Таракан ползет по клетчатой бумаге он должен проползти вдоль линий клетчатой бумаги путь длины 20

VI Летняя школа «Современная математика». Часть III. Математика собственно.
Математика для меня в Дубне занимала далеко не первое место. И тем не менее, не написать о ней нельзя. Поэтому это сообщение будет посвященно именно математической части летней школы.
В школе было заметно больше участников, преподавателей и, соответственно, курсов, чем на предыдущих школах. Было по 6 лекций в день. Надо сказать, что при этом удивительным образом интересных для меня лекций оказалось считанное (не путать со счётным!) число. То ли я плохо выбирал курсы, то ли я был слишком критичен, то ли были просто темы лекций такие, которые не очень интересны именно мне.
Я, как уже писал в части II, посетил 14 курсов. Что ж пройдусь по ним по-порядку.
1. В.И.Арнольд «Тригонометрические многочлены Морса и шестнадцатая проблема Гильберта». Послушать Арнольда, конечно, интересно, но исключительно с познавательной стороны. (добавлено 21.08.06. в 22:32): Сейчас, перечитывая старые записи, понимаю, что здесь можно не совсем понять, что я имел в виду. Так вот познавательная сторона лекции — это рассказы об истории математики, некоторые интересные моменты математической жизни, формулировки теорем, т.е. некие общие слова. Меня же в лекциях больше интересовала исследовательская сторона, та, которая меня собственно в математике и привлекает, а именно построение строгой теории, решение математических проблем и т. п.
2. Э.Элькинд «Теорема Нэша о равновесии в теории игр». Вначале было очень просто, потом даже чуть-чуть интересно и красиво, потом стало жутко нудно и свелось к счёту, а я считать не люблю. Ну, по крайней мере, узнал кто такой Нэш. Оказалось, что это человек, про которого снят фильм «Игры разума». Математик с нелёгкой судьбой, занимавшийся проблемами теории игр и получивший за свои достижения Нобелевскую премию в области экономики.
3. В.Ю.Протасов «Элементы геометрии выпуклых тел и выпуклых многогранников». Наиболее понравившаяся мне лекция. Всё было очень понятно и интересно. Узнал много новых для себя красивых геометрических фактов и теорем.
4. А.И.Буфетов. «Случайные блуждания и броуновское движение». Было интересно, но сложно и достаточно утомительно. К концу уже перестал всё понимать, поэтому на последнюю лекцию не пошёл.
5. И.В.Ященко. «Я почти придумал тему этой лекции. «. Лекция, на которой рассказывалось о понятие «почти все». Реально, в который раз я услышал книгу Ященко «Парадоксы теории множеств». Я у себя в тетрадке сделал лишь одну запись: «Почти всё я слышал в прошлом году».
6. Т.И.Голенищева-Кутузова, Ю.Г.Кудряшов. «Рисуем стрелочки, куда дует ветер, или векторные поля на поверхностях». Векторные поля. Я думал, что мне это будет интересно. Реально, прийдя на лекцию, не услышал ни одного строгого определения/рассуждения/доказательства. А на пальцах всё было уж совсем тривиально и абсолютно безынтересно.
7. В.А.Успенский. «Нестандартные модели: хорошо это или плохо?». Посмотреть на лекцию Успенского стоило. Читает он действительно интересно и понятно. И видно было, что он очень хорошо разбирается в теме своей лекции и очень старательно рассказывает. Единственное, тема лекции лично для меня не была очень интересной.
8. А.А.Разборов. «Квантовые вычисления». Скучно, неинтересно, непонятно. Я вскоре после начала лекции заснул.
9. В.В.Успенский. «Топологическая размерность и неподвижные точки». Сын ведёт лекции не хуже отца. Очень интересно и вполне понятно. Одна из лучших лекций школы.
10. Е.Ю.Америк. «Элементы арифметики в криптографии». Самая скучнейшая и безынтересная лекция школы. Три человека ушли, не дождавшись окончания лекции, чего на летней школе я увидел впервые. В математике Америк разбиралась «по листочку», который держала в руках, и при этом, всё-равно путаясь. На самый простейший вопрос не могла ответить. Например (запомнилось) сказала, что число 10 50 больше числа 2 50 в 3,5 раза. Такие ошибки сопровождали её на протяжении всей лекции. Создалось впечатление, что в математике она не сильно разбирается. Какая-то аналогия с Ильиным (тем, что теорему Ферма «доказал») просматривается. В тетрадке сделал лишь запись: «Нет ничего скучнее прикладной математики».
11. А.Н.Дранишников. «Последовательность Морса-Ту». Всё было уж совсем тривиально, но вполне интересно. Запомнилась музыка, которая строилась и игралась по этой последовательности.
12. А.Б.Сосинский. «Колмогоровская сложность и теорема Геделя». Уделяя много времени деталям, основную идею Сосинский рассказал очень скомкано.
13. И.А.Панин. «Теорема о 27 прямых». Вначале было интересно, но затем лекция оказалась слишком сложной для моего восприятия.
14. А.И.Музыкантский. «Подбрасывание монеты по телефону». Из лекции запомнились 2-3 минуты, в которые и было рассказано, как бросить жребий по телефону. Остальное было скучно.
15. А.Я.Канель-Белов. «Самозаклинивающиеся структуры». Были известные олимпиадные задачи, были и интересные моменты. Запомнилось пару моментов. Просьба Канеля к сидящим в зале дать ему карандаши, чтобы показать один красивый пример «вживую», и ответный крик Славы Девятова, держащего в руках несколько карандашей, с последнего ряда: «Кидать?!» И момент, когда Канель гордо сказал что-то такое: «Вот Америку открыл Колумб, а не индейцы, потому что Колумб — цивилизованный человек, а индейцы — нет. Точно так же и здесь. Эту конструкцию открыл не инженер, а я, потому что я — цивилизованный человек, а инженер — нет.» Я из зала сказал: «Готов поспорить!» Похоже, меня, правда, никто не услышал, ну и хорошо. Гордость просто исходила от Канеля. Пожалуй это самый гордый человек, которого я в жизни видел.
Ух ты! А лекций, оказалось, я посетил аш 15 штук! Оказывается, до 15 я досчитывать ещё не научился без ошибок =)

