Методичка начертательная геометрия миит муравьев

Методичка начертательная геометрия миит муравьев

Методичка Горного института (в документах под названием «Начертательная геометрия_Методичка_Горный. «) http://vk.com/docs?oid=-70013340

Подробно разобраны большинство задач по курсу «Начертательная геометрия». Каждый тип задач представлен в нескольких вариантах — с разными начальными данными. К КАЖДОМУ ЭТАПУ построения есть ЧЕРТЕЖИ!

ТОЧКА И ПРЯМАЯ
ЗАДАЧА 1
По двум заданным проекциям трех точек А, В и С построить их третьи проекции. Построить три проекции точки K, симметричной точке А относительно элемента симметрии, указанного в задании. Построить аксонометрические проекции точек А, В, С и K и определить их положение в пространстве.
ЗАДАЧА 2
По двум заданным проекциям отрезка прямой АВ построить его третью проекцию. Построить следы прямой. Определить истинную величину отрезка АВ и угол наклона прямой к плоскости проекций, указанной в задании. Определить октанты, через которые проходит заданная прямая.

ПЛОСКОСТЬ
ЗАДАЧА 3
Построить три следа заданной плоскости. Показать видимость следов.
ЗАДАЧА 4
По заданной проекции фигуры, принадлежащей плоскости, построить две другие проекции этой фигуры. Построить третий след плоскости.

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ, ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ
ЗАДАЧА 5
Построить следы плоскости, проходящей через данную точку K и параллельной заданной плоскости.
ЗАДАЧА 6
Построить линию пересечения плоскостей. Показать видимость линии пересечения.
ЗАДАЧА 7
Построить точку пересечения прямой LT с заданной плоскостью. Показать видимость прямой относительно заданной плоскости.
ЗАДАЧА 8
Построить линию пересечения двух заданных плоскостей. Показать взаимную видимость плоскостей.
ЗАДАЧА 9
Определить истинную величину расстояния от точки K до заданной плоскости.
ЗАДАЧА 10
Из точки, принадлежащей заданной плоскости и отстоящей от плоскости «пи»1 на расстоянии m, а от плоскости «пи»2 на расстоянии n, восстановить к заданной плоскости перпендикуляр, равный длине отрезка L.
ЗАДАЧА 11
Построить следы плоскости, проходящей через прямую KL и перпендикулярной заданной плоскости.

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ
ЗАДАЧА 12
Способом вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций, совместить прямую АВ с заданной плоскостью.
ЗАДАЧА 13
Методом вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекций, определить истинную величину плоской фигуры.
ЗАДАЧА 14
По истинной величине плоской фигуры, принадлежащей плоскости и вписанной в окружность радиуса R с заданным центром О, построить ее проекции. Задачу решить способом совмещения.
ЗАДАЧА 15
Методом перемены плоскостей проекций определить истинную величину расстояния между двумя заданными параллельными плоскостями.
ЗАДАЧА 16
Методом перемены плоскостей проекций определить истинную величину расстояния между двумя заданными прямыми. Построить проекции перпендикуляра, общего к заданным прямым.
ЗАДАЧА 17
Определить истинную величину угла между прямой LT и заданной плоскостью.
ЗАДАЧА 18
Определить истинную величину угла между двумя заданными плоскостями.

МНОГОГРАННИКИ И КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЗАДАЧА 19
Построить сечение заданного геометрического тела плоскостью. Показать видимость сечения. Определить истинную величину сечения.
ЗАДАЧА 20
Построить точки пересечения прямой LT с поверхностью заданного геометрического тела. Показать видимость прямой относительно поверхности геометрического тела. Построить развертку полной поверхности геометрического тела и нанести на нее точки пересечения.

Источник

Кафедра «Машиноведение, проектирование, стандартизация и сертификация» С.Н. МУРАВЬЕВ, Н.А. ЧВАНОВА ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ

1 Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» Кафедра «Машиноведение, проектирование, стандартизация и сертификация» С.Н. МУРАВЬЕВ, Н.А. ЧВАНОВА ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ Учебно-методическое пособие для выполнения домашней работы по дисциплине «Начертательная геометрия и инженерная графика» МОСКВА 2017

2 Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» Кафедра «Машиноведение, проектирование, стандартизация и сертификация» ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ Учебно-методическое пособие для студентов ИТТСУ, ИУИТ и Вечернего факультета МОСКВА

