Трехэтажная дробь как избавиться

Тема «Действия с алгебраическими дробями» вызывает у учащихся 7-8 классов определённые трудности, так как требует хороших знаний материала, изученного ранее: «Действия с обыкновенными дробями», «Преобразование многочленов», «Формулы сокращённого умножения». Если предшествующие знания по каким-то причинам сформированы недостаточно прочно, то под наплывом нового материала они как бы растворяются и, как следствие, являются тормозом для дальнейшего успешного обучения.

Успешно реализовывать задачу закрепления «старых» и формирования «новых» знаний позволяет визуализация учебного материала. Если учебная информация сопровождается определёнными рисунками, соответствующими формулами, зрительными подсказками, то её смысл становится видимым, понятным и, как следствие, лучше запоминается. Именно поэтому мы обратились к новым учебнику и задачнику для 7-го класса, выпущенных Санкт-Петербургским Институтом Продуктивного обучения Российской Академии Образования [1, 2].
Эти пособия отличается от других особым структурированием учебной информации небольшими порциями, которые можно охватить «одним взглядом»; теоретический материал сопровождается здесь умело подобранными иллюстрациями, необходимыми комментариями, замечаниями, выделением ключевых понятий.
Разнообразие заданий, таких как, «Алгоритмы и автоматы», серии, тесты, тренажеры, «Посмотрите и …», «Выберите ответ» и другие, предоставляет ученику определённую свободу выбора, а не загоняют его в жесткие рамки: «реши или найди ответ». Эти задания дают богатейший материал для индивидуальной работы со слабыми и сильными учащимися. Большое количество нестандартных упражнений, которые учат мыслить, творить, придумывать, находить выход из затруднительных ситуаций, предвидеть результат (исследовательские работы, комбинаторные задачи), – позволяет ученикам активизировать свою мыслительную деятельность, а учителю работать творчески.

В восьмом классе мурманского лицея № 1 по материалам данных учебника [1] и задачника [2] был проведён открытый урок «Многоэтажные дроби». Эта тема выбрана не случайно. В действующих учебниках она отражена мало (например, в учебнике под ред. С.А. Теляковского рассмотрен только один такой пример, решенный с помощью основного свойства дроби). Иногда «многоэтажность» заменяется традиционным действием деления, что приводит к громоздким и не всегда оправданным вычислениям. Однако на вступительных экзаменах в вузы часто встречаются задания, связанные с преобразованием многоэтажных дробей.

На уроке мы попытались реализовать идею составления алгоритма преобразования многоэтажной дроби самими учащимися.
Целью данного урока являлось:
1) создать алгоритм работы с многоэтажными дробями;
2) научиться использовать его при преобразовании выражений;
3) убедиться в том, что алгоритмы позволяют рационально выполнять математические операции, и что каждый сам может их создавать.

На уроке каждому лицеисту был выдан комплект специальных материалов, в которых учащиеся работали карандашом. В случае если задание было выполнено неверно, ученик мог исправить свои записи с помощью ластика и тут же записать правильное решение. Это позволило учащимся чувствовать себя раскованно, не бояться делать ошибки, не ждать ответов других учеников.
Знакомство с многоэтажными дробями началось в процессе выполнения упражнения, в котором необходимо было построить новые рациональные выражения с помощью заданных выражений (рис. 1-1). Лицеисты заполнили пропуски в двух первых примерах, остальные задания было предложено выполнить дома. После того, как учащиеся выполнили второй пример (рис. 1-1), состоялось обсуждение его структурных особенностей. Заметили, что первое слагаемое образовалось в результате деления дроби на дробь, что привело к необычному выражению – четырёхэтажной дроби.
Затем перешли к общим схемам строения многоэтажных дробей (рис. 1-2). Ещё раз обратили внимание на то, что под буквами подразумеваются рациональные выражения, что при делении дроби на дробь первая дробь является делимым, а вторая – делителем. В соответствующей многоэтажной дроби делимое становится числителем, а делитель – знаменателем. В результате получается четырёхэтажная дробь (схема А, рис. 1-2, слева). Символ деления здесь заменяется чертой, которую называют основной чертой дроби. Обратили внимание на значение и правило оформления основной черты дроби.
Далее обсудили схему В (рис. 1-2, справа), выяснили, сколько этажей имеет данная дробь, что записано в числителе, что в знаменателе, где расположена основная черта дроби. Схему С (рис. 1-2, внизу), лицеисты рассмотрели самостоятельно.

Установили, что основная черта дроби ставится напротив знака равенства, и если написать её недостаточно отчётливо, то может произойти путаница: запись типа
может привести к разным расшифровкам

В примерах теста (рис. 1-3), необходимо было найти выражения многоэтажными дробями. Выполнить задания теста, то есть для каждого выражения найти верный ответ, записанный в верхней строке, учащимся было предложено дома.

Затем рассмотрели общую схему преобразования многоэтажной дроби (схема А, рис. 2-1, вверху), которая была также записана на доске, но без стрелок.

