- Как избавиться от иррациональности
- Что такое иррациональность в знаменателе дроби
- Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе только один корень
- № 366 (1) Колягин, Алимов 9 класс
- Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе несколько корней
- № 366 (3) Колягин, Алимов 9 класс
- Примеры освобождения от иррациональности в знаменателе
- № 366 (2; 7) Колягин, Алимов 9 класс
- № 557 (5) Мерзляк 9 класс
- Иррациональность дроби — как правильно избавиться от знака корня в знаменателе?
- Определение иррациональности
- Правила избавления от радикала
- Использование средств преобразования
- Как навсегда избавиться от корней в огороде не спиливая деревья
- Отделение грядок
- Полная изоляция корневой системы
Как избавиться от иррациональности
Иррациональностью в знаменателе (нижней части дроби) называют наличие корней в знаменателе.
Что такое иррациональность в знаменателе дроби
Рассмотрим на примерах ниже, в каких дробях в знаменателе есть иррациональность, а в каких её нет.
-
√ 6 2 в знаменателе нет корней, значит иррациональности нет ;
-
5 √ 6 в знаменателе есть
корень « √ 6 » — иррациональность в знаменателе есть . -
4 √ 7 − √ 3 в знаменателе есть корни « √ 7 » и « √ 3 » — иррациональность есть .
-
a + b √ c − 3 в знаменателе есть
корень « √ c − 3 » — иррациональность в знаменателе есть .
Избавиться от иррациональности в знаменателе означает убрать все корни из знаменателя.
Возникает логичный вопрос, как это можно сделать?
Чаще всего встречаются два вида примеров. Рассмотрим решение обоих видов.
Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе только один корень
На помощь приходит основное свойство дроби. Вспомним, что оно позволяет умножить и разделить дробь на одно и то же число, чтобы в конечном итоге дробь не изменилась.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе с одним корнем, нужно умножить и числитель, и знаменатель на корень из знаменателя.
По традиции разберемся на практике.
№ 366 (1) Колягин, Алимов 9 класс
Исключить иррациональность из знаменателя:
Зададим себе вопрос, на что нужно умножить « √ 5 » в знаменателе, чтобы избавиться от корня.
Ответ: на « √ 5 ». В самом деле, если квадратный корень умножить сам на себя получится число под корнем. Проверим.
√ 5 · √ 5 = √ 5 · 5 = √ 5 2 = 5
Используем основное свойство дроби, умножим и числитель, и знаменатель на « √ 5 », чтобы избавиться от корня в знаменателе.
| 3 |
| √ 5 |
=
| 3 · √ 5 |
| √ 5 · √ 5 |
=
| 3 · √ 5 |
| √ 5 · 5 |
=
| 3 · √ 5 |
| √ 5 2 |
=
=
| 3 · √ 5 |
| 5 |
Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе несколько корней
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе c несколькими корнями, нужно использовать формулы сокращённого умножения.
Разберемся по традиции на примере.
№ 366 (3) Колягин, Алимов 9 класс
Исключить иррациональность из знаменателя:
На что нужно умножить знаменатель « 2 − √ 3 » , чтобы убрать из него корень?
Теперь недостаточно умножить знаменатель на « √ 3 » , ведь в таком случае все равно остается квадратный корень.
(2 − √ 3 ) · √ 3 = 2 √ 3 − √ 3 · √ 3 =
Мы видим, что корень никуда не исчез. Нужно искать другие варианты решения.
Вспомним формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».
Формула разности квадратов также работает в обратную сторону.
Представим, что « 2 − √ 3 » — это часть формулы.
Логично предположить, что в формуле « a » — это « 2 », « b » — « √ 3 ». Подставим вместо знаков « ? » числа.
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2
(2 + √ 3 )(2 − √ 3 ) = 2 2 − √ 3 2 = 4 − 3 = 1
То есть, чтобы избавиться от иррациональности в дроби требуется умножить знаменатель « 2 − √ 3 »
на « 2 + √ 3 » и через формулу «Разность квадратов» убрать квадратные корни.