3 УДК 514 М 91 Муравьев С.Н., Чванова Н.А. Точка, прямая, плоскость: Учебнометодическое пособие для выполнения домашней работы по дисциплине «Начертательная геометрия и инженерная графика». М.: РУТ (МИИТ), с.: ил. Предлагаемое учебно-методическое пособие содержит сжатое изложение основных понятий и определений, которые необходимо знать обучающимся при выполнении раздела «Точка, прямая, плоскость» домашнего задания по дисциплине «Начертательная геометрия и инженерная графика». Объём собранного материала поможет самостоятельно выполнить один из 70 вариантов домашнего задания. Причём, варианты с 1 по 32 разработаны для обучающихся, имеющих большее количество часов аудиторных занятий, а варианты с 33 по 70 для обучающихся с меньшим объёмом академических часов по сетке расписания. Издание предназначено для студентов ИТТСУ, ИУИТ и Вечернего факультета. Ил. 19, табл. 1, библиогр. 2 назв. Рецензент: заведующий кафедрой «Электропоезда и локомотивы» РУТ (МИИТ), д.т.н. Пудовиков О.Е. РУТ (МИИТ),

4 СОДЕРЖАНИЕ Стр. ВВЕДЕНИЕ ОФОРМЛЕНИЕ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ ПО ЗАДАННЫМ УСЛОВИЯМ (ЗАДАЧА 1) ПОСТРОЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИХ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВИДИМОСТИ (ЗАДАЧА 2) ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ (ЗАДАЧА 3) ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ И ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

5 ВВЕДЕНИЕ Настоящее учебно-методическое пособие предназначено в помощь для выполнения домашнего задания по разделу «Точка, прямая, плоскость». Работа выполняется на основе теоретических положений, рассмотренных в курсе начертательной геометрии и инженерной графики, и по своему характеру требует чёткого оформления и соблюдения требований, предъявляемых Единой системой конструкторской документации (далее ЕСКД) в части расположения проекций, структуры линий и формы надписей. Заданием на указанную работу служит один из 70 вариантов предлагаемых указаний. Каждый вариант содержит три задачи по разделу курса «Точка, прямая, плоскость». 1. ОФОРМЛЕНИЕ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Работа выполняется обучающимися самостоятельно в порядке внеакадемических часов. Вопросы, возникающие в процессе выполнения работы, следует выяснять у преподавателей в часы групповых занятий или в часы консультаций. Домашняя работа должна быть выполнена на листе формата А3 ( мм) с применением как простых, так и цветных карандашей (см. образец выполнения работы). Цветными карандашами выполняются вспомогательные элементы чертежа. Результат решения задачи рекомендуется выделить сплошной толстой основной линией красного цвета. Линии проекционной связи простым карандашом, толщина такой линии 1/3 от толщины сплошной основной линии. Работу рекомендуется выполнять в следующей последовательности: а) лист формата А3 расположить горизонтально и тонкой вертикальной линией разделить приблизительно пополам. В правом нижнем углу листа расположить над рамкой основную надпись (заполнить её стандартным шрифтом 5 или 7 см. рисунок 6.2, б), а рядом с ней 4

6 поместить таблицу координат по номеру индивидуального задания (см. таблицу 6.1; рисунок 6.2, а); б) в левой части листа по заданным координатам построить проекции точек A и прямой KL (эпюр строить в системе двух плоскостей проекций). Проекции точек отметить кружками ( 1 1,5 мм), а буквенные обозначения писать заглавными (прописными) буквами чертёжным шрифтом 3,5 или 5, так чтобы линии проекционной связи их не пересекали; в) в правой половине листа над штампом построить в системе двух плоскостей проекции точек (QEF и MNR), задающих плоскости и β. В данном курсе используется так называемая левая система координат, при которой положительное значение оси X направлено влево от начала координат. 2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Работа включает в себя метрические, позиционные и некоторые конструктивные задачи, связанные с построением проекций геометрических фигур, отвечающих заданным условиям. Каждому студенту предлагается выполнить следующие три задачи: Задача 1. Построить проекции плоской фигуры по заданным условиям. Задача 2. Построить проекции линии пересечения двух плоскостей и определить их относительную видимость. Задача 3. Определить расстояние от точки P до плоскости, заданной точкой A и прямой KL (до плоскости фигуры, построенной в задаче 1). Следует обратить особое внимание на то, что вид плоской фигуры, которую необходимо построить при решении задачи 1, зависит от номера варианта. Так для вариантов с 1 по 8 следует строить параллелограмм; в вариантах с 9 по 16 квадрат; с 17 по 24 вариант равнобочную трапецию; с 25 варианта по 32 ромб (см. условия с I по IV задачи 1, приведённые ниже), а для обучающихся немеханических специальностей и направлений следует строить треугольник (см. условие V задачи 1). 5