Задача для учителей =)
Следующая задача предлагалась на творческом конкурсе учителей. Она мне показалась самой содержательной из задач первого конкурса.
Из листа клетчатой бумаги по линиям сетки вырезали многоугольник без дыр. Известно, что его можно разбить на прямоугольники 2х1. Докажите, что у него есть хотя бы одна сторона чётной длины.
По-моему, кстати, задачи конкурса учителей сильно легче задач конкурсов школьников.

Вот такое задание на втором творческом конкурсе учителей меня вообще порадовало:

В августе 2005 года в “Новой газете” было опубликовано “новое доказательство” великой теоремы Ферма. Найдите как можно больше математических ошибок в этом тексте.

Итак, требуется доказать, что если X и Y — целые числа в уравнении X n + Y n = Z n , то Z (при n > 2) всегда не целое. Прежде чем браться за теорему Ферма, повторим теорему Пифагора: “Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Мы вправе для ее написания использовать любые переменные. Запишем ее таким образом: X 2 + Y 2 = R 2 , где X, Y, R — целые числа, а Z, утверждает Ферма, — не целое. Попробуем доказать. Понятно, Z не равно R при одних и тех же X, Y. Легко доказуемо алгебраически, да и просто логически, что Z всегда меньше, чем R. Когда мы возводим X и Y в более высокую степень, то умножаем их на самих себя. Потом их складываем и получаем Z в той же степени n. А при возведении в нее R каждое из слагаемых надо умножить на R, которое больше, чем X и Y. К примеру, R 3 = (X 2 + Y 2 )R = X 2 R+Y 2 R.

Записываем длины сторон треугольника XYR в тригонометрическом виде: X = R sinA, Y = R cosA. А значит, Z n = X n + Y n = R n (sinA + cosA). Тогда Z = R (sinA + cosA). Ранее мы доказали, что Z всегда меньше R, стало быть, sinA + cosA ° и меньше 90 ° . А что произойдет в этом случае с прямым углом В, находящимся между катетами? Он больше уже не будет прямым и окажется в тех же пределах: 60 o o .

Любой десятиклассник, у которого по математике выше тройки, с ходу воспроизведет вам формулу соотношения сторон треугольника Z 2 = X 2 + Y 2 — 2 XY cosB. При 60 o o cosB — число не целое. А значит, и Z неминуемо является таковым при целых значениях X и Y. Что и требовалось доказать.

Мне эту статейку из НоГи подсунули дней за 5 до проведения конкурса. Содержательного в статейке 0. Решения нет. Математически нет вообще ничего. Интересно, как в этом вообще можно искать ошибки.
Хотя, наверное, в работе учеников учителям, иногда, и не с таким приходится встречаться.
P.S. Само это доказательство некоего Ильина (если в фамилии не ошибаюсь) ещё и по НТВ передавали. Уж не знаю, как оно прошло. Если выражаться словами Ильина, то я бы сказал так: «Любой десятиклассник, у которого по математике выше тройки, с ходу признает это доказательство бредом». Видимо, у самого Ильина по математике в школе не было и тройки. А ещё там каких-то академиков показывали, которые в этом доказательстве ошибок не нашли. Типа, научная сенсация.

