Ивлиев Сборник тестовых задач по квантовой 2008
Федеральное агентство по образованию Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
С.В. Ивлиев, В.В. Косачев, А.И. Кузовлев, С.Е. Муравьев
Сборник тестовых задач по квантовой механике
Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия для высших учебных заведений
УДК 530.145(076) ББК 22.314я7 С 23
Сборник тестовых задач по квантовой механике / С.В. Ивлиев, В.В. Косачев, А.И. Кузовлев, С.Е. Муравьев. М.: МИФИ, 2008. – 264 с.
В пособии собраны более тысячи задач-тестов по всем основным разделам квантовой механики. Все задачи посвящены основным физическим принципам и идеям квантовой механики и, как правило, не требуют для решения сложных вычислений. К каждой задаче даются четыре варианта ответа, один из которых (в некоторых случаях два) — правильный. Такая форма заданий позволяет лучше «почувствовать» логику квантовой механики, легко себя в этом проконтролировать, но, конечно, не заменит изучения более серьезных руководств.
Пособие предназначено для студентов старших курсов физических специальностей университетов. Может быть также использовано преподавателями квантовой механики для быстрого и эффективного контроля знаний студентов.
Пособие подготовлено в рамках Инновационной образовательной программы МИФИ
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. Е.Е. Городничев
© Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 2008
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ…………………………………….…………………….7
1.1. Математические основы квантовой механики…………………………………………………………..7
1.2. Общие свойства собственных функций и собственных значений операторов физических величин……………………15
1.3. Координата и импульс. Различные представления волновой функции………………………………..…………..…24
1.4. Зависимость физических величин от времени. Уравнение Шредингера……………………………………..…………….…33
ГЛАВА 2. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ……………….……….…41
2.1. Общие свойства одномерного движения……..………..…41
2.2. Бесконечно глубокая одномерная прямоугольная потенциальная яма………………………………………………50
2.3. Гармонический осциллятор…………..…………………. 59
2.4. Непрерывный спектр. Прохождение через барьеры……..68
ГЛАВА 3. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА………………..………………..78
3.1. Общие свойства момента импульса…………….…………78
3.2. Свойства собственных значений и собственных
функций операторов момента импульса……………. ……….86
ГЛАВА 4. ТРЕХМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ………. ………………….98
4.1. Общие свойства трехмерного движения……………. 98
4.2. Сферический осциллятор, кулоновский потенциал и бесконечно глубокая сферическая потенциальная
ГЛАВА 6. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ….…….130 ГЛАВА 7. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ…….………………………142
7.1. Теория возмущений без вырождения………..……….142
7.2. Теория возмущений при наличии вырождения…. …156 ГЛАВА 8. КВАНТОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ…..……………………….173
8.1. Теория нестационарных возмущений………….……173
8.2. Переходы под действием периодических и
ГЛАВА 9. СИСТЕМЫТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ…….…. 199 9.1. Перестановочная симметрия волновой функции систем тождественных частиц………. ……. 199
9.2. Метод вторичного квантования…………..….……….209
ГЛАВА 10. ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ…………..………….………..222 10.1. Задача рассеяния. Постановка и принципы решения……………………………………………..………222
10.2. Борновское приближение и фазовая теория рассеяния…………………………………………. ……….230
В настоящем учебном пособии собраны более тысячи тестовых задач по всем основным разделам стандартного курса квантовой механики. Как правило, эти задачи не требуют для своего решения сложных математических выкладок; достаточно понимания основных идей, принципов и знания минимального количества формул. К каждой задаче даются четыре варианта ответа, из которых один (в очень небольшом количестве случаев – два) является правильным.
Несколько слов о том, зачем нужны такие задачи. При преподавании теоретической физики в наших вузах тестовые задачи используются редко. Считается, что уровень знаний студента точнее раскрывается в устном ответе, при решении сложной задачи, когда необходимо обосновать решение, а никак не при выборе одного варианта ответа из ряда данных, который к тому же можно просто угадать. При обучении полезней разобраться с решением одной сложной задачи, чем сделать десять простых. В целом, эти утверждения правильны, однако, представляется, что у тестовых задач по квантовой механике есть своя «ниша».