7 Обучающимся рекомендуется решение первой задачи по одному из пяти приведённых ниже условий : I. Построить проекции параллелограмма ABCD, если диагональ AC перпендикулярна прямой KL, а сторона DC принадлежит прямой KL и равна AC (варианты заданий 1 8). II. Построить проекции квадрата ABCD, если его диагональ BD принадлежит прямой KL (варианты заданий 9 16). III. Построить проекции равнобочной трапеции ABCD, высота которой равна меньшему основанию, а большее основание DC принадлежит прямой KL и равно 3 AB (варианты заданий 17 24). IV. Построить проекции ромба ABCD, диагональ BD которого принадлежит прямой KL, а отношение диагоналей AC : BD = 1 : 2 (варианты заданий 25 32). V. Построить проекции равнобедренного прямоугольного треугольника ABC, катет BC которого принадлежит прямой KL (варианты заданий 33 70). Для всех условий задачи исходными данными являются точка A и прямая KL. 3. ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ ПО ЗАДАННЫМ УСЛОВИЯМ (ЗАДАЧА 1) При решении первой задачи студентам необходимо уметь: а) строить проекции точки по её координатам. На оси абсцисс (рисунок 3.1) от начала координат точки О откладывают отрезок, равный x A. Затем, через полученную точку A x проводят перпендикулярно к оси Оx линию связи, на которой откладывают отрезки, равные y A и z A. Построение проекций прямой KL выполняют по двум её точкам K и L. Проекции точек A2 x12 ya za Ax xa A1 Рисунок 3.1 z23 O y13 Условия с I по IV предназначены для студентов механических специальностей; условие V для студентов немеханических специальностей. 6

8 K и L строят аналогично построению точки А (см. рисунок 3.1); б) анализировать положение прямой KL относительно плоскостей проекций. Сравнивая на эпюре одноимённые проекции точек K и L, заметим, что прямая KL прямая частного положения. В случае, если z K = z L, прямая KL горизонтальная, то есть прямая, параллельная плоскости П 1, а если y K = y L, то прямая KL фронтальная, то есть прямая, параллельная плоскости П 2. Для всех условий первой задачи через точку А проходит диагональ, высота или сторона плоской фигуры то есть линия, перпендикулярная прямой KL. Следовательно, расстояние от точки А до прямой KL является исходной величиной для построения проекций плоской фигуры; Примеры определения расстояния от точки A до прямой KL показаны на рисунках 3.2 и 3.3. Эпюрное решение таких задач требует выполнения следующих действий: — строят проекции перпендикуляра t к прямой KL. На основании теоремы о проецировании прямого угла, в случае, если прямая KL параллельна плоскости П 1, решение задачи начинают с построения горизонтальной проекции перпендикуляра t 1 K 1L 1 (см. рисунок 3.2) и t 2 K 2L 2 в случае, если прямая KL параллельна плоскости П 2 (см. рисунок 3.3). K2 t2 A2 L2 K2 t2 A2 x12 T2 x12 T2 L2 T1 L1 K1 T1 L1 K1 t1 A1 t1 A1 Рисунок 3.2 Рисунок 3.3 7

9 — в месте, где пересекаются построенная проекция перпендикуляра с одноимённой проекцией прямой KL, отмечают точку T, а далее по линии проекционной связи определяют её недостающие (на рисунке 3.2 фронтальную, а на рисунке 3.3 горизонтальную) проекции. — соединяя одноимённые проекции точек A и T, получают проекции искомого перпендикуляра AT. Анализируя положение прямой AT в пространстве (см. рисунки 3.2 и 3.3), приходим к выводу, что прямая AT занимает в пространстве общее положение, так как ни одна из построенных проекций перпендикуляра t не занимает частного положения по отношению к оси OX. Это означает, что следующим этапом решения задачи по определению расстояния от точки А до прямой KL должно быть «определение длины отрезка AT, перпендикулярного прямой KL». Определим длину отрезка прямой AT способом прямоугольного треугольника AA T (рисунок 3.4), в котором катет TA = A 1T 1, так как A TA П 1, а катет AA равен AT z разности расстояний точек A и T от плоскости П 1. Если вместо плоскости П 1 взять плоскость П 2, то длину отрезка A’ AT на фронтальной плоскости проекций можно определить, построив прямоугольный T треугольник, одним из катетов которого будет фронтальная A1 проекция A 2T 2 отрезка AT, а другим катетом разность удалений концов отрезка AT от T1 фронтальной плоскости проекций. Эта разность представлена AT A0 П1 величиной y = y A y T (рисунок 3.5, б). Рисунок 3.4 z z 8