Источник

Олимпиада по математике школьный этап 2021 ВОШ задания и ответы для 4-11 класса

ПОДЕЛИТЬСЯ

Задания и ответы школьного этапа 2021 олимпиады по математике для 4-11 класса всероссийской олимпиады школьников 2021-2022 учебного года, официальная дата проведения олимпиады в Омске: 06.10.2021 (6 октября 2021 года)

Задания и ответы для 4 класса: скачать

Задания и ответы для 5 класса: скачать

Задания и ответы для 6 класса: скачать

Задания и ответы для 7 класса: скачать

Задания и ответы для 8 класса: скачать

Задания и ответы для 9 класса: скачать

Задания и ответы для 10 класса: скачать

Задания и ответы для 11 класса: скачать

Интересные задания и ответы олимпиады:

1)Ваня представил число 100 в виде суммы 14 слагаемых, имеющих одинаковую сумму цифр: 100=20+20+20+20+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2 (сумма цифр числа 20 равна 2+0=2). Вася смог представить число 100 в виде суммы 11 слагаемых, имеющих одинаковую сумму цифр. Как он это сделал? Достаточно привести один пример такого представления.

Ответ: 100=50+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5.

2)Вера, накопив 200 рублей, хотела купить пенал, но этих денег ей не хватило. Через несколько дней пенал уценили, и он стал стоить в два раза меньше. Теперь Вера смогла его купить и даже получила сдачу 15 рублей. Сколько стоил пенал первоначально? Ответ нужно подтвердить вычислениями и объяснениями.

Ответ: 370 р.

3)Фермер огородил снаружи участок земли и разделил его на квадратики со стороной 3 м. В пяти квадратиках он разместил гусятники (обозначены «Г»), а в других пяти – будки со сторожевыми собаками (обозначены «С»). Но гуси нападают на собак, а собаки могут загрызть гусей. Помогите фермеру построить по линиям сетки дополнительные заборы общей длины 30 м, чтобы защитить собак от гусей и гусей от собак.

Ответ: например, так, как на рисунке справа.

4)По кругу стоят 10 сорочат. Мама–сорока кормит их кашей: первому – 1 ложку, второму – 2 ложки, следующему – 1, потом – 2 и так далее. Всего она раздала 55 ложек каши, и на этом каша закончилась. Сколько сорочат получили ровно 4 ложки каши? Ответ нужно обосновать.

Ответ: 4 птенца

5)Никита записал два нечётных числа, а потом заменил в них разные цифры разными буквами, а одинаковые – одинаковыми. У Никиты получились два слова: УЧИТЕЛЯ и МЕЧТАТЕЛИ. Известно, что произведение цифр числа УЧИТЕЛЯ не равно нулю, а произведение цифр числа МЕЧТАТЕЛИ равно нулю. Чётной или нечётной будет сумма Я+И+МЕЧТА? Ответ нужно обосновать.

Ответ: чётная

6)В семье Веснушкиных три человека, и у каждого на лице в два раза больше веснушек, чем ему лет. Васе сейчас 11 лет. Васина мама младше Васиного папы на 3 года, и у неё на лице 66 веснушек. Сколько веснушек на лице у всех троих вместе? Ответ нужно подтвердить вычислениями и объяснениями.

Ответ: 160 веснушек.

7)Найдите какое-нибудь решение неравенства М Ответ: например, М=1, А=3, Т=2, Е=4, И=5, К=9, т.е. 1

8)Маша попросила встать 30 одноклассников по кругу и стала раздавать им шоколадные конфеты. Первому дала 1 конфету, второму – 2 конфеты, следующему – снова 1 конфету, потом – 2 конфеты и так далее. Всего она раздала 55 конфет, и на этом конфеты закончилась. Сколько Машиных одноклассников получили ровно 2 конфеты? Ответ нужно обосновать

Ответ: 16 человек

9)На рисунке слева изображена фигура на клетчатой бумаге. Сторона каждой клетки равна 1 см. Разрежьте данную фигуру по линиям сетки на фигурки, удовлетворяющие всем четырём условиям: 1) площадь каждой равна 5 см2 ; 2) периметр каждой равен 12 см; 3) все фигурки должны быть различными, т.е. не совпадать при наложении; 4) в каждой должен быть ровно один серый квадратик. Достаточно привести один вариант разрезания.