Во-первых, по существу . Поскольку самым сложным при первом знакомстве с квантовой механикой является изучение ее логики и языка, то включение в педагогический арсенал большого количества вопросов и задач, требующих минимального количества вычислений и допускающих быструю проверку на уровне «правильно – не правильно» (то есть тестовых), является очень плодотворным. Таким образом, тестовая система задач по квантовой механике позволяет почувствовать логику и язык этой дисциплины, не «заслоняя» их громоздкими вычислениями, характерными для традиционных задач.
Во-вторых, по форме организации учебного процесса. С помощью тестовых задач можно осуществлять текущий контроль знаний студентов, обеспечивая постоянный контроль и «давление» на студентов в процессе учебы. Тестовые задачи позволяют проводить письменные контрольные опросы со стопроцентным охватом аудитории и с меньшими временными затратами, чем при устном контрольном опросе. При этом, если тестовое задание
включает в себя четыре-пять задач, можно не бояться случайного угадывания студентами правильного ответа. Таким образом,
тестовая система контрольных и отчетных мероприятий может стать эффективным механизмом, стимулирующим текущую работу студентов.
Кроме того, тестовые задачи легко «встраиваются» в современные компьютерные технологии, в том числе и технологии дистанционного образования, а также могут являться средством самоконтроля.
Авторы благодарят С.П.Гореславского и О.А.Румянцева, которые прочитали ряд глав рукописи этой книги и сделали полезные замечания. Авторы благодарны также студентам студенческих групп Т5-21 и Т5-31 факультета Экспериментальной и теоретической физики МИФИ (осенний семестр 2007-08 учебного года), на примере которых определялись принципы подбора задач, подбирались и тестировались предлагаемые тестовые задачи , и которые с переменным успехом, но выдержали эту процедуру.
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
1.1. Математические основы квантовой механики
1. Оператор ˆ , действующий в некотором линейном пространстве,
является линейным, если для любых элементов ψ 1 и ψ 2 этого пространства имеет место равенство:
Источник
Квантовая механика противоречит сама себе
В новой необычной интерпретации квантовой механики квантовая механика вообще исчезает. Все ее странные законы и пугающие эффекты оказываются результатом скрытых взаимодействий между бесконечным множеством «параллельных вселенных».
Элементарные частицы существуют в неопределенности, в одновременном наложении нескольких возможных состояний, которое описывается их волновой функцией. Однако мы вполне можем наблюдать или даже измерить какую-то конкретную характеристику частицы: ее волновая функция при этом коллапсирует, более или менее случайным образом «выбрав» определенное состояние. Это один из самых странных парадоксов физики — как будто нечто внешнее «решает», что именно мы увидим, наблюдая мир, и «показывает» его нам под определенным углом.
Мировая бесконечность
Еще 60 лет назад для объяснения этого парадокса Хью Эверетт выдвинул многомировую интерпретацию квантовой механики, согласно которой в природе реализуются все возможные состояния, только в разных вселенных. Каждый коллапс волновой функции мириады раз в секунду рождает новую параллельную реальность, события в которой развиваются по-своему. Вместе они образуют густо ветвящийся «мир многих миров», непрерывно разворачивающуюся Мультивселенную.
В бесконечности этих вселенных происходит все, что мы только можем и не можем себе вообразить. Где-то там вы открываете принцип, у нас известный по имени Гейзенберга, а полинезийские колонисты основывают города-государства на севере Европы. Некоторые миры близки к нашему, другие совсем на него непохожи. Впрочем, сравнить детали все равно не получится: отдельные миры принципиально неспособны взаимодействовать друг с другом. Мы, живущие именно в этой — и явно не лучшей — Вселенной, никогда не сможем насладиться триумфом открытия, сделанного нами там, «в другом измерении».
Полная невозможность хоть как-то взаимодействовать с другими вселенными заставляет задуматься о том, насколько они вообще реальны. Или — если один вариант коллапса волновой функции более вероятен, чем другой, значит ли это, что соответствующие миры имеют разную «степень реальности»? Без решения этих проблем многомировая интерпретация остается похожей скорее на философское упражнение, чем на физическую теорию. Дать ей надежную основу предлагает гипотеза «множества взаимодействующих миров», выдвинутая американцем Чарльзом Себенсом. Но для этого Себенс предлагает отказаться от квантовой механики как таковой.