10 Примеры определения длины отрезка AT показаны на фронтальной (см. рисунок 3.5, б) и горизонтальной (рисунок 3.5, а) плоскостях проекций. z23 A2 z23 a) б) A2 y A0 K2 K2 z L2 T2 AT T2 x12 O x12 L2 O T1 L1 K1 T1 L1 y K1 AT A0 z A1 A1 y13 y13 Рисунок 3.5 В условиях к задаче 1 длина перпендикуляра AT принимается равной какой-нибудь стороне плоской фигуры или равной половине длины диагонали. Следовательно, длину отрезка AT можно откладывать только на той проекции прямой KL, на которой прямая KL отображается в натуральную величину. Это построение позволит на проекции прямой KL найти проекцию одной из вершин плоской фигуры. z23 B2 Пример построения проекций L2 прямоугольника ABCD, с соотношением сторон AD/AB = 1/2, при усло- A2 C2 вии, что сторона DC принадлежит D2 прямой KL, показан на рисунке 3.6. K2 x12 Вершина А и прямая KL заданы. Для O K1 D1 C1 решения задачи из точки А проводят AD L1 перпендикуляр к прямой KL (см. рисунок 3.2). Так как заданная прямая A0 A1 B1 y13 KL параллельна фронтальной плоскости проекций, то решение задачи Рисунок 3.6 z z 2 AD 9

11 начинают с построения фронтальной проекции A 2D 2 перпендикуляра AD. По линии проекционной связи находят горизонтальную проекцию D 1 основания перпендикуляра AD. Соединяя одноимённые проекции точек A и D, строят фронтальную A 2D 2 и горизонтальную A 1D 1 проекции перпендикуляра AD. Так как прямая AD прямая общего положения, то длину отрезка AD определяют способом прямоугольного треугольника (см. рисунки 3.4 и 3.5). Так как большая сторона DC принадлежит фронтальной прямой KL и вдвое больше стороны AD, то дважды откладывая длину отрезка AD так, чтобы точка C была внутри отрезка KL, получают фронтальную проекцию C 2 точки C. По линии проекционной связи и с учётом того, что точка C принадлежит прямой KL, определяют горизонтальную проекцию C 1 точки C (С 1 K 1L 1). Далее, исходя из свойств параллельного проецирования и свойств прямоугольника, строят фронтальную B 2, а затем горизонтальную B 1 проекции точки B. Напомним, что если в заданной плоской фигуре AD и BC параллельны, то A 1D 1 B 1C 1, A 2D 2 B 2C 2; AB и DC параллельны, если A 1B 1 D 1C 1, A 2B 2 D 2C 2. z23 Последовательно соединив одноимённые про- D2 A2 A0 екции точек A, B, C и D, получим проекции искомой AB K2 C2 L2 плоской фигуры, а именно B2 x12 прямоугольника по заданным условиям. Построение O L1 B1 проекций квадрата, при условии, что сторона BC C1 квадрата принадлежит прямой KL, которая расположе- A1 K1 на параллельно плоскости D1 П 1, y13 показано на рисунке 3.7. AB Рисунок 3.7 y y 10

12 4. ПОСТРОЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИХ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВИДИМОСТИ (ЗАДАЧА 2) Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо определить либо две точки, общие для этих плоскостей, либо одну точку и направление линии пересечения. Рассмотрим частные случаи пересечения плоскостей. Пример 4.1. Построить линию пересечения TR плоскостей α (a b) и γ (γ П 1); α γ = TR (рисунок 4.1). Так как плоскость γ плоскость проецирующая, то горизонтальная проекция линии пересечения T 1R 1 совпадает с вырожденной горизонтальной проекцией плоскости γ, то есть T 1R 1 совпадает со следом γ 1 (γ 1 T 1R 1). Следовательно, чтобы определить точки, общие для двух плоскостей, необходимо найти точки пересечения следа γ 1 с горизонтальными проекциями a 1 и b 1 прямых a и b, задающих плоскость α; γ 1 a 1 = ( ) T 1, γ 1 b 1 = ( ) R 1. Далее, по линиям проекционной связи строят фронтальные проекции T 2 и R 2 точек T и R, принадлежащих, соответственно, прямым a 2 и b 2. Соединив одноимённые проекции точек T 2 и R 2, получают фронтальную проекцию T 2R 2 линии пересечения TR двух заданных плоскостей, α γ = TR. Пример 4.2. Построить линию пересечения t плоскости α (AC AB) и плоскости γ (γ П 1); α γ = t (рисунок 4.2). Анализ чертежа показывает, что прямая AB занимает частное положение, то есть является горизонталью плоскости α, (AB П 1). Так как заданная плоскость γ также занимает положение, параллельное плоскости П 1, то линия t линия пересечения заданных плоскостей должна быть параллельна горизонтали AB заданной плоскости α и бу- x12 x12 A2 A1 a2 a1 T T1 b1 R1 R2 b2 Рисунок 4.1 C2 C1 Рисунок t2 B2 B1 1 t1 11

