Оптимальное управление
министерство образования российской федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Московский физико-технический институт
Проректор по учебной работе
П Р О Г Р А М М А
по курсу: ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
по направлению 511600
кафедра математических основ управления
лекции – 50 час. Экзамен – 8 семестр
семинары – 50 час. Зачет – 7 семестр
лабораторные занятия – нет
Самостоятельная работа – 2 часа в неделю
ВСЕГО ЧАСОВ 100
Программу и задание составил: д.ф.-м.н., профессор Жадан В.Г.
Программа обсуждена на заседании кафедры математических основ управления 26 марта 2004 г.
Заведующий кафедрой С.А. Гуз
1. Основная задача оптимального управления. Принцип максимума Л.С. Понтрягина (принцип минимума). Каноническая форма записи. Принцип максимума для систем, содержащих управляющие параметры.
2. Задачи с подвижным правым концом. Условия трансверсальности. Задачи Лагранжа и Больца. Задачи Майера и Лагранжа с нефиксированным временем окончания процесса. Задача на быстродействие. Задача с подвижным левым концом.
3. Доказательство принципа максимума Л.С. Понтрягина для задачи Майера. Понятие игольчатой вариации. ЛеммаГронуолла–Беллмана. Учет оптимизации по управляющему параметру.
4. Связь принципа максимума с вариационным исчислением. Уравнение Эйлера. Первые интегралы уравнения Эйлера. Условия Веерштрасса, Лежандра и Якоби. Уравнение Якоби. Условия Веерштрасса–Эрдмана.
5. Линейные системы. Принцип максимума для линейных систем. Теорема о конечном числе точек переключений.
6. Множество достижимости для линейных систем. Экстремальное управление и экстремальный принцип.
7. Точечная управляемость для линейных систем. Критерий точечной управляемости. Теорема Калмана о точечной управляемости. Полная управляемость линейных систем. Теорема Калмана о полной управляемости автономных систем.
8. Проблема наблюдаемости. Критерий наблюдаемости для линейной системы. Наблюдение начального состояния. Связь между наблюдаемостью и управляемостью. Критерий полной наблюдаемости стационарной системы.
9. Формализм Лагранжа и его использование для решения задач оптимального управления. Проблема синтеза оптимального управления.
10. Проблема идентификации. Критерий идентифицируемости. Критерий полной идентифицируемости стационарной системы.
11. Системы с разрывными правыми частями. Условие скачка импульсов.
12. Понятие инвариантных систем. Свойства динамических систем. Опорное поле импульсов. Необходимые и достаточные условия инвариантности. Корректирующая функция.
13. Достаточные условия оптимальности. Поле экстремалей. Связь с достаточными условиями Веерштрасса для классической задачи вариационного исчисления.
14. Элементы теории динамического программирования. Необходимые условия оптимальности. Достаточные условия оптимальности. Уравнение Беллмана. Вывод принципа максимума из динамического программирования. Связь с вариационным исчислением.
15. Методы решения краевых задач. Применение метода Ньютона. Перенос граничных условий. Метод прогонки для нелинейных задач.
16. Численные методы, основанные на последовательном анализе вариантов. Метод «киевского веника», метод блуждающей трубки, метод локальных вариаций.
17. Численные методы, основанные на редукции к задачам нелинейного программирования. Вычисление производных по компонентам вектора управлений в случае дискретных процессов. Метод штрафов, метод нагруженного функционала.
18. Дискретный принцип минимума. Вариационные неравенства. Применение метода условного градиента для решения задач оптимального управления. Принцип квазиминимума.
19. Достаточные условия оптимальности В.Ф. Кротова для непрерывных и дискретных процессов. Применение формализма В.Ф. Кротова для решения линейных задач.
20. Особые управления. Определение особых управлений с помощью скобок Пуассона. Условия Келли и Коппа–Мойера.
1. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. – М.: Наука, 1971.
2. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. – М.: Наука, 1982.
3. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. – М.: Наука, 1987.
4. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе З.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. – М.: Физматгиз, 1961.
5. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. – М.: Наука, 1988.
6. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. – Минск: Наука и техника, 1974.
7. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. – М.: Мир, 1978.
8. Основы теории оптимального управления /Под редакцией В.Ф. Кротова. – М.: Высшая школа, 1990.
9. Ли Э.Б., Маркус П. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.
10. ГабасовР., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. – М.: Наука, 1973.
