списка:

Первое, что приходит на ум — перенести всё в одну сторону, привести всё к общему знаменателю и т.д. Забудьте, как кошмарный сон! Так делают только в одном случае — при решении дробно-рациональных неравенств методом интервалов. Это отдельная большая тема.

А в уравнениях нам надо сразу умножить обе части на такое выражение, которое нам позволит сократить все знаменатели. И какое же это выражение?

Давайте его конструировать.) Смотрим ещё раз на уравнение:

Понятно, что в левой части для ликвидации знаменателя нам необходимо умножение на (х+3), а в правой — на 3. Но математика позволяет умножать обе части уравнения только на одно и то же выражение! На разные — не катит. Ничего не поделать, так уж она устроена…)

Значит, нам надо скомбинировать такое выражение, которое одновременно делилось бы как на (х+3), так и на тройку. Причём очень важно — только с помощью умножения! И какое же это выражение? Очевидно, это 3(х+3). То есть, по сути, общий знаменатель обеих дробей.

Итак, для ликвидации всех дробей наше уравнение надо умножать на выражение 3(х+3).

Это самое обычное умножение дробных выражений, но, так уж и быть, расписываю детально:

Прошу обратить внимание: скобки (х+3) я не раскрываю! Прямо так, целиком, их и пишу, как будто бы это одна буква. Ибо наша основная на данный момент задача — дроби убрать. Чего без произведения никак не сделаешь… И зачем же нам тогда париться с раскрытием скобок?!

А вот теперь мы видим, что в левой части сокращается целиком (х+3), а в правой 3. Чего мы и добивались! И теперь с чувством глубокого удовлетворения производим сокращение:

Вот и отлично. Дроби исчезли. После сокращения получилось безобидное линейное уравнение:

А его (надеюсь) уже решит каждый:

Решаем следующий примерчик:

И опять избавляемся от того, что нам не нравится. В данном примере это дробь 20/х. Одна единственная. Для её ликвидации правую часть надо домножить на знаменатель. То есть, просто на х. Но тогда и левую часть тоже надо домножить на х: так уж второе тождественное преобразование требует.

Вот и домножаем! Всю левую часть и всю правую часть:

Напоминаю, что эта вертикальная чёрточка с умножением всего лишь означает, что обе части нашего уравнения мы умножаем на «х».

А вот теперь — снова внимание! Очередные грабли. Заметьте, что при умножении левой части на икс, выражение (9 — х) я взял в скобки! Почему? Потому, что мы умножаем на икс всю левую часть целиком, а не отдельные её кусочки!

Дело всё в том, что частенько после умножения народ записывает левую часть вот так:

Это категорически неверно. Дальше можно уже не решать, да…)

Но у нас всё хорошо, будем дорешивать.

С чистой совестью сокращаем икс справа и получаем уравнение уже безо всяких дробей, в одну строчку.

Вот и отлично. Все дроби исчезли напрочь, теперь можно и скобки раскрыть:

Переносим всё влево и приводим к стандартному виду:

Получили классическое квадратное уравнение. Но минус перед квадратом икса — нехорош. Забыть его проще простого! От него всегда можно избавиться умножением (или делением) уравнения на (-1). Проще говоря, меняем в левой части все знаки на противоположные. А справа как был ноль, так ноль же и останется:

Решаем через дискриминант (или подбираем по теореме Виета) и получаем два корня:

Как вы видите, в первом случае уравнение после преобразований стало линейным, а здесь — квадратным.

А бывает и так, что после ликвидации дробей вообще все иксы сокращаются и остаётся чистая правда. Что-нибудь типа 3=3. Это означает, что икс может быть любым. Какой икс ни возьми — всё равно всё посокращается и останется железное равенство 3=3.

Или наоборот, может получиться какая-нибудь белиберда, типа 3=4. А это будет означать, что корней нет. Какой икс ни возьми — всё сократится и останется бред…

Надеюсь, такие сюрпризы вас уже нисколько не удивят.) Если всё же удивят, то прогуляйтесь по ссылочке: Линейные уравнения. Как решать линейные уравнения? А чуть конкретнее — особые случаи при решении линейных уравнений. Эти сюрпризы (полная пропажа иксов после преобразований) — они ко всем видам уравнений относятся. И дробные — не исключение.)

Разумеется, при попытке ликвидации дробей встречаются и неожиданности. И одну из них мы рассмотрим прямо сейчас.

Раскладываем на множители!