13 дет проходить через общую точку 1. Плоскость γ, являясь плоскостью частного положения, задана вырожденной фронтальной проекцией, то есть следом γ 2. Следовательно, фронтальную проекцию 1 2 общей точки 1, принадлежащей заданной плоскости α и плоскости γ, определяют как точку пересечения следа γ 2 с фронтальной проекцией A 2C 2 прямой AC, γ 2 A 2С 2 = ( ) 1 2. Горизонтальная проекция 1 1 точки 1 принадлежит горизонтальной проекции A 1С 1 прямой AC. Горизонтальная проекция t 1 линии пересечения пройдёт через горизонтальную проекцию 1 1 точки 1 и должна быть параллельна горизонтальной проекции A 1B 1 прямой AB, (t 1 A 1B 1). Пример 4.3. Построить линию пересечения двух плоскостей общего положения. Пусть в пространстве заданы две плоскости общего положения α и β (рисунок 4.3). Для определения общих точек, принадлежащих линии пересечения, необходимо заданные плоскости пересечь двумя вспомогательными плоскостями-посредниками частного положения. В качестве таких плоскостей целесообразно взять плоскости проецирующие, или плоскости уровня. Первая вспомогательная плоскость уровня γ пересекает каждую из данных плоскостей по горизонталям 1-2 и 3-4, ко- Рисунок 4.3 торые, взаимно пересекаясь, определяют точку T, общую для плоскостей α и β, а значит принадлежащую линии их пересечения (см. рисунок 4.3). Пересекая заданные плоскости α и β второй вспомогательной плоскостью δ, расположенной так же параллельно плоскости П 1, получают ещё одну точку R, общую для плоскостей α и β. Эту точку определяют пересечением горизонталей 5-6 и 7-8, по которым вспомогательная плоскость δ пересекает каждую из данных плоскостей. Соединив точки T и R, получают искомую линию пересечения TR = α β T R

14 Описанный метод использован для эпюрного построения проекций линии пересечения двух плоскостей общего положения, первая из которых α задана двумя пересекающимися прямыми a и b, а вторая β треугольником ABC; α (a b) β (ABC) = TR (рисунок 4.4). При решении задачи используют в качестве вспомогательных секущих плоскостей плоскости, занимающие частное положение в пространстве, а именно горизонтальные плоскости уровня. Так, с помощью вспомогательной плоскости γ найдена точка T, в которой пересекаются горизонтали 1-2 и 3-4. Некоторых упрощений на эпюре можно достичь, если вспомогательные проецирующие плоскости проводить через прямые, задающие плоскость. В рассматриваемом примере целесообразно провести вторую секущую плоскость δ (δ П 1) через сторону AB, которая является горизонталью плоскости β. С помощью плоскости δ определяют вторую точку R линии пересечения. Eё горизонтальную проекцию R 1 находят на пересечении горизонтальной проекции линии 5-6 и горизонтальной проекции A 1B 1 линии AB. Соединяя одноимённые проекции найденных точек T и R, получают проекции искомой линии пересечения заданных плоскостей α β = TR. Если вспомогательные плоскости параллельны между собой, то есть γ δ, то одноимённые проекции линий пересечения заданных плоскостей и вспомогательных должны быть, соответственно, параллельны, то есть , а A 1B 1. Пример 4.4. Построить линию пересечения двух треугольников и указать их относительную видимость. На эпюре (рисунок 4.5) заданы две плоскости общего положения α (QEF) и β (MNR). Линию пересечения плоскостей можно построить, применяя к решению задачи проецирующие плоскости-посредники. a2 a b2 R2 R1 T1 b1 T2 A2 A1 31 Рисунок 4.4 C1 C B2 B

15 Проецирующие плоскости целесообразно проводить через стороны любого из треугольников. Этот приём ведёт к упрощению графического решения задачи на эпюре. Чтобы выявить через Q2 какую из сторон рациональнее проводить эти N плоскости, необходимо по эпюру определить, какие стороны одного треугольника пересекают E2 M плоскость другого треугольника, а точки пере- R2 x12 F1 F 51 M1 71 сечения не выходят за контуры ни одного из тре- N1 угольников. Эпюрным признаком существования такой точки, например, для стороны QF и плоскости треугольника MNR, является изменение её видимости в окрестностях y8 y7 Q1 Рисунок 4.5 двух пар конкурирующих точек 7-8 и 5-6 (см. рисунок 4.5). Перечислив стороны двух треугольников (QE, QF, EF и MR, MN, NR), следует исключить из этого списка стороны, которые имеют хотя бы одну свою проекцию, лежащую в стороне от контуров другого треугольника, поскольку эти стороны не меняют своей видимости. Проекции сторон E 2F 2 и M 2R 2 лежат вне контуров треугольников, поэтому их точки пересечения находятся вне заданных треугольников, а сами стороны (EF и MR) необходимо исключить из списка сторон, через которые целесообразно проводить плоскости-посредники. Далее, из четырёх оставшихся (MN, NR, QE, QF) сторон выбирают две, через которые целесообразно проводить плоскости-посредники. Для этого выполняют анализ видимости сторон одного треугольника относительно плоскости другого. Для определения видимости стороны QF относительно плоскости треугольника MNR, выделяют на QF и MN конкурирующие точки 7 и 8. Если смотреть на QF s1 R s1′ E1 14