Не забываем, что по основному свойству дроби мы обязаны также умножить числитель на « 2 + √ 3 ».
| 1 |
| 2 − √ 3 |
=
| 1 · (2 + √ 3 ) |
| (2 − √ 3 ) · ( 2 + √ 3 ) |
=
=
| 2 + √ 3 |
| 2 2 − √ 3 2 |
=
| 2 + √ 3 |
| 4 − 3 |
=
| 2 + √ 3 |
| 1 |
= 2 + √ 3
Примеры освобождения от иррациональности в знаменателе
№ 366 (2; 7) Колягин, Алимов 9 класс
Исключить иррациональность из знаменателя:
2)
| 2 |
| √ 6 |
| 2 |
| √ 6 |
=
| 2 · √ 6 |
| √ 6 · √ 6 |
=
| 2 · √ 6 |
| √ 6 · 6 |
=
| 2· √ 6 |
| √ 6 2 |
=
=
| 2 · √ 6 |
| 6 |
Рассмотрим пример, когда в знаменателе несколько корней.
7)
| √ 5 − √ 7 |
| √ 5 + √ 7 |
=
Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».
Умножим и числитель, и знаменатель на «( √ 5 − √ 7 )», чтобы использовать формулу сокращённого умножения в знаменателе и избавиться от корней.
| √ 5 − √ 7 |
| √ 5 + √ 7 |
=
| ( √ 5 − √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 ) |
| ( √ 5 + √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 ) |
=
=
| ( √ 5 − √ 7 ) 2 |
| √ 5 2 − √ 7 2 |
= …
Используем в числителе (наверху в дроби) формулу «Квадрат разности».
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
| √ 5 − √ 7 |
| √ 5 + √ 7 |
=
| ( √ 5 − √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 ) |
| ( √ 5 + √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 ) |
=
=
| ( √ 5 − √ 7 ) 2 |
| √ 5 2 − √ 7 2 |
=
=
| ( √ 5 ) 2 − 2 · √ 5 · √ 7 + ( √ 7 ) 2 |
| √ 5 2 − √ 7 2 |
=
=
| 5 − 2 √ 5 · 7 + 7 |
| 5 − 7 |
=
| 12 − 2 √ 35 |
| − 2 |
=
= −
| 12 − 2 √ 35 |
| 2 |
= …
| √ 5 − √ 7 |
| √ 5 + √ 7 |
=
| ( √ 5 − √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 ) |
| ( √ 5 + √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 ) |
=
=
| ( √ 5 − √ 7 ) 2 |
| √ 5 2 − √ 7 2 |
=
=
| ( √ 5 ) 2 − 2 · √ 5 · √ 7 + ( √ 7 ) 2 |
| √ 5 2 − √ 7 2 |
=
=
| 5 − 2 √ 5 · 7 + 7 |
| 5 − 7 |
=
| 12 − 2 √ 35 |
| − 2 |
=
= −
| 12 − 2 √ 35 |
| 2 |
= −
| 2 · (6 − √ 35 ) |
| 2 |
=
= −
| 2 (6 − √ 35 ) |
| 2 |
=
= − (6 − √ 35 ) = −6 + √ 35
№ 557 (5) Мерзляк 9 класс
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
5)
| 1 |
| √ a − √ b |
Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».
Умножим и числитель, и знаменатель на « ( √ a + √ b ) », чтобы использовать формулу «Разность квадратов» в знаменателе и освободиться от корней.
Источник
Иррациональность дроби — как правильно избавиться от знака корня в знаменателе?
Выполняя преобразование выражений с радикалами, важно знать, как заменить дробь или как избавиться от иррациональности в знаменателе. Математическое правило, которое предполагает освобождение от радикала, основано на действиях с сопряженными выражениями. Для правильного выполнения действий с иррациональными дробями следует знать понятие рационального числа.