Решаем третье уравнение по списку:

А вот тут некоторые могут и зависнуть. На что же такое надо домножить всё уравнение, чтобы за один шаг сократились все знаменатели? Можно, конечно, взять и тупо перемножить все три знаменателя, получить

и домножить на эту конструкцию всё уравнение. Математика не возражает.) Но… Может быть, есть выражение попроще?

Что ж, вскрою тайну: да, всё гораздо проще! Если в совершенстве владеть таким мощным приёмом, как разложение на множители. Привет седьмому классу!)

А попробуем-ка разложить на множители каждый из знаменателей? Ну, с х и х+2 точно ничего не сделать, а вот х 2 +2х вполне себе раскладывается! Выносим один икс за скобку и получаем:

Отлично. Вставим наше разложение в исходное уравнение:

Вот теперь всё и прояснилось.) Теперь уже отчётливо видно, что гораздо проще будет умножать обе части уравнения на х(х+2). Это выражение гораздо короче и прекрасно делится на каждый из знаменателей: и на x, и на (х+2), и само на себя — на х(х+2).

Вот на х(х+2) и умножаем:

И снова расписываю подробно, дабы не запутаться. В левой части я буду использовать скобки: там сумма дробей. В правой части скобки не нужны: там одна дробь. Вот и пишем:

А теперь производим умножение. В левой части большие скобки умножаем на наше выражение х(х+2). Разумеется, по правилу раскрытия скобок, сначала первую дробь, затем — вторую. Ну, а в правой части, по правилу умножения дробей, просто умножаем числитель:

Я уж не стал здесь рисовать единички в знаменателях, несолидно… И, опять же, малые скобки в числителях я не раскрываю! Они нам сейчас для сокращения понадобятся! И да… Откуда появились скобки (х — 3) в числителе первой дроби — думаю, уже не стоит объяснять?)

С удовольствием сокращаем все дроби:

Раскрываем оставшиеся скобки, приводим подобные и собираем всё слева:

И снова получили квадратное уравнение.) Решаем и получаем два корня:

Вот и всё. Это и есть ответ.)

Из этого примера можно сделать важный вывод:

Если знаменатели дробей можно разложить на простые множители — обязательно делаем это! Пригодится при ликвидации дробей. Причём раскладываем всё до упора, используя все возможные способы из алгебры седьмого класса!

Как вы видите, всё просто и логично. Мы меняем исходное уравнение так, чтобы после наших преобразований из примера исчезло всё то, что нам не нравится. Или мешает. В данном случае это — дроби. И точно так же мы будем поступать и со всякими логарифмами, синусами, показателями и прочей жестью.) Мы всегда будем от всего этого избавляться.)

Ну что, порешаем?)

Ответы (как обычно, вразброс):

Последнее задание не решается? Что ж, формулы сокращённого умножения всяко помнить надо, да…)

Всё решилось? Что ж, здорово! Значит, полпути в решении дробных уравнений мы с вами уже преодолели. Эта первая часть пути — избавление от дробей. Осталась вторая. Не менее важная!

Всё просто, но… Пришло время открыть вам горькую правду. Успешное решение дробных уравнений этого урока вовсе не гарантирует успех в решении всех остальных примеров этой темы. Даже очень простых, подобных этим. К сожалению…

Источник

Как освободиться от иррациональности в знаменателе: способы, примеры, решения

При изучении преобразований иррационального выражения очень важным является вопрос о том, как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Целью этой статьи является объяснение этого действия на конкретных примерах задач. В первом пункте мы рассмотрим основные правила данного преобразования, а во втором – характерные примеры с подробными пояснениями.

Понятие освобождения от иррациональности в знаменателе

Начнем с пояснения, в чем вообще заключается смысл такого преобразования. Для этого вспомним следующие положения.

Об иррациональности в знаменателе дроби можно говорить в том случае, если там присутствует радикал, он же знак корня. Числа, которые записаны при помощи такого знака, часто относятся к числу иррациональных. Примерами могут быть 1 2 , — 2 x + 3 , x + y x — 2 · x · y + 1 , 11 7 — 5 . К дробям с иррациональными знаменателями также относятся те, что имеют там знаки корней различной степени (квадратный, кубический и т.д.), например, 3 4 3 , 1 x + x · y 4 + y . Избавляться от иррациональности следует для упрощения выражения и облегчения дальнейших вычислений. Сформулируем основное определение:

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби – значит преобразовать ее, заменив на тождественно равную дробь, в знаменателе которой не содержится корней и степеней.