16 и MN спереди (по направлению стрелки s, то из двух точек 7 и 8, видна будет ( ) 8, удаление которой от плоскости П 2 больше, так как y 8 > y 7. Точка 8 принадлежит стороне QF, следовательно, на плоскости П 2 сторона QF окажется видимой в окрестности этой пары точек, а MN невидимой. Эта сторона обозначена на П 2 видимым штрихом. Аналогично определяется видимость сторон QF и NR в окрестности второй пары конкурирующих точек 5 и 6. Точка 6 на плоскости П 2 видимая (y 6 > y 5), следовательно, сторона QF, которой принадлежит точка 5, будет невидимой. Выполненный анализ показывает, что в окрестности точек 6 и 5 сторона QF поменяла свою видимость (на рисунке 4.5 этот факт зафиксирован невидимым штрихом). Это значит, что сторона QF пересекает плоскость треугольника MNR в пределах его контура, поэтому первую плоскость-посредник δ следует проводить через сторону QF. Сторона QE между парами точек 3, 4 и 1, 2 не меняет своей видимости, поэтому QE можно исключить из списка сторон, через которые целесообразно проводить плоскость-посредник. Сторона NR между парами точек 5, 6 и 1, 2 меняет свою видимость и это позволяет провести через сторону NR вторую вспомогательную плоскостьпосредник τ. Плоскости-посредники можно задавать как через стороны одного треугольника, так и через стороны другого. Возможно использование двух горизонтально-проецирующих или двух фронтальнопроецирующих плоскостей, либо одну плоскость-посредник брать перпендикулярно плоскости П 1, а вторую перпендикулярно плоскости П 2. При решении данного примера (рисунок 4.6) точка L линии пересечения определена с помощью посредника фронтальнопроецирующей плоскости τ, проведённой через сторону NR треугольника MNR. Плоскость τ пересекает плоскость треугольника QEF по прямой 1-5, а плоскость треугольника MNR по стороне NR, через которую проходит плоскость τ и, следовательно, NR строить не надо. Покажем построение прямой (1-5). Точки 1 и 5 определяют как точки пересечения сторон QE и QF треугольника QEF с проецирующей плоскостью τ. Точки 1 и 5 определяют как точки пересечения сторон QE и QF треугольника QEF с проецирующей плоскостью τ. Их 15

17 фронтальные проекции 1 2 и 5 2 строят как точки пересечения τ 2 с Q 2E 2 и Q 2F 2, то есть ( ) 1 2 = τ 2 Q 2E 2, а ( ) 5 2 = τ 2 Q 2F 2. Горизонтальные проекции 1 1 и 5 1 находят по линиям проекционной связи на горизонтальных проекциях Q 1E 1 и Q 1F 1. Построенная прямая (1-5) и сторона NR Q2 s2» треугольника MNR, как 2 прямые, лежащие в плоскости посредника τ, пересекаются 32 4 N2 между собой в точке L, принадлежащей L линии пересечения. M2 L2 E2 L 1 = ( ) N 1R 1, а L 2 52 находят по линии связи 102 F1 F x12 R2 на прямой N 2R 2. Аналогично, заключая сторону M1 32 QF в горизонтально- N1 проецирующую плоскость δ (δ 1 Q 1F 1), определяют точку L. Точки L и L являются точками пересечения сторон одного треугольника с плоскостью 1 Q Ðèñóí î ê 4.6 другого, то есть линия LL есть линия пересечения заданных плоскостей α β = LL. Заметим, что точки L и L могут быть определены как точки пересечения прямых NR и QF, соответственно, с плоскостями треугольников QEF и MNR, для чего необходимо реализовать следующий алгоритм. Например, для определения точки L = NR QEF: 1) NR τ (τ П 2, τ 2 N 2R 2); 2) τ α = (1-5); 3) NR (1-5) = ( ) L. Для определения относительной видимости заданных треугольников после построения линии их пересечения, достаточно установить расположение одной из сторон треугольника относительно скрещивающейся с ней стороной другого треугольника, другими словами, вопрос об относительной видимости плоскостей сводится к установле- L1 R1 41 L s1′ E1 16