Источник
Ваш IP заблокирован
Убедитесь, что Вы не используете анонимайзеры/прокси/VPN или другие подобные средства (TOR, friGate, ZenMate и т.п.) для доступа к сайту.
Отправьте письмо на abuse[at]twirpx.org если Вы уверены, что эта блокировка ошибочна.
В письме укажите следующие сведения о блокировке:
Кроме того, пожалуйста, уточните:
- Каким Интернет-провайдером Вы пользуетесь?
- Какие плагины установлены в Вашем браузере?
- Проявляется ли проблема если отключить все плагины?
- Проявляется ли проблема в другим браузере?
- Какое программное обеспечение для организации VPN/прокси/анонимизации Вы обычно используете? Проявляется ли проблема если их отключить?
- Давно ли в последний раз проверяли компьютер на вирусы?
Your IP is blocked
Ensure that you do not use anonymizers/proxy/VPN or similar tools (TOR, friGate, ZenMate etc.) to access the website.
Contact abuse[at]twirpx.org if you sure this block is a mistake.
Attach following text in your email:
Please specify also:
- What Internet provider (ISP) do you use?
- What plugins and addons are installed to your browser?
- Is it still blocking if you disable all plugins installed to your browser?
- Is it still blocking if you use another browser?
- What software do you often use for VPN/proxy/anonymization? Is it still blocking if you disable it?
- How long ago have you checked your computer for viruses?
Источник
9 Теория достаточных условий оптимальности Кротова
9 ТЕОРИЯ ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ КРОТОВА
9.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Пусть требуется найти элемент минимума 
(t)=(
(t),
(t)) функционала
(9.1)
на множестве X пар вектор-функций (y(t), u(t)), удовлетворяющих связям
( 9.2)
, (9.3)
. (9.4)
— 
, где 
— фазовые координаты, непрерывные и кусочно-дифференцируемые на 
функции,
— 
— управления, кусочно-непрерывные на функции,
— (9.2) есть система К обыкновенных дифференциальных уравнений, записанная в нормальной форме Коши, где 
— 
-мерная вектор-функции, непрерывная и дифференцируема относительно своих аргументов,
— ограничения (9.3) есть символическая запись условий, накладываемых на управления,
— ограничения (9.4) есть символическая запись условий, накладываемых на граничные значения фазовых координат. В частном случае задачи с закрепленными концами 
и 
— точки -мерного пространства, и (9.4) являются граничными условиями к системе дифференциальных уравнений (9.2):
где 
и 
некоторые векторы.
К указанной постановке должна быть сведена любая задача, которую предлагается решать методами, изложенными в настоящем разделе.
Здесь подынтегральное выражение содержит производную функции, что не допускается функционалом вида (9.1). Для записи задачи в стандартной форме необходимо исключить эту производную, используя первое из дифференциальных уравнений. Тогда функционал примет стандартный вид
Чтобы записать дифференциальные связи в стандартной форме (9.2), вводим новые переменные:
Тогда связи запишутся в нормальной форме Коши:
В полученной задаче оптимального управления имеются три фазовые координаты (функции 
которые входят в постановку задачи со своими производными) и одно управление (функция 
, производная которой не фигурирует в постановке задачи).
9.2 ТЕОРЕМА КРОТОВА
Теорема (достаточные условия минимума). Для того, чтобы 
,
) была элементом минимума функционала в задаче оптимального управления, достаточно существования такой непрерывной и дифференцируемой функции 
что значения вектор-функций 
(t),(t) при каждом 
являются точками максимума функции
(9.5)
при условии (9.3), т. е.
,) 
(9.6)
Граничные значения (
, 
вектор-функции являются точками минимума функции
(9.7)
при условии (9.4), т. е.
. (9.8)
В задаче с закрепленными концами 
однозначно заданы, поэтому второе условие теоремы не используется.
Доказательство. Используем лемму о достаточном условии оптимальности. Рассмотрим множество N пар вектор-функций (
, где 
— k-мерная, а 
-мерная вектор-функции, компоненты которых кусочно-непрерывны на 
, значения 
удовлетворяют (9.3), а значения в точках 
и 
— соотношениям (9.4). Очевидно, что 
, так как непрерывные и кусочно-дифференцируемые функции входят в класс кусочно-непрерывных, а пары, удовлетворяющие (9.2), заведомо входят в класс любых функций.