Такое действие может называться освобождением или избавлением от иррациональности, смысл при этом остается тем же. Так, переход от 1 2 к 2 2 , т.е. к дроби с равным значением без знака корня в знаменателе и будет нужным нам действием. Приведем еще один пример: у нас есть дробь x x — y . Проведем необходимые преобразования и получим тождественно равную ей дробь x · x + y x — y , освободившись от иррациональности в знаменателе.

После формулировки определения мы можем переходить непосредственно к изучению последовательности действий, которые нужно выполнить для такого преобразования.

Основные действия для избавления от иррациональности в знаменателе дроби

Для освобождения от корней нужно провести два последовательных преобразования дроби: умножить обе части дроби на число, отличное от нуля, а затем преобразовать выражение, получившееся в знаменателе. Рассмотрим основные случаи.

В наиболее простом случае можно обойтись преобразованием знаменателя. Например, мы можем взять дробь со знаменателем, равным корню из 9 . Вычислив 9 , мы запишем в знаменателе 3 и избавимся таким образом от иррациональности.

Однако гораздо чаще приходится предварительно умножать числитель и знаменатель на такое число, которое потом позволит привести знаменатель к нужному виду (без корней). Так, если мы выполним умножение 1 x + 1 на x + 1 , мы получим дробь x + 1 x + 1 · x + 1 и сможем заменить выражение в ее знаменателе на x + 1 . Так мы преобразовали 1 x + 1 в x + 1 x + 1 , избавившись от иррациональности.

Иногда преобразования, которые нужно выполнить, бывают довольно специфическими. Разберем несколько наглядных примеров.

Как преобразовать выражение в знаменателе дроби

Как мы уже говорили, проще всего выполнить преобразование знаменателя.

Условие: освободите дробь 1 2 · 18 + 50 от иррациональности в знаменателе.

Решение

Для начала раскроем скобки и получим выражение 1 2 · 18 + 2 · 50 . Используя основные свойства корней, перейдем к выражению 1 2 · 18 + 2 · 50 . Вычисляем значения обоих выражений под корнями и получаем 1 36 + 100 . Здесь уже можно извлечь корни. В итоге у нас получилась дробь 1 6 + 10 , равная 1 16 . На этом преобразования можно закончить.

Запишем ход всего решения без комментариев:

1 2 · 18 + 50 = 1 2 · 18 + 2 · 50 = = 1 2 · 18 + 2 · 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

Ответ: 1 2 · 18 + 50 = 1 16 .

Условие: дана дробь 7 — x ( x + 1 ) 2 . Избавьтесь от иррациональности в знаменателе.

Решение

Ранее в статье, посвященной преобразованиям иррациональных выражений с применением свойств корней, мы упоминали, что при любом A и четных n мы можем заменить выражение A n n на | A | на всей области допустимых значений переменных. Следовательно, в нашем случае мы можем записать так: 7 — x x + 1 2 = 7 — x x + 1 . Таким способом мы освободились от иррациональности в знаменателе.

Ответ: 7 — x x + 1 2 = 7 — x x + 1 .

Избавление от иррациональности методом умножения на корень

Если в знаменателе дроби находится выражение вида A и само выражение A не имеет знаков корней, то мы можем освободиться от иррациональности, просто умножив обе части исходной дроби на A . Возможность этого действия определяется тем, что A на области допустимых значений не будет обращаться в 0 . После умножения в знаменателе окажется выражение вида A · A , которое легко избавить от корней: A · A = A 2 = A . Посмотрим, как правильно применять этот метод на практике.

Условие: даны дроби x 3 и — 1 x 2 + y — 4 . Избавьтесь от иррациональности в их знаменателях.

Решение

Выполним умножение первой дроби на корень второй степени из 3 . Получим следующее:

x 3 = x · 3 3 · 3 = x · 3 3 2 = x · 3 3

Во втором случае нам надо выполнить умножение на x 2 + y — 4 и преобразовать получившееся выражение в знаменателе:

— 1 x 2 + y — 4 = — 1 · x 2 + y — 4 x 2 + y — 4 · x 2 + y — 4 = = — x 2 + y — 4 x 2 + y — 4 2 = — x 2 + y — 4 x 2 + y — 4

Ответ: x 3 = x · 3 3 и — 1 x 2 + y — 4 = — x 2 + y — 4 x 2 + y — 4 .

Если же в знаменателе исходной дроби имеются выражения вида A n m или A m n (при условии натуральных m и n ), нам нужно выбрать такой множитель, чтобы получившееся выражение можно было преобразовать в A n n · k или A n · k n (при натуральном k ). После этого избавиться от иррациональности будет несложно. Разберем такой пример.