18 нию видимости двух скрещивающихся прямых. Видимость на каждой проекции определяют отдельно путём сопоставления положения конкурирующих точек, в которых проецирующий луч пересекает каждую из рассматриваемых скрещивающихся прямых, относительно плоскостей проекций. Для определения видимости на фронтальной проекции, луч зрения s (см. рисунки 4.6 и 4.7) проводят перпендикулярно к плоскости П 2 через две конкурирующие относительно П 2 точки скрещивающихся прямых QE и NR, то есть, соответственно, через точки 1 и 2. Так как по направлению луча s сначала встретим точку 1, принадлежащую прямой QE (y 1 > y 2), то на фронтальной плоскости проекций прямая QE будет видима, а прямая NR на участке от точки 2 2 до точки L 2 невидима. П2 Q s2 N2 N R2 2 E2 R Q 1 E y2 N1 y1 21 E1 R1 11 s П2 Q1 s1 П1 Рисунок 4.7 Для определения видимости на горизонтальной проекции, луч зрения s » проводят перпендикулярно к плоскости П 1 через две конкурирующие относительно П 1 точки скрещивающихся прямых (например, луч s », проходящий через точки 10 и 11, принадлежащие, соответственно, прямым MR и QF, см. рисунок 4.6). Анализ показывает, что горизонтальная проекция Q 1F 1 видима до точки L 1, так как луч s » на фронтальной проекции сначала встретит фронтальную проекцию 17

19 11 2 точки 11 (z 11 > z 10), принадлежащей прямой QF, а затем фронтальную проекцию 10 2 точки 10, принадлежащей прямой MR. Для большей наглядности одну из заданных плоскостей рекомендуется заштриховать. 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ (ЗАДАЧА 3) Рассмотрим алгоритм решения задачи 3. — из заданной точки P проводят перпендикуляр t к плоскости α (плоскость α плоскость фигуры, построенной в задаче 1); ( ) P t; t α (см. пример 5.1); — определяют точку пересечения (точку T) перпендикуляра с плоскостью α; t α = ( ) T (см. пример 5.2); — определяют натуральную величину PT расстояния от точки P до плоскости (см. пример 5.3). Рассмотрим более подробно каждый пункт приведённого выше алгоритма на следующих примерах. Пример 5.1. Из точки P провести перпендикуляр t к плоскости α, заданной тремя точками α (ABC), (рисунок 5.1). Из теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости известно, P2 B2 что если прямая t α, то на эпюре 22 f 2 её горизонтальная проекция t 1 перпендикулярна одноимённой проек- h2 12 C2 ции горизонтали плоскости, то есть A2 t2 t 1 h 1, а её фронтальная проекция t 2 B1 перпендикулярна одноимённой проекции фронтали, то есть t 2 f 2. t1 h1 Поэтому решение задачи начинают с построения горизонтали и фронтали плоскости α, если они не входят 21 f 1 11 A1 в заданную плоскость. Построение любой горизонтали надо начинать P1 C1 с фронтальной проекции, так как фронтальная проекция h 2 горизон- Рисунок

20 тали h всегда параллельна оси Оx (h 2 Ox). Построение любой фронтали начинают с горизонтальной проекции f 1 фронтали f, которая должна быть параллельна оси Оx (f 1 Ox ). Через точку C проведена горизонталь C-1 (С 21 2; С 11 1), а через точку A проведена фронталь A-2 (A 12 1; A 22 2). Фронтальная проекция t 2 искомого перпендикуляра t проходит через точку P 2 перпендикулярно к A 22 2, а горизонтальная t 1 через точку P 1 перпендикулярно к C Пример 5.2. Определить точку пересечения перпендикуляра t с плоскостью α, то есть определить основание перпендикуляра (рисунок 5.2). Пусть плоскость α задана двумя пересекающимися прямыми α (h f). Прямая t перпендикулярна плоскости α, так как t 1 f 1, а t 2 f 2. Чтобы найти основание перпендикуляра, необходимо осуществляют следующие построения: — t ( вспомогательная проецирующая плоскость). Если горизонтально-проецирующая плоскость, то её вырожденная горизонтальная проекция (горизонтальный след 1) совпадает с горизонтальной проекцией t 1 прямой t, то есть 1 t 1. Если фронтальнопроецирующая плоскость, то её вырожденная фронтальная проекция (фронтальный след 2) совпадает с фронтальной проекцией t 2 прямой t, то есть 2 t 2. В данном примере используют фронтальнопроецирующую плоскость; — α = 1-2 линия пересечения двух плоскостей; — определяют точку T основание перпендикуляра; ( )T = t 1-2. Пример 5.3. Определить расстояние от точки P до плоскости. Расстояние от точки P до плоскости определяется длиной отрезка перпендикуляра PT. Прямая PT в пространстве занимает общее по- P2 P T1 T t1 t2 Рисунок 5.2 f 2 B2 h2 h1 f 1 19