Определение иррациональности
Часто в задачах по математике можно встретить примеры, которые содержат иррациональность. Если условие направлено на избавление от нее, значит, нужно выполнить математические действия с рациональными числами. Иррациональны дроби, нижняя часть которых содержит подкоренное выражение.
Присутствие квадратного корня в математическом примере следует исключить, согласно правилу, требующему преобразования в рациональное число радикала. В результате действий он будет в числителе. Преобразованный пример, содержащий иррациональность, не теряет своего исходного значения.
Правила избавления от радикала
Придерживаясь общего правила замены подкоренной части тождественно равным выражением, можно освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Достаточно выполнить несложное действие умножения дроби на выражение, которое содержит знак радикала и сопряжено с нижней частью. Полученная в результате дробь не должна содержать подкоренной части.
Общее правило позволяет извлечь из знаменателя квадратный корень. Аналогично можно решать примеры, вычисляя радикал любой степени. Облегчить задачу поможет специальный онлайн-калькулятор. Рациональное число достаточно представить в виде произведения АВ, если это значение не имеет знака радикала. При этом А и В сопряжены между собой.
Например, чтобы представить корень кубический из дроби с числами 1 и 3 в верхней и нижней части, нужно выполнить следующие действия:
Для решения подобных примеров иногда нужно домножить 2 члена дробного выражения на разность между корнями, когда делитель представлен в виде суммы.
Если он выражен как разность составляющих, то следует умножить дробь на радикал из суммы аналогичных чисел. В примерах, которые содержат радикалы, имеющие различные показатели, вначале избавляются от одного корня, а затем от другого.
Использование средств преобразования
Способ приведения иррационального примера к рациональному виду зависит от нижней части с радикалом. Он может включать несколько подкоренных выражений. Если решение алгебраической задачи требует уничтожить иррациональность, тогда нужно освободить выражение от иррациональности в знаменателе. Используемый способ зависит от вида выражения, представляющего собой дробь, нижняя часть которой имеет:
- сумму или разницу квадратных корней;
- радикал 2-й степени;
- разницу либо сумму радикалов 3-й степени;
- иррациональное значение в виде корня n-й степени.
В последнем случае необходимо для избавления знаменателя дроби от иррациональности подобрать множитель, позволяющий извлечь целый корень. Подкоренное выражение, представленное как число в k-й степени, нужно привести к рациональному виду. Учитывая, что n>k, число под корнем возводят в степень n-k. При этом обе дробные части умножают на сопряженное выражение.
Пользуясь правилом преобразования выражений с радикалом, следует помнить о том, что нужно обязательно получить рациональное число. Приводить к таком виду можно разные примеры с корнями. Искомое число дают 2 корня, взятые в виде суммы и разности при умножении на сопряженное выражение с противоположным знаком.
Результат можно представить аналогичным способом, если числитель и знаменатель содержат не 2 корня, а сумму или разность числа и радикала. Зная, как избавляться от иррациональности в знаменателе дроби, на его вид нужно обратить внимание в первую очередь. Это позволит правильно упростить выражение и убрать корень.
Более сложные примеры могут потребовать возведения в степень иррационального знаменателя дроби. Замену дроби с иррациональным числителем либо знаменателем производят на тождественное ей дробное выражение. Оно содержит рациональный числитель или знаменатель, а действие является уничтожением иррациональности.
Для избавления знаменателя дроби от подкоренной части применяют формулы сокращенного умножения, или ФСУ. Умножая разность корней на их сумму, можно получить разность квадратов радикалов, которая будет рациональным числом.