Условие: даны дроби 7 6 3 5 и x x 2 + 1 4 15 . Избавьтесь от иррациональности в знаменателях.

Решение

Нам нужно взять натуральное число, которое можно разделить на пять, при этом оно должно быть больше трех. Чтобы показатель 6 стал равен 5 , нам надо выполнить умножение на 6 2 5 . Следовательно, обе части исходной дроби нам придется умножить на 6 2 5 :

7 6 3 5 = 7 · 6 2 5 6 3 5 · 6 2 5 = 7 · 6 2 5 6 3 5 · 6 2 = 7 · 6 2 5 6 5 5 = = 7 · 6 2 5 6 = 7 · 36 5 6

Во втором случае нам потребуется число, большее 15 , которое можно разделить на 4 без остатка. Берем 16 . Чтобы получить такой показатель степени в знаменателе, нам надо взять в качестве множителя x 2 + 1 4 . Уточним, что значение этого выражения не будет 0 ни в каком случае. Вычисляем:

x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 · x 2 + 1 4 = = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4

Ответ: 7 6 3 5 = 7 · 36 5 6 и x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 .

Избавление от иррациональности методом умножения на сопряженное выражение

Следующий метод подойдет для тех случаев, когда в знаменателе исходной дроби стоят выражения a + b , a — b , a + b , a — b , a + b , a — b . В таких случаях нам надо взять в качестве множителя сопряженное выражение. Поясним смысл этого понятия.

Для первого выражения a + b сопряженным будет a — b , для второго a — b – a + b . Для a + b – a — b , для a — b – a + b , для a + b – a — b , а для a — b – a + b . Иначе говоря, сопряженное выражение – это такое выражение, в котором перед вторым слагаемым стоит противоположный знак.

Давайте рассмотрим, в чем именно заключается данный метод. Допустим, у нас есть произведение вида a — b · a + b . Оно может быть заменено разностью квадратов a — b · a + b = a 2 — b 2 , после чего мы переходим к выражению a − b , лишенному радикалов. Таким образом, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби с помощью умножения на сопряженное выражение. Возьмем пару наглядных примеров.

Условие: избавьтесь от иррациональности в выражениях 3 7 — 3 и x — 5 — 2 .

Решение

В первом случае берем сопряженное выражение, равное 7 + 3 . Теперь производим умножение обеих частей исходной дроби на него:

3 7 — 3 = 3 · 7 + 3 7 — 3 · 7 + 3 = 3 · 7 + 3 7 2 — 3 2 = = 3 · 7 + 3 7 — 9 = 3 · 7 + 3 — 2 = — 3 · 7 + 3 2

Во втором случае нам понадобится выражение — 5 + 2 , которое является сопряженным выражению — 5 — 2 . Умножим на него числитель и знаменатель и получим:

x — 5 — 2 = x · — 5 + 2 — 5 — 2 · — 5 + 2 = = x · — 5 + 2 — 5 2 — 2 2 = x · — 5 + 2 5 — 2 = x · 2 — 5 3

Возможно также перед умножением выполнить преобразование: если мы вынесем из знаменателя сначала минус, считать будет удобнее:

x — 5 — 2 = — x 5 + 2 = — x · 5 — 2 5 + 2 · 5 — 2 = = — x · 5 — 2 5 2 — 2 2 = — x · 5 — 2 5 — 2 = — x · 5 — 2 3 = = x · 2 — 5 3

Ответ: 3 7 — 3 = — 3 · 7 + 3 2 и x — 5 — 2 = x · 2 — 5 3 .

Важно обратить внимание на то, чтобы выражение, полученное в итоге умножения, не обращалось в 0 ни при каких переменных из области допустимых значений для данного выражения.

Условие: дана дробь x x + 4 . Преобразуйте ее так, чтобы в знаменателе не было иррациональных выражений.

Решение

Начнем с нахождения области допустимых значений переменной x . Она определена условиями x ≥ 0 и x + 4 ≠ 0 . Из них можно сделать вывод, что нужная область представляет собой множество x ≥ 0 .

Сопряженное знаменателю выражение представляет собой x — 4 . Когда мы можем выполнить умножение на него? Только в том случае, если x — 4 ≠ 0 . На области допустимых значений это будет равносильно условию x≠16. В итоге мы получим следующее:

x x + 4 = x · x — 4 x + 4 · x — 4 = = x · x — 4 x 2 — 4 2 = x · x — 4 x — 16

Если x будет равен 16 , то мы получим:

x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

Следовательно, x x + 4 = x · x — 4 x — 16 при всех значениях x , принадлежащих области допустимых значений, за исключением 16 . При x = 16 получим x x + 4 = 2 .