Константин Томс, физик, европейская организация по ядерным исследованиям (ЦЕРН)
«Эвереттовская интерпретация квантовой механики может поражать картиной вырастающей из нее Мультивселенной. Однако любые два мира в ней описываются ортогональными друг другу векторами состояний, их взаимодействие невозможно даже с точки зрения формальной математики. Новая модель пытается предложить альтернативу: в ней квантовые феномены возникают в результате взаимодействий между мирами, а значит, они не так уж изолированы друг от друга. Эта модель дает свои предсказания, которые не всегда совпадают с результатами классического подхода — а значит, когда-нибудь мы обязательно сможем ее проверить».
Мир с миром сходится
В описании Себенса и его немногочисленных последователей мультимиры существуют равноправно, и в каждом из них действуют самые обычные физические законы, а все квантовые странности — лишь проявления связей между «параллельными» вселенными. Частица не может иметь одновременно и определенный импульс, и положение в пространстве не потому, что ей «не позволяет» волновая функция или принцип неопределенности Гейзенберга, а потому, что соседние миры стремятся «оттолкнуться» друг от друга, чтобы не оказаться в одинаковых состояниях.
Австралийский физик Говард Вайзман и его коллеги развили выкладки гипотезы «множества взаимодействующих миров», показав, как именно они могут создавать те иллюзии, которые мы привыкли считать квантовыми эффектами. В их описании следует различать не отдельные вселенные, а их обширные группы, кластеры, которые отталкиваются друг от друга, как у Себенса. Однако внутри таких кластеров сохраняются тесные взаимодействия, так что вероятность коллапса волновой функции в ту или иную сторону — просто проявление статистики, тогда как в каждом конкретном мире частица ведет себя совершенно нормальным, неквантовым образом.
Например, Вайзман с соавторами предложили математическое описание взаимодействия двух миров, в результате которого может наблюдаться туннелирование — один из известных квантовых эффектов, при котором частица оказывается способна преодолеть энергетический барьер, недоступный ей с точки зрения «обычной» физики. Вооружившись новыми формулами, ученые рассматривают и другие квантово-механические явления. Так, знаменитый эксперимент с интерференцией электронов, рассеянных на двух щелях, они объясняют взаимодействиями в группе уже из 41 вселенной.
Безнадежное занятие
Публикация вызвала волну скептических сообщений, а известный своими резкими суждениями чешский физик Любош Мотль вовсе назвал статью «очередной иллюстрацией тому, что все эти упражнения являются совершенно безнадежным занятием и серьезной потерей времени». С другой стороны, немало физиков признали оригинальность такого подхода. «Экспериментальных подтверждений этому пока нет, — сказал Уильям Пойре из Техасского технического университета. — Однако эта теория дает другие предсказания, чем стандартные модели квантовой механики». Значит, рано или поздно выкладки Вайзмана будут проверены — ну а пока мы можем смело назвать странную интерпретацию невозможной.
Ведь даже вопрос о том, где именно, в каком континууме происходит взаимодействие вселенных и какие силы их направляют, выходит за рамки новой гипотезы. А это снова возвращает нас к проблемам, от которых страдает и обычная многомировая интерпретация: сколько в ней физики, а сколько — «лирики».
Впрочем, отвечая многочисленным критикам, Вайзман разумно заметил: «Есть люди, полностью довольные собственными интерпретациями квантовой механики, и вряд ли мы можем как-то повлиять на их мнение. Но немало и тех, кого не устраивает вообще ни одна из существующих интерпретаций. Надеюсь, что по крайней мере некоторые из них хотя бы проявят интерес и к нашей».
Источник
Тесты квантовая механика муравьев
Принципы квантовой механики [1979] Дирак
Книга П. А. М. Дирака давно и заслуженно пользуется всемирной известностью. В ней дается совершенно оригинальное, последовательно
выдержанное построение квантовой механики, начиная с самых основ и кончая важными физическими приложениями. В книге разобрано с большим математическим изяществом много физических задач.
Материал книги изложен исключительно ясно в весьма малом объеме. Второе издание русского перевода отличается от первого, вышедшего в 1960 г. под редакцией В. А. Фока, некоторыми редакционными изменениями и уточнениями текста. Книга дополнена переводом работы П. Дирака «Лекции по квантовой механике», выходившим в 1968 г.
Квантовые вычисления и функциональное программирование [2014] Душкин
В этой небольшой книге рассматриваются вопросы наиболее перспективного направления исследований в современных рамках информационно-коммуникационных технологиях — модели квантовых вычислений. Текст построен как можно более просто — главной задачей автор поставил для себя возможность чтения книги без наличия специальных знаний по квантовой механике и прочим подобным наукам, наполненным математическим анализом.