Ответ: например, как на рисунке ниже.

10)Винни-Пух, Пончик и Карлсон приняли участие в турнире обжор. По результатам трёх туров судья заполнил таблицу, где указал, сколько пирогов в каждом туре съел каждый участник. Оказалось, что все числа в таблице различны. Ночью каждый из участников увеличил только один из своих результатов в таблице на 1. Утром все увидели следующую таблицу.

Ответ: см. файл выше

11)На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 3х4 клетки. Разрежьте его по сторонам клеток на 3 части так, чтобы из них можно было сложить фигуру, изображенную справа.

Ответ: вариант разрезания приведен: 1-я часть с цифрами «1», 2-я часть – «2» и 3-я часть – «3». Из них легко складывается нужная фигура.

12)Мальвина написала на доске выражение М+А = Т+Е = М+А+Т = И+К+А и попросила Буратино заменить все буквы цифрами так, чтобы равенства оказались верными. Причем разные буквы нужно заменять разными цифрами, а одинаковые буквы ‒ одинаковыми цифрами. Помогите Буратино справиться с задачей. Достаточно привести хотя бы один пример.

Ответ: пусть М=5, А=2, Т=0, Е=7, И=1, К=4. Тогда получим верные равенства: 5+2=0+7=5+2+0=1+4+2.

13)Семи детям раздали 55 конфет. После этого первыйсказал, что по крайней мере 1 конфета у него имеется. «А у меня ровно на две больше!» — сказал второй. «А у меня ровно на две больше, чем у тебя!» — сказал третийвторому, затем такую же фразу произнес четвертый— третьему, пятый – четвертому, шестой— пятому. А седьмой заявил: «А у меня конфет больше всех!». Сколько конфет получил седьмой ребенок? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Ответ: 13 или 19

14)У Алисы есть три деревянных кубика. Длина ребра меньшего кубика равна 1 дм, среднего — 2 дм, большего — 3 дм. На покраску меньшего кубика ей потребовалось на 120 г краски меньше, чем на покраску среднего кубика. Сколько граммов краски ей потребуется на покраску большего кубика?

Ответ: 360 г.

15)Чтобы насытиться, голодному кролику нужно съесть ровно три каких-нибудь различных овоща. Какое наибольшее количество голодных кроликов можно накормить досыта, если в запасах имеется 5 кукуруз, 8 огурцов, 11 морковок и 17 перцев? Ответ нужно обосновать.

Ответ: 12

16)На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 3х4 клетки. Разрежьте его по сторонам клеток на 3 части так, чтобы из них можно было сложить фигуру, изображенную справа.

Ответ: вариант разрезания приведен: 1-я часть с цифрами «1», 2-я часть – «2» и 3-я часть – «3». Из них легко складывается нужная фигура.

17)Замените буквы A, B, C, D, E, F, G, K цифрами от 1 до 8 без повторений так, чтобы числа 6, 11, 16, 21 в серых треугольниках являлись суммами цифр, стоящих в трёх белых треугольниках, соседствующих по сторонам с серым.

Ответ: подходящие значения букв: А=2, В=3, С=5, D=1, Е=8, F=4, G=6, К=7. Легко проверить, что условие задачи выполняется.

18)Рыбак поймал 6 кг рыбы. Часть приготовил себе, остальное отдал трём котам. Каждый кот съедает в 2 раза больше рыбы, чем рыбак за одно и то же время. Сколько килограммов рыбы было отдано котам, если есть все начали одновременно, а коты съели свою часть в 2 раза быстрее, чем рыбак?

Ответ: 4,5 кг.

19)Три одинаковых кубика приставлены друг к другу гранями с одинаковым числом очков. Найдите сумму чисел на трёх нижних гранях кубиков данной конструкции, на верхних гранях которых числа 3, 5 и 6.

Ответ: 7

20)Лиса Алиса, Буратино и Пьеро нашли 110 золотых монет. Алиса предложила разложить их на три кучки и сказала: «Пусть жребий определит, кому какая достанется!» Чтобы мальчики не расстраивались, они договорились уравнять свои кучки по меньшей, а лишнее отдать Алисе. (Например, если Буратино достанется 10 монет, Пьеро – 15, а Алисе – 85 монет, то Пьеро отдаст Алисе 5 монет, чтобы у него с Буратино стало поровну). Алисе необходимо разложить все монеты на три кучки так, чтобы в результате ей наверняка досталось не меньше 100 золотых монет. Сколько у нее есть вариантов?