Ответ: x x + 4 = x · x — 4 x — 16 , x ∈ [ 0 , 16 ) ∪ ( 16 , + ∞ ) 2 , x = 16 .

Преобразование дробей с иррациональностью в знаменателе с использованием формул суммы и разности кубов

В предыдущем пункте мы выполняли умножение на сопряженные выражения с тем, чтобы потом использовать формулу разности квадратов. Иногда для избавления от иррациональности в знаменателе полезно воспользоваться и другими формулами сокращенного умножения, например, разностью кубов a 3 − b 3 = ( a − b ) · ( a 2 + a · b + b 2 ) . Этой формулой удобно пользоваться, если в знаменателе исходной дроби стоят выражения с корнями третьей степени вида A 3 — B 3 , A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 . и т.д. Чтобы применить ее, нам нужно умножить знаменатель дроби на неполный квадрат суммы A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 или разность A 3 — B 3 . Точно также можно применить и формулу суммы a 3 + b 3 = ( а ) · ( a 2 − a · b + b 2 ) .

Условие: преобразуйте дроби 1 7 3 — 2 3 и 3 4 — 2 · x 3 + x 2 3 так, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.

Решение

Для первой дроби нам нужно воспользоваться методом умножения обеих частей на неполный квадрат суммы 7 3 и 2 3 , поскольку потом мы сможем выполнить преобразование с помощью формулы разности кубов:

1 7 3 — 2 3 = 1 · 7 3 2 + 7 3 · 2 3 + 2 3 2 7 3 — 2 3 · 7 3 2 + 7 3 · 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 · 2 3 + 2 3 2 7 3 3 — 2 3 3 = 7 2 3 + 7 · 2 3 + 2 2 3 7 — 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

Во второй дроби представим знаменатель как 2 2 — 2 · x 3 + x 3 2 . В этом выражении виден неполный квадрат разности 2 и x 3 , значит, мы можем умножить обе части дроби на сумму 2 + x 3 и воспользоваться формулой суммы кубов. Для этого должно быть соблюдено условие 2 + x 3 ≠ 0 , равносильное x 3 ≠ — 2 и x ≠ − 8 :

3 4 — 2 · x 3 + x 2 3 = 3 2 2 — 2 · x 3 + x 3 2 = = 3 · 2 + x 3 2 2 — 2 · x 3 + x 3 2 · 2 + x 3 = 6 + 3 · x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 · x 3 8 + x

Подставим в дробь — 8 и найдем значение:

3 4 — 2 · 8 3 + 8 2 3 = 3 4 — 2 · 2 + 4 = 3 4

Подведем итоги. При всех x , входящих в область значений исходной дроби (множество R ), за исключением — 8 , мы получим 3 4 — 2 · x 3 + x 2 3 = 6 + 3 · x 3 8 + x . Если x = 8 , то 3 4 — 2 · x 3 + x 2 3 = 3 4 .

Ответ: 3 4 — 2 · x 3 + x 2 3 = 6 + 3 · x 3 8 + x , x ≠ 8 3 4 , x = — 8 .

Последовательное применение различных способов преобразования

Часто на практике встречаются более сложные примеры, когда мы не можем освободиться от иррациональности в знаменателе с помощью всего одного метода. Для них нужно последовательно выполнять несколько преобразований или подбирать нестандартные решения. Возьмем одну такую задачу.

Условие: преобразуйте 5 7 4 — 2 4 , чтобы избавиться от знаков корней в знаменателе.

Решение

Выполним умножение обеих частей исходной дроби на сопряженное выражение 7 4 + 2 4 с ненулевым значением. Получим следующее:

5 7 4 — 2 4 = 5 · 7 4 + 2 4 7 4 — 2 4 · 7 4 + 2 4 = = 5 · 7 4 + 2 4 7 4 2 — 2 4 2 = 5 · 7 4 + 2 4 7 — 2

А теперь применим тот же способ еще раз:

5 · 7 4 + 2 4 7 — 2 = 5 · 7 4 + 2 4 · 7 + 2 7 — 2 · 7 + 2 = = 5 · 7 4 + 2 4 · 7 + 2 7 2 — 2 2 = 5 · 7 4 + 7 4 · 7 + 2 7 — 2 = = 5 · 7 4 + 2 4 · 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2

Ответ: 5 7 4 — 2 4 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2 .

Источник