Однако в силу определённых обстоятельств в качестве языка программирования, при помощи которого иллюстрируются многочисленные примеры, выбран функциональный язык Haskell, поэтому читатель должен владеть этим языком для полноценного чтения книги. Книга будет интересна всякому, кто живо следит за новыми веяниями в области теории вычислений и смежных наук.
Modern Quantum Mechanics (2nd Edition) [2010] Sakurai
This best-selling classic provides a graduate-level, non-historical, modern introduction of quantum mechanical concepts. The author, J. J. Sakurai, was a renowned theorist in particle theory. This revision by Jim Napolitano retains the original material and adds topics that extend the text’s usefulness into the 21st century. The introduction of new material, and modification of existing material, appears in a way that better prepares the student for the next course in quantum field theory. You will still find such classic developments as neutron interferometer experiments, Feynman path integrals, correlation measurements, and Bell’s inequality. The style and treatment of topics is now more consistent across chapters. The Second Edition has been updated for currency and consistency across all topics and has been checked for the right amount of mathematical rigor.
Современная квантовая механика (2-е изд.) [2010] Сакурай
Перед вами классический бестселлер, современное введение в концепции квантовой механики на уровне магистратуры. Автор Д. Сакураи был выдающимся учёным в теории элементарных частиц. Второе издание, написанное Д. Наполитано сохраняет оригинальный материал и добавляет темы, которые придают этому тексту большую пользу в 21 веке.
Отличная квантовая механика, решения [часть 1][2019] Львовский
Отличная квантовая механика, решения [часть 2][2019] Львовский
Наряду с традиционным материалом, охватываемым курсом квантовой механики (состояния, операторы, уравнение Шрёдингера, атом водорода), в книге предлагается глубинное обсуждение таких концепций, как гильбертово пространство, квантовое измерение, запутанность и декогеренция. Эти концепции имеют решающее значение для понимания квантовой физики и ее связи с макроскопическим миром, но редко рассматриваются в учебниках начального уровня. В книге применяется математически простая физическая система — поляризация фотонов — в качестве инструмента визуализации, что позволяет студенту увидеть запутанную красоту квантового мира с самых первых страниц. Формальные концепции квантовой физики проиллюстрированы примерами из современных экспериментальных исследований, таких как квантовые компьютеры, коммуникации, телепортация и нелокальность. Материал книги успешно использовался в качестве основного учебного пособия в двухсеместровом курсе по квантовой механике для студентов-физиков.
Однако потенциальный круг читателей много шире и охватывает как студентов и аспирантов, изучающих точные науки, так и всех интересующихся квантовой физикой и квантовыми технологиями. Математический аппарат, требующийся для понимания книги, не выходит за пределы курса технического вуза или математической школы. Автор — профессор Оксфордского университета, экспериментатор с мировым именем в области квантовой оптики и квантовой информатики — применяет сократовскую педагогику: студенту предлагается самостоятельно разработать аппарат квантовой физики путем последовательного решения тщательно составленных задач. Подробные решения представлены во втором томе пособия.
«Отличная квантовая механика» — уникальное учебное пособие в двух частях, предлагающее глубинное обсуждение таких концепций, как гильбертово пространство, квантовое измерение, запутанность и декогеренция, наряду с традиционным материалом, охватываемым курсом квантовой механики (состояния, операторы, уравнение Шрёдингера, атом водорода). Эти концепции имеют решающее значение для понимания квантовой физики и ее связи с макроскопическим миром, но редко рассматриваются в учебниках начального уровня. В книге применяется математически простая физическая система — поляризация фотонов — в качестве инструмента визуализации, что позволяет читателю увидеть запутанную красоту квантового мира с самых первых страниц. Формальные концепции квантовой физики проиллюстрированы примерами из современных экспериментальных исследований, таких как квантовые компьютеры, коммуникации, телепортация и нелокальность.
ГЛАВА 1. КВАНТОВЫЕ ПОСТУЛАТЫ.
ГЛАВА 2. ЗАПУТАННОСТЬ.
ГЛАВА 3. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ.
ГЛАВА 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА.
ГЛАВА 5. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ.
ПРИЛОЖЕНИЕ А. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ВЕРОЯТНОСТИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
ПРИЛОЖЕНИЕ В. ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ ОПТИЧЕСКОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ.
ПРИЛОЖЕНИЕ Г. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ.
Источник