Источник
Как навсегда избавиться от корней в огороде не спиливая деревья
Если на приусадебном участке высажены деревья, их корневая система в будущем доставит немало хлопот. Кроме распространения на грядках, что мешает культивированию почвы, есть риск разрушения фундамента строений и повреждения канализационной системы. Чтобы в дальнейшем не пришлось углубляться в грунт в поисках корней с последующим их уничтожением, достаточно применить простой, но надежный способ.
Удаление корней. (Фото используется по стандартной лицензии ©ogorodnye-shpargalki.ru)
Отделение грядок
Единственный вариант того, как навсегда избавиться от корней в огороде, не спиливая деревья, — соорудить преграду для их распространения в глубине почвы. Если не сделать преграду, уничтоженные ответвления корневой системы со временем начнут снова активно разрастаться, и к проблеме придется возвращаться снова и снова.
Обустройство заграждения позволит сохранить здоровье деревьев, не давая при этом их корням проникнуть на территорию грядок. По границе огорода вблизи сада выкапывается ров на глубину 0,5 м. Расстояние от канавы до ближайшего ствола должно составлять не менее 10 м. В этом случае удаление разросшихся корней не причинит вреда насаждениям и не вызовет в дальнейшем отставание в развитии или гибель.
Для удаления корней, которые оказались в канаве, используют пилу, секатор или топор. Слишком массивные экземпляры придется удалять с помощью бензопилы.
По окончании работ получится чистый ров, в котором будут отсутствовать любые корни.
Некоторые садоводы практикуют химический метод удаления корневой системы деревьев с огорода, но этот вариант не считается таким же экологически безопасным, как механический. В данном случае копать глубокий ров не придется. Для осуществления этого способа приобретают в сельскохозяйственном магазине препарат. Им обрабатываются открытые участки корней.
Чаще всего используют селитру. Она способствует полному разрушению волокон. Агрессивное средство сверху поливают водой, что способствует быстрому растворению химиката и попаданию его в структуру древесины. Сверху обработанный участок земли прикрывают тонким полиэтиленом, чтобы агрессивные пары не выходили наружу. Благодаря этому корни будут разрушатся гораздо быстрее.
Негативный момент заключается в попадании в почву вредных веществ, которые могут потом вместе с влагой проникнуть в овощные и ягодные культуры.
Удаляем корни. (Фото используется по стандартной лицензии ©ogorodnye-shpargalki.ru)
Полная изоляция корневой системы
Следующий этап работ направлен на изоляцию земляного слоя. Это позволит в дальнейшем не проникать вновь разрастающимся корням на территорию огорода. Для проведения работ лучше всего использовать тонкий оцинкованный металлический лист. Другие материалы считаются менее подходящими, среди них:
- Плотная полиэтиленовая пленка. Уже через 3-4 года в ней под воздействием перепада температур образуются трещины. Через них впоследствии начнут пробиваться корни, все больше нарушая однородность материала.
- Шифер. Полностью непригоден, т. к. относится к достаточно хрупким стройматериалам. Весной после схождения снегового покрова почва начнет немного сдвигаться. Этого будет достаточно для появления трещин. Сквозь них и сколы начнут прорастать корни уже через год.
- Рубероид. Более плотный и долговечный, но срок его службы в глубине грунта не превышает 4 года. Со временем в полотне начнут появляться прорехи и потребуется полная его замена.
Кроме металлических листов, дополнительно понадобятся колья с крючками для надежного крепления. Перед использованием острые края каждой оцинкованной пластины следует подогнуть. В противном случае при оседании верхнего слоя почвы возможно их пробивание на поверхность, а это чревато различными ранениями.
По краю рва устанавливаются листы и надежно фиксируются. Потом засыпаются грунтом и закапываются. Сверху землю утрамбовывают, чтобы нивелировать усадку почвы.
Остатки корневой системы, которые попали на огород, со временем сгниют. Новые же корни больше не будут появляться.
Если же проводилось удаление химическим способом, металлические пластины просто вкапывают в глубь грунта. В этом случае обходятся без широкой и глубокой канавы.
Источник