Алгоритм деления дроби на дробь был рассмотрен на предыдущих уроках (а также алгоритмы умножения и сложения дробей). Поэтому лицеисты уже знали, что стрелками обозначено действие умножение. Поставив стрелки в первой записи, они без труда, видя окончательный результат, расставили стрелки и во втором выражении.
После этого мы снова вернулись к рисунку 2 и схеме В (рис. 2-1, слева), лицеистам был задан вопрос: «А всегда ли надо (пусть даже мысленно) целое заменять дробью со знаменателем 1, нельзя ли и здесь создать мини-алгоритм?» После обсуждения пришли к правилу преобразования трёхэтажной дроби. В схеме С (рис. 2-1, справа), учащимся было предложено самим попробовать восстановить стрелку у первого выражения. Лицеисты быстро справились с этим заданием.
Затем перешли к практическим примерам 1 и 2 (рис. 2-2), где необходимо было заполнить пропуски, используя выработанный алгоритм (рис. 2-1). Это задание не вызвало особых затруднений у учащихся.
Далее рассмотрели более сложные примеры: в числителе или в знаменателе присутствует несколько множителей (рис. 2-3). Сначала разобрали случай, когда в числителях верхней и нижней дробей встречаются общие множители. Применив алгоритм работы с многоэтажными дробями, заметили, что общий множитель сокращается, если он присутствует в числителях обеих дробей. Случай, когда общий множитель есть в знаменателях обеих дробей, учащиеся разобрали самостоятельно и сами сделали соответствующий вывод.

На доске был оформлен пример, в котором общие множители стояли в числителе верхней дроби и в знаменателе нижней.
А также пример, в котором общие множители присутствовали в знаменателе первой дроби и в числителе второй.

Выполнив преобразование многоэтажной дроби по алгоритму, лицеисты убедились, что в подобных случаях сокращать нельзя. В примере 3 (рис. 2-3, внизу слева). необходимо было сначала сократить дробь, а затем применить алгоритм преобразования многоэтажной дроби. Учащиеся с большой заинтересованностью зачеркивали общие множители, рисовали стрелки и заполняли пропуски.
В четвертом задании лицеисты сразу же заметили общие множители в числителях обеих дробей и формулу сокращённого умножения в знаменателе нижней дроби. Разложив на множители и сократив знаменатели, а также числители, учащиеся довольно быстро получили верный результат. Задания 5, 6, 7 (рис. 2-4) лицеистам предлагалось выполнить дома.
Затем перешли к тождественным преобразованиям многоэтажных алгебраических дробей
. В примере 1 (рис. 3-1) предлагалось заполнить пропуски в числителях дробей и затем записать окончательный результат. Многие учащиеся при сложении целого и дроби применяли соответствующий алгоритм (ставили стрелки от m к 1). Данный пример не вызвал особых затруднений у лицеистов.
Задание «Посмотрите и найдите» № 2 (рис. 3-2, слева) поначалу испугало учащихся («значение такого сложного выражения надо найти устно?!»), но, после того, как преобразовали знаменатель первой многоэтажной дроби и увидели, что она равна 1, вторую дробь сократили довольно быстро и верно. Результат вычислений записали в рамочку внизу примера.
Выполнение примера № 3 (рис. 3-2, справа) заняло немного больше времени, так как не все сразу заметили противоположные выражения, при сокращении которых получается –1. Упражнение 4 (рис. 3-3) начали выполнять после того, как прочитали комментарий. Лицеисты самостоятельно заполняли пропуски в вычислениях, пользуясь алгоритмом. Затем все сверили свои результаты с решением этого примера, оформленным на обороте классной доски (рис. 3-4). Те из учащихся, кто выполнил задание 4 быстрее других, начали выполнять первые примеры упражнения 5 (рис. 3-5), которое было задано на дом.

Для того чтобы выяснить, как усвоен алгоритм преобразования многоэтажной дроби в конце урока была проведена игра. Каждый ученик получил листок с шуточными заданиями «Шторм на море» (рис. 4-1) и «Полицейские и воры» (рис. 4-2). Учащиеся самостоятельно преобразовывали «многоэтажную дробь»: сокращали (зачёркивали) общие множители, ставили стрелки и записывали получившийся результат в пустую рамочку. После выполнения всеми этого упражнения, сверили получившиеся результаты с ответами, оформленными на обороте классной доски. Одни учащиеся рисовали маяк, корабль, штурвал и якорь, другие записывали только начальные буквы этих слов (рис. 4-3). (На рисунках внизу: Ш – шериф, П – полицейский, М – мошенница, К – карманник). Все лицеисты без ошибок справились с этим необычным и интересным для них заданием.

Работать с визуальными учебными материалами учащимся очень нравится, так как на этих уроках они творят сами, не созерцают со стороны работу учителя и более сильных учащихся, а принимают активное участие в решении той или иной учебной задачи и видят результаты своей работы тут же. Подобные уроки проходят у детей эмоционально, они чувствуют себя первооткрывателями, радуются своим успехам, стремятся выполнить как можно больше разнообразных заданий, попробовать свои силы при решении довольно сложных упражнений. Так как на таких уроках мало пишется, но много думается, то польза от них колоссальная.

Распечатать комплект визуальных дидактических материалов по теме данной статьи.
Предлагаемые комплекты дидактических материалов на экране отражаются не совсем точно,
но распечатываются рисунки прекрасно!

1. Башмаков М. И. Многочлены и алгебраические дроби. Учебник алгебры для 7 кл. Выпуск 1. Конструктор книги Резник Н. А. – СПб.: Изд-во ЦПО «Информатизация образования», 2000.
2. Башмаков М.И., Резник Н.А. Задачник по алгебре для 7 класса общеобразовательной школы. – СПб.: Изд-во ЦПО «Информатизация образования», 2001.
3. Резник Н.А. Визуальные уроки. Компл. дидакт. матер. к шк. урокам. — СПб.: Свет, 1996.

Источник