Определим на N функционал
. (9.9)
Для этого предполагается, что теорема выполнена, т. е. существует 
=(t, y), позволяющая составить выражения (9.5) и (9.6).
Для (y (t), u (t) Î X имеет место равенство
.
На X выполнено (9.2) и y(t) — непрерывна, тогда, подставляя (9.2) в последнее выражение, получаем:
.
Рассмотрим задачу о минимуме L на N. Ввиду того, что на N функция допускает разрывы 1-го рода, оба слагаемых в (9.9) между собой не связаны и их можно оптимизировать отдельно.
Минимизация 
при u Î Q есть минимизация вырожденного функционала (см. п.9.3) и, по соответствующей теореме, достаточным условием минимума является
или, меняя знаки,
Минимизация же второго слагаемого в (9.9) дает условие (9.8). Итак, если пара 
удовлетворяет (9.6), (9.8), она дает минимум L на N. Но XÌN, L=I на X, поэтому, если пара принадлежит X, то, по лемме о достаточном условии оптимальности, она является элементом минимума и в исходной задаче оптимального уравнения.
Ценность теоремы в том, что она сводит исходную задачу оптимизации функционала к значительно более простой задаче оптимизации функции R(t, y, u) k + r переменных при различных значениях tÎ(t0, t1) и ограничениях (9.3) и функции Ф(y(t0), y(t1) переменных при условиях (9.4).
Схема ее применения следующая.
1. Задаться некоторой функцией j=j(t, y).
2. Из условий оптимизации (9.6), (9.8) найти пару 
.
3. Проверить, удовлетворяет ли эта пара условиям (9.2). Если удовлетворяет, то она есть искомый элемент минимума, если же нет — то весь затраченный труд напрасен, так как условие достаточное и его выполнение ничего не говорит об элементе минимума.
 |
Примем j(t, y) в виде
. (9.10)
 |
Поскольку рассматривается задача с закрепленными концами, Ф(y(t0), y(t1) нас не интересует.
Выражение (9.11) есть функция переменных y и u, зависящая от них квадратичным образом (рис. 9.1, 9.2).
Поэтому из условия максимизации 
,
,
; 
. (9.12)
Проверим принадлежность пары (9.12) множеству X. Непосредственное дифференцирование 
показывает, что исходное дифференциальное уравнение выполняется. Из (9.12) 
; 
, что совпадает заданными граничными условиями, следовательно, непрерывна на [t0, t1] и дифференцируема. Таким образом, по теореме Кротова, выражение (9.12) есть элемент минимума исходной задачи.
Решение найдено довольно легко из-за того, что выражение (9.10) было удачно выбрано. Если же выбрать, например,
,
R = — y2 — u2 + 2tu +2y.
Тогда из условий максимизации R
и оптимальная пара
.
Но для этой пары исходное дифференциальное уравнение не выполнено, и потому она не может быть признана элементом минимума в исходной задаче.
Поэтому к подобному методу непосредственного задания функции j(t, y) прибегают очень редко. Чаще всего при задании j(t, y) сохраняют возможность дополнить ее в процессе решения исходной задачи так, чтобы пара , полученная из условий (9.6), (9.8), принадлежала X. Отчетливо это видно на примере принципа максимума, излагаемого в следующей главе.
9.3 ПРИМЕР. ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ
С ВОЗОБНОВЛЯЕМЫМ РЕСУРСОМ
Рассмотрим класс динамических, т. е. развивающихся во времени систем, описываемых вектором параметров 
, изменение которого происходит за счет использования некоторого ресурса M. Этот ресурс затрачивается на изменение каждого параметра, которое зависит от него линейно; кроме того, при этом тратится или воспроизводится некоторое количество ресурса M. Требуется так распорядиться ресурсом системы, чтобы, затратив его наименьшее количество, перевести систему за заданное время из заданного начального состояния в заданное конечное.
В достаточно общем виде подобные системы описываются моделью
(9.13)
Введем новые переменные
.
Тогда (9.13) примет вид
(9.14)
,
то функция R имеет вид
.
Выберем функцию Кротова из условия
,
.
,
откуда с точностью до n постоянных можно интегрированием определить вид функции Кротова. При этой функции, очевидно, что
т. е. не функция зависит ни от управлений, ни от фазовых координат. Таким образом, любые управления оказываются абсолютно оптимальными, если они переводят систему за заданное время из заданного начального состояния в заданное конечное.
Источник