21 ложение, поэтому порядок определения натуральной величины отрезка см. на рисунках 3.4 и 3.5 (стр. 8, 9). Эпюрное решение задачи 3 по определению расстояния от точки P до плоской фигуры, а именно до плоскости квадрата, построенного по заданным условиям *, приведено на рисунке 5.3. Проекции точки P должны быть построены по заданным координатам (см. вариант задания). s D t2 22 A2 y z23 T2 A0 z K2 C L2 AB x12 32 P2 B2 O AB t1 31 B1 L1 C y K1 T1 A1 PT D1 s 51 P z 1 P0 y13 Рисунок 5.3 * Условие, при котором были построены проекции квадрата, см. на стр. 10, рис

22 6. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ И ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ 1 8 Условие 1-ой задачи: Построить проекции параллелограмма ABCD, если диагональ AC перпендикулярна прямой KL, а сторона DC принадлежит прямой KL и равна AC. Таблица 6.1 Прямая Плоскость α Плоскость β вар. Коорд. A P K L Q E F M N R x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z

23 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ 9 16 Условие 1-ой задачи: Построить проекции квадрата ABCD, если его диагональ BD принадлежит прямой KL. Вершина A задана. вар. Коорд. A Продолжение табл. 6.1 Прямая Плоскость α Плоскость β P K L Q E F M N R x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z

24 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ Условие 1-ой задачи: Построить проекции равнобочной трапеции ABCD, высота которой равна меньшему основанию, а большее основание DC принадлежит прямой KL и равно 3 AB. Вершина A задана. Продолжение табл. 6.1 Прямая Плоскость α Плоскость β вар. Коорд. A P K L Q E F M N R x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z

25 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ Условие 1-ой задачи: Построить проекции ромба ABCD, диагональ BD которого принадлежит прямой KL, а отношение диагоналей AC:BD=1:2. Вершина A задана. вар. Коорд. A Продолжение табл. 6.1 Прямая Плоскость α Плоскость β P K L Q E F M N R x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z

26 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ Условие 1-ой задачи: Построить проекции равнобедренного прямоугольного треугольника ABC, катет BC которого принадлежит прямой KL. Вершина A задана. вар. Коорд. A Продолжение табл. 6.1 Прямая Плоскость α Плоскость β P K L Q E F M N R x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z

27 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ Условие 1-ой задачи: Построить проекции равнобедренного прямоугольного треугольника ABC, катет BC которого принадлежит прямой KL. Вершина A задана. вар. Коорд. A Продолжение табл. 6.1 Прямая Плоскость α Плоскость β P K L Q E F M N R x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z

28 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ Условие 1-ой задачи: Построить проекции равнобедренного прямоугольного треугольника ABC, катет BC которого принадлежит прямой KL. Вершина A задана. вар. Коорд. A Продолжение табл. 6.1 Прямая Плоскость α Плоскость β P K L Q E F M N R x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z

29 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ Условие 1-ой задачи: Построить проекции равнобедренного прямоугольного треугольника ABC, катет BC которого принадлежит прямой KL. Вершина A задана. Продолжение табл. 6.1 вар. Коорд. A Прямая Плоскость α Плоскость β P K L Q E F M N R x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z

30 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ Условие 1-ой задачи: Построить проекции равнобедренного прямоугольного треугольника ABC, катет BC которого принадлежит прямой KL. Вершина A задана. вар. Коорд. A Продолжение табл. 6.1 Прямая Плоскость α Плоскость β P K L Q E F M N R x y z x y z x y z x y z x y z x y z Пример выполнения работы 1 приведён на рисунке 6.1. Размеры таблицы координат и основной надписи показаны на рисунке 6.2, а, б. 29

31 z23 O N1 y13 E2 s’ N2 12 L L’2 62 M2 F2 E1 1 M1 L’1 61 L1 21 F1 t2 D2 42 s’ 22 A2 z23 y Q2 32 T B2 P2 42 A0 R2 L2 A B O x12 B1 L1 t1 R s T1 A1 51 D1 P1 PT 21 y13 P0 Q1 41 y s z Ðèñóí î ê 6.1 C2 C1 K2 K1 z x12 30

32 Ðèñóí î ê 6.2 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Начертательная геометрия. Учебн. для вузов./н.н. Крылов, Г.С. Иконникова, В.Л. Николаев, В.Е. Васильев. Под ред. Н.Н. Крылова. 11-е изд., стер., М.: Высш. шк., с.: ил. 2. Инженерная графика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / Ф.И. Пуйческу, С.Н. Муравьев, Н.А. Чванова. М.: Издательский центр «Академия», с. 31

33 Учебно-методическое издание Муравьев Сергей Николаевич, Чванова Нина Александровна ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ Учебно-методическое пособие для выполнения домашней работы по начертательной геометрии для студентов ИТТСУ, ИУИТ и Вечернего факультета Изд Тираж 500 экз. Москва, Копировальный центр PrintSide 32

Источник