Ответ: 15

21)Сколько раз в последовательности из 12 чисел: 2, _, _, _, _, _, _, _, _, _, _,1 (на первом месте стоит 2, на последнем месте 1) встретится цифра 2, если известно, что сумма любых трех чисел, идущих подряд, равна 5?

Ответ: 8 раз

22)На турнир «рыцарей и лжецов» математического кружка ребята мастерили из квадратного листа картона размером 150см×150см стену рыцарского замка. По краям и в середине было вырезано три одинаковых квадрата. Петя заметил, что при этом периметр первоначального листа увеличился на 8%. Найдите площадь получившейся «стены».

Ответ: 20772 см2

23)Петя и Вася живут в одном доме и выходят в школу одновременно. Петя сначала считает ворон и идет со скоростью 4 км/ч, но ровно на середине пути на парковке пересаживается на велосипед и едет со скоростью 12 км/ч. Вася идет в школу с постоянной скоростью и приходит в школу одновременно с Петей. Учитель Степан Иванович на середине пути обгоняет Петю на мопеде, так как его скорость в 5 раз больше скорости Васи, он приезжает в щколу на 3 минуты раньше мальчиков. Найдите расстояние от дома мальчиков до школы.

Ответ: 2км

24)По данным, изображенным на рисунке справа, найти длину катета BC прямоугольного треугольника АВС.

Ответ: 12

25)Какое наибольшее число «тетраминошек» (как на рисунке) можно разместить внутри квадрата 6×6 без наложений? Фигурки можно как угодно поворачивать и переворачивать.

Ответ: 8

26)Назовем прямоугольник «симпатичным», если его длинная сторона меньше удвоенной короткой. (В частности, квадрат является симпатичным прямоугольником). Разрежьте квадрат площади 100 на четыре симпатичных прямоугольника с площадями 10, 20, 30 и 40.

27)В системе координат изобразили графики функций y x a , y ax b и y bx . Причем ось Оу, идущую, как обычно, «снизу вверх» перпендикулярно оси Ох, стерли. Восстановите ось Оу.

28)Винни-Пух заготовил мёд на зиму в нескольких полных горшочках по 5 литров каждый. Если бы он свои запасы мёда разлил в 4-литровые горшочки, то их потребовалось бы на четыре больше, правда, один горшочек оказался бы неполным. А если разлить весь мёд в горшочки по 7 литров, то их потребовалось бы на четыре меньше первоначального количества. Но один горшочек снова оказался бы неполным. Сколько горшочков мёда заготовил Винни-Пух?

29)Из вершин А, В и С треугольника АВС провели соответственно медиану АМ, биссектрису ВK и высоту СH. Оказалось, что середина отрезка ВK совпадает с серединой отрезка MH. Найдите углы треугольника АВС.

30)На каникулах для всех желающих провели турнир по шашкам. Каждый сыграл с каждым ровно одну партию. За победу в партии участник турнира получал 2 очка, за ничью – 1 очко, за проигрыш – 0 очков. Известно, что среди участников мальчиков было в десять раз больше, чем девочек, и они вместе набрали в 4,5 раза больше очков, чем девочки. Сколько очков набрала самая успешная девочка?

31)Девятиклассник Дима выписывает ряд последовательных трёхзначных чисел так, чтобы каждое число делилось нацело на свою последнюю цифру. Какое наибольшее количество чисел могло быть в этом ряду?

32)Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 55% и 12%. Сколько нужно взять металла каждого из сортов, чтобы получить 2021 т стали с содержанием 32% никеля?

33)Вася выписывает последовательность из 2021 натуральных чисел, начиная с некоторого числа, так, чтобы сумма любых трех подряд идущих чисел была равна 5. Какое наибольшее количество двоек у него может получиться?

34)На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка F. Оказалось, что отрезок AF пересекает медиану BD в точке Е так, что АЕ = ВС. Докажите, что BF = FE.

35)Имеются две бочки с водой бесконечной вместимости и два ковшика объемами 2 и 2 2 литров. Можно ли, пользуясь этими ковшиками, перелить из одной бочки в другую ровно 1 литр?

36)От 2 кусков сплавов с разным содержанием свинца массой 6 кг и 12 кг отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого сплава, после чего процентное содержание свинца в обоих сплавах стало одинаковым. Каковы массы отрезанных кусков?

37)Художник Петров красит плоскость в два цвета произвольным образом, а геометр Васильев утверждает, что сможет построить треугольник с вершинами одного цвета, величины углов которого относятся как 4:2:1. Прав ли